VaR約束與資產配置優化

[摘要]VaR模型是一種有效的風險計量和管理工具。在假設組合收益服從正態分布的條件下，分析了引入VaR約束的均值—方差模型及有效邊界;考慮在一定置信水平下，結合組合收益的實際分布，給出了滿足投資者VaR約束下期望收益最大化的計量模型及投資策略選擇，并利用中國證券市場數據進行了實證研究。

[關鍵詞]風險價值;均值—方差模型;資產配置

[中圖分類號] F832.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1673-0461(2010)08-0092-06

[收稿日期]2010-02-03

[基金項目]上海師范大學博士人才引進基金項目( PW921)資助。

[作者簡介]姚亞偉(1981-)， 男，河南漯河人，金融學博士，上海師范大學金融學院講師，主要研究方向:組合投資管理、流動性。

一、引言

Markowitz(1952)提出的均值—方差模型奠定了現代資產組合的理論基礎，通過將風險定義為證券收益率的方差，Markowitz提出投資者可通過分散化組合投資，在不損失期望收益的同時降低風險。隨著組合理論在實務投資領域的應用越來越廣泛，模型提出的風險測度方法已不能滿足金融管理機構和投資者的多樣化風險管理需求，一些學者分別從不同的視角對均值-方差模型進行了修正。在已有研究文獻提出的模型修正方法中，大致可歸為兩類:一類是對均值-方差模型中的收益或風險測度指標進行修正，如Mao(1970)認為投資者在期望收益兩側的風險感受不對稱，提出了均值—下半方差模型，修正的依據主要是基于投資者對客觀風險的認知;Konno和 Suzuki(1995)最早提出均值—方差—偏度模型，模型以投資組合的預期收益以及絕對方差作為限制條件，以投資組合的偏度最大值為目標，修正的依據主要是基于目前很多研究成果均表明金融資產的收益率具有明顯的“尖峰、厚尾”特征，而期末收益率在期末期望收益率處泰勒展開式的二階矩、三階矩和四階矩分別可表征期末收益的風險、峰度和偏度特征，高階矩體現了投資者對收益率分布的偏好。另一類方法主要是在均值—方差模型中加入條件約束來進行組合優化求解，Roy(1952)、Arzac和Bawa(1977)提出了加入一個“在投資期末組合的價值損失比預設的損失水平低的概率小于某一值”的約束條件，Lucas 和Klaassen(1998)、Leibowitz 和Kogelman(1991)也分別提出“在一定時間區間和給定置信水平下，投資者應當獲得的最低收益”的損失約束，然后在滿足給定約束下最大化組合的期望收益。盡管利用損失約束的概念與投資者對風險的認知更加一致，但由于損失概率、最小收益、置信區間等都很難準確的具體量化導致其應用受到限制。

VaR(Value at Risk)方法最早是由G-30人小組1993年在《衍生產品的實踐和規則》研究報告中提出的，隨后被國際清算銀行接受并體現在《巴塞爾協議》中，J.P.摩根集團也于1994年在 的基礎上建立了信息系統Risk Metric，隨后VaR模型的應用從商業銀行領域轉向證券市場的投資管理中。對VaR模型的理解和認識，一般認為是在一定的期間內，在一定置信水平或概率條件下，單個頭寸或組合潛在的最大損失(Joroin，1997)。Mausser 和 Rosen(2001)、Joroin(1997)等分別用歷史模擬法和Montel Carlo模擬法估算了滿足 條件下的資產組合選擇優化問題。但由于 不滿足次可加性公理，意味著在某些條件下拒絕資產組合風險分散化原理，Pflug(2000)、Rockafellar和Uryasev(2000，2002)、Acerbi和Tasche(2002)先后提出條件風險價值(Conditional-VaR )作為風險的度量來對VaR進行修正，將CVaR定義為損失超過VaR部分的條件期望，只考慮下側風險(downside risk)。在VaR和CVaR研究的基礎上，Rockafellar和Uryasev(2000)，Anderson et al.(2000)考慮了CVaR作為風險測度的資產組合優化問題，并證明了CVaR是一個凸函數。Alexander(2002) 等人分析了將CVaR作為風險管理目標的單期資產配置模型。姚京等(2004)建立了用VaR代替方差作為風險的測量指標的均值— 模型，同時考慮了存在無風險資產、負債和非正態分布的情形。這些國內外學者對VaR模型應用于組合優化提供了思路和方法，但一般是基于在組合收益率服從正態分布的假設下展開的應用性研究，沒有系統的討論VaR約束作用下的組合有效邊界，對當實際收益率分布特征非正態時的組合優化問題還有待進一步深入研究。

本文基于VaR模型的思想，研究分為兩個層次:第一個層次，在假設組合的收益率服從正態分布的前提下，將VaR引入到均值—方差模型中，并進行組合的優化求解;第二個層次，在一定置信水平下，把假設組合收益率服從正態分布時VaR值作為投資者期望的最大損失值，結合組合收益率的實際分布特征，通過求解投資者最大化期望收益來進行的資產優化配置和投資策略的選擇。

二、引入VaR的均值—方差模型

組合投資的數學本質是求解在滿足一定約束下的條件極值問題，若不考慮投資者的風險厭惡和效用函數，均值-方差有效邊界上的任意一點都是投資者可獲得收益與需要承擔風險的有效均衡，組合優化就轉化成為滿足收益一定(風險一定)條件下組合風險最小(收益最大)問題，通過設計指標對每個均衡點的風險—收益特征進行比較，如夏普比率等，來確定組合的最優化。在均值—方差模型中引入的VaR約束，相當于綜合了組合的收益和風險的一個約束條件，并在此約束條件下求解組合的最優化問題。

對VaR值的計算目前主要有三種方法:方差—協方差法、歷史模擬法和Monte Carlo模擬法。方差—協方差法需要對組合收益率的分布做出假設，一般假設為正態分布;歷史模擬法不需要對組合收益率的分布做出假設，而是依據給定置信水平下組合收益率頻率分布的分位數值來計算，即用收益率的歷史分布來代替收益率的真實分布來求解資產組合的VaR值; Monte Carlo模擬法通過對資產組合的不同分布情景進行模擬來確定一定時期內不同情形下的資產組合值，是計算 的各種方法中最有效的方法。本文對VaR引入到均值—方差模型的中計算仍主要采用前兩種計算方法，而未選擇Monte Carlo模擬法，原因在于:一方面，Monte Carlo模擬法應用的前提是各種情景發生的概率可以合理估計，比較適合于商業銀行風險管理，而證券市場上股票價格的漲跌及影響因素難以合理估計和量化，用Monte Carlo模擬法分析的偏差可能較大;另一方面，已有的研究結果表明國內外的證券市場是弱式有效或無效的，這意味著證券市場可能“歷史會重]”，過去的信息能夠對未來的價格產生影響，而方差-協方差方法、歷史模擬法則相對比較有效。

(一)VaR模型思想數學表達

設投資期限為T，資產組合在期間內的收益率為Rp，且Rp～N( μ，σp)，c為給定的置信水平，根據VaR的定義:

舉例說明，若投資期限為100日，置信區間為99%的VaR，意味著未來的100日內遭受最大損失超過VaR臨界值的可能性最多只有1次。由方程(1)可知，VaR的值也即在投資區間T的最差情況下的期望損失，而由于VaR水平的設定一般與所選擇的持有期和置信水平有關，VaR也反映了投資者的風險厭惡水平。

設Φ-1(1-c)為給定置信水平c下標準正態分布的左側分位點值，由方程(1)可得:

=Φ-1(1-c)→VaR =μ+Φ-1(1-c) σp (2)

在投資期限T內，設投資者的初始財富為Wo，投資者最壞情況下的損失為:

WVaR= W0( μ+Φ-1(1-c) σp )(3)

由方程(3)可知，風險價值主要與資產組合的期望收益率、置信水平、持有期財富的波動率有關。期望收益率越高，風險價值越高;由于所選的置信區間c一般為95%、97.5%和99%，所以Φ-1(1-c) 一般為負值，且c越高，Φ-1(1-c)的值越小，風險價值就越小;波動率越大，VaR的值也越小。

(二)VaR約束下的均值—方差模型

在均值-方差模型中引入VaR約束，相當于增加了對組合收益最低值的約束條件，引入VaR的均值-方差模型可修正為:

minσ2p=X'ΣX

st.μ=XE(R)X'I=1Rp>VaR=μ+Φ-1(1-c)σp

或

maxμ=X'E(R)

st.σ2p=X'ΣXX'I=1Rp>VaR=μ+Φ-1(1-c)σp (4)

其中，R=(R1，R2，…，RN)'是組合中不同資產的收益率、X=(X1，X2，…，XN)'是組合中不同資產的權重向量;Σ=(σij)N×N是組合中N種資產間的協方差矩陣。

由于VaR是根據整個組合的風險和收益情況計算的，在考慮加入VaR約束的有效邊界時，可以通過首先求解不考慮VaR的有效邊界，然后通過引入Rp>VaR=μ+Φ-1(1-c)σp的約束條件使有效邊界范圍縮小。在這里，組合的收益和風險在有效邊界上的不同點上均衡時，對應的VaR約束也不同，因此在有效邊界求解中引入的VaR約束實質上是一系列斜率為-Φ-1(1-c)、截距不同的系列約束線，有效的VaR約束是經過在組合有效邊界上取得最優解點的約束線。

通過拉格朗日乘法求解均值-方差模型的有效邊界，以方程(4)中的第一個模型作為分析對象，構建拉格朗日乘數方程:

效在VaR約束下，模型的解集在σ-Rp空間是圖1中實線部分的拋物線，即投資組合的有效前沿。而VaR約束線也即為經過有效前沿上風險收益最大化點處的直線(見圖1)。

三、 VaR約束下組合資產配置的優化

投資者在VaR約束下進行投資決策時，往往需要對未來的損失進行預期估計，這個預期損失一般是采用歷史模擬法在假設未來收益率服從正態分布時的分位值來進行估算的，而收益率的實際分布往往不是隨機的，這需要利用經驗數據的實際分位數來確定。在一定置信水平下，預期損失值與實際損失值往往不同，為達到實現投資者預期的損失約束，往往在實際投資時需要進行資金的借入或借出。通過資金的借入借出可保證當組合實際損失與預期損失之間有差異時資產配置比例保持不變，有利于投資的連續性和穩定性，對沖由于條件約束限制導致的被動操作而帶來的風險。

由于VaR在一定程度上反映了投資者持有組合的風險，在考慮VaR的組合管理時，可通過最大化期望收益的最大化作為目標。

假設在T時期內，投資者可以以無風險利率

rf在市場中進行資金自由借貸，設投資者期初可自由借貸的資金為B(B>0表示資金借入)，并在期初將資金全部配置于證券組合中，Xi表示投資在風險資產i上的比例，且滿足X=1 ，Pi，0表示風險資產i在期初的價格，則投資者的期初組合滿足:

方程(13)將投資者的組合資產配置問題轉化為投資者需要借入或借出多少資金來實現最終期望財富水平最大化的問題。

用WT表示投資期間內的資產組合價值，設投資者在置信水平c下預期的最大損失為VaR*，則有:Pr{≤VaR*}≤ 1-c(14)

由投資者T時期內投資收益Rp可得出投資者期末的財富為:

WT=W0(1+Rp)+(XiPi，0-W0)(Rp-rf)(15)

將方程(15)代入方程(14)，可推得:

由方程(17)可知，若組合的實際收益率服從正態分布，則有VaR*=Φ(1-c)，則組合的優化問題與投資者的預期一致，即在承受最大損失為VaR*風險下，投資者可獲得的期末期望回報率為μ ，同時不需要進行借貸。但大多數情況下，VaR*與Φ(1-c)是不相等的，此時投資者要考慮是否進行無風險借貸等策略以滿足其對最大損失的條件約束。將方程(17)代入方程(15)，則有:

由方程(19)可知，投資者期末財富收益最大化的確定與兩個臨界值有關:一是投資者設定的最低風險水平，即預期損失VaR ;二是組合收益率的實際分布特征，即投資者依據風險偏好選擇的置信水平及不同置信水平下的分位數。由方程(19)還可知，初始財富僅是對投資決策最大化的一個尺度指標，因此進行資產配置的過程與財富大小無關。而方程(19)也可解釋為投資者的收益為投資者進行組合投資獲得的無風險收益與遭受風險而獲得的期望風險貼水之和，這個期望風險貼水以投資者面臨的期望風險水平(r-VaR)與實際風險水平(rf-Φ(1-c))之間的相對比值作為調整系數。投資者的期望收益最大化等價于:

當組合中僅包括單一資產時，在一定置信水平下，VaR*、Φ(1-c)的值都比較容易確定。但組合中包括兩種以上資產時，由于涉及到組合優化時不同資產權重分配的問題，VaR*、Φ(1-c) 在一定置信水平下的分位數值變得不確定。S(p)指標將假設期望收益正態分布與實際收益非正態分布之間的差異同時表征出來。當在一定置信水平下，實際收益分布的分位數與預期假設正態分布分位數之間有差異時，投資者可以通過借入或借出資金來滿足預期的損失約束來最優化其組合，將方程(19)代入方程(13)，投資者需借入或借出的資金為:

四、基于經驗數據的最優資產配置分析

本文構建一個由股票、債券和無風險資產所構建的組合，這基本上可以反映組合投資中資產配置類別的構成。選取上證指數代表股票類資產、企債指數代表債券類資產、國債指數代表無風險收益資產，利用上證指數和企債指數作為風險資產構建最優組合，而將國債指數的收益率作為基準無風險收益率。選取樣本區間為2007年1月1日至2008年12月31日的日交易數據，每個樣本均有488個收益時間序列數據。在進行實證分析時，由于樣本區間內中國股票市場出現了“暴漲暴跌”的市場狀況，將樣本區間分解為兩個子區間，即2007.1.4～2007.12.28和2008.1.2～2008.12.31，分別反映中國股票市場單邊上漲和單邊下跌下投資者在 約束下期望收益最大化時的資產配置策略。

由表1可知，從收益指標看，上證指數與債券指數的日平均收益在樣本區間內呈現“互補”，但上證指數收益率的波動率顯著高于債券指數;從峰度指標看，無論在整個樣本區間，還是子樣本區間，上證指數和債券指數日收益率的峰度值均大于3，存在“尖峰厚尾”的特征;而從JB(Jarque-Bera) 正態檢驗統計量值的結果看，三個指數的日收益率在整個或子樣本區間的概率分布均拒絕正態分布的假設。

在利用VaR約束進行分析時，需要考慮資產組合的持有期和置信水平的選擇。在選擇持有期時，持有期太短容易導致監控成本太高;而持有期太長不利于及早發現潛在風險，一般選擇為1天。置信水平主要反映投資主體對風險的厭惡程度，置信水平越高，厭惡風險的程度越大。置信水平不同計算出的 值也不同，本文選取的置信水平分別為95%，97.5%和99%。

下面利用Excel規劃求解的方法對滿足方程(20)求最優解，在規劃求解的約束條件里，參照目前純股票型開放式基金資產配置中對股票和債券配置的比例約束，即上證指數配置的權重[0.60，0.95]，企債指數配置的權重[0，0.40]，對股票和債券的配置權重約束隱含了不允許賣空條件。表2為在不同的置信水平下和不同的樣本區間內，通過規劃求解求得最優化解時的相關指標情況。

由表2可知，無論在整體區間或子區間，置信水平越高，VaR*、Φ(1-c)的值越小。同時，比較在不同置信水平下VaR*和Φ(1-c)之間的大小，當在一定置信水平下，組合收益實際分布的分位點值大于投資者期望假設正態分布時的分位點值時，投資者需要借入資金;反之，投資者需要借出資金，以滿足投資者的期望最大損失要求。

同時，從表2中可發現，在某一區間內不同的置信水平下，方程取得最優解時資產配置的權重比例基本相等，由于通過無風險利率的借貸可使組合的收益不同，但組合的風險不變。產生這種結果的原因主要有兩個:一是方程優化求解目標是期望收益的最大化，用風險價值替代了組合風險指標，組合之間的協方差效應僅對VaR*值的確定有影響，而對Φ(1-c)基本沒有影響;二是由于僅選擇兩種投資產品，而在樣本區間內這兩種資產之間的收益之間差異較大，導致在追求期末財富收益最大化時，往往最高比例的配置在收益高的資產。這也是利用 模型進行組合資產配置優化分析時的不足之處。

五、結束語

一些學者提出了若要求商業銀行采用統一風險控制標準可能導致風險管理的無效性的觀點(Persuad，2003)，即如果使用VaR模型作為止損控制風險的工具，若市場出現風險惡化，由于止損約束而進行被動操作反而會進一步加劇市場風險惡化;而若市場處于平穩交易中，則利用VaR進行風險控制就失去了意義。但在證券投資組合管理的過程中，由于投資者的異質性，不同投資者構建的組合也不相同，利用VaR模型對單個投資者的日常管理還是有積極作用的。

本文在假設組合未來收益率服從正態分布的前提下，探討了引入VaR約束時組合有效邊界的解集;以投資者期望財富收益最大化為目標，采用歷史模擬法的思想，在一定的置信水平下，將未來收益分布正態假設下的分位點值作為投資者期望的最大損失，結合組合收益實際分布的分位點值，推導出滿足投資者期望財富收益最大化時的目標函數，并求解出在滿足投資者財富收益最大化時，因實際收益分布的分位點值與投資者期望最大損失之間的差異來對投資者在無風險利率市場進行資金借貸的操作策略提供指導，簡化了組合優化的過程。通過利用中國證券市場的數據實證分析表明，上證指數和企債、國債指數的收益率分布均呈現“尖峰厚尾”的非正態分布特征，投資者不能對組合收益率的實際分布特征進行有效判斷，但可通過假設未來組合收益服從正態分布下結合自身風險厭惡水平(置信水平的選擇)來對未來的最大損失進行預期，并結合實際收益率分布來調整資產配置策略，這也為在我國采于基于 的資產配置方法提供了應用性的依據。

對于引入VaR的均值-方差模型及其在資產配置中的應用研究，結合目前我國資本市場的現狀，未來可從以下幾個方面展開:

(1)市場資金的借入利率高于借出利率情況下的推廣。在本文的分析中，我們提出通過比較組合收益實際分布的分位點值與期望假設正態分布時的分位點值之間的差異，投資者可以選擇以無風險利率借入或借出資金的策略。而在實際投資中，投資者借入資金的利率往往高于借出資金的利率，這就意味著投資者構建的組合有效邊界會發生變化，資產配置的優化及投資策略也因而需進行相應的調整。

(2)做空機制與VaR約束在資產配置優化中的作用替代。如果沒有賣空交易機制，或沒有可供做空的金融產品，那么當組合實際收益與預期的VaR值不一致時，投資者為保持組合資產配置結構不發生變化，將會選擇從市場上借入或借出資金。而若市場允許做空，投資者則可以通過做空機制對沖一部分組合風險。由于做空交易機制和以股指期貨為代表的金融衍生產品的主要作用即為投資者持有的頭寸提供套期保值的功能，因此投資者可以通過賣空金融衍生產品來對沖組合投資的風險，也即如果僅僅是為了不遭受損失，則不需要對組合的未來收益波動進行任何預測就能將其價值穩定在某一個水平。但同時，也需要認識到，做空機制雖然保證了安全性，但同時也損失了收益性，因此做空機制不能對VaR約束完全替代，如何考慮做空交易機制下VaR約束與資產配置優化之間的關系也是值得研究的問題。目前我國已推出了融資融券交易機制和滬深300股指期貨合約產品，這也為考慮做空機制下VaR約束與資產配置優化提供了實證分析的數據支持。

(3)引入流動性調整VaR約束的資產配置優化問題。收益率和風險構成了現代資產組合理論量化指標的基礎，而實際上流動性長期以來一直未能在組合優化模型中得到有效的應用，一方面在于不同的學者對金融資產流動性問題的認識存在差異，另一方面基于對流動性的認識不能將流動性因素合理量化并引入到組合優化模型中。近年來，一些學者提出了經流動性調整的VaR，如Bangia et.al(1999)提出著名的BDSS模型，這個模型是計算在相對價差影響下的流動性調整的風險值，這個模型主要用來衡量流動性風險問題，但其綜合了流動性和風險性兩個因素，能夠更加有效的將金融資產的收益性、流動性和安全性三大基本屬性特征在組合管理時進行有效刻畫。當然，Bangia et.al(1999)的BDSS模型提出時并沒有經過嚴格的數學推導，同時對提出的流動性風險指標與價格之間關系的認識也不是很清晰，但其將金融資產的流動性和風險性有效結合起來的思想，為后續的研究提供了研究基礎。

[參考文獻]

[1]Anderson， F.， H. Mausser， D. Rosen and S. Uryasev.Credit risk optimization with conditional value-at-risk criterion[J].Math Pro-gramming， 2000， : 273-291.

[2]Alexander G.， Baptista A. Economic Implication of Using a Mean-VaR Model for Portfolio Selection: A Comparison with Mean-Vari-ance Analysis[J]. Journal of Economic Dynamics Control ， 2002 ， 26 (8) :1159-11931.

[3]Arzac，E.R. and V.S. Bawa.Portfolio Choice and Equilibrium in Capital Markets with Safety-First Investors[J].Journal of Financial Economics， 1977， 4:277-2288.

[4]Bangia Anil， Francis X. Diebold， Til Schuermann and John D. Stroughair.Modeling liquidity risk， with implications for traditional market risk measurement and management[M].The Wharton School，1998.

[5]Jorion， P. Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Mar-ket Risk[M]. Chicago: Inwin Professional Publishing， 1998，.

[6]Konno， H. and K. Suzuki .A Mean-Variance-Skewness OptimizationModel[J]. Journal of Operations Research Society of Japan， 1995， 38:173-187.

[7]Leibowitz， M.L. and S.Kogelman，1991， “Asset Allocation under Shortfall Constraints”， Journal of Portfolio Management， Winter:18-23.

[8]Lucas，A. and P.Klaassen.Extreme Returns， Downside Risk， and Optimal Asset Allocation[J]. Journal of Portfolio Management， 1998，Fall:71-79.

[9]Mao J C.T. Models of capital budgeting， E-V versus E-S[J].Journal of Financial and Quantitative Analysis， 1970， 5:657-675.

[10]Markowitz， H.M. Portfolio Selection[J]. Journal of Finance ， 1952， 7(1): 77-91.

[11]Mausser， H. and D. Rosen .Applying Scenario Optimization to Portfolio Credit Risk[J]. The Journal of Risk Finance， 2001， 2(2)(Win):36-48.

[12]Persaud， A.D.Liquidity Black Holes: Understanding， Quantifying and Managing Financial Liquidity Risk[M].Incisive Media Invest-ment Limited， 2003. (姜建清譯.流動性黑洞:理解，理化與管理流動性風險[M].北京:中國金融出版社，2007).

[13]Plug， G. Some Remarks on the Value-at-Risk and The ConditionalValue-at Risk[A]. In: Uryasev S， Ed. Probabilistic Constrained Optimization: Methodology and Applications[C]. Boston: Kluwer Academic Publishers， 2000.

[14]Rockafeller， T. and S. Uryasev.Optimization of conditional value-at-risk[J].The Journal of Risk， 2000， 2(3): 21-41.

[15]Roy， A.D.Safety-First and The Holdings of Assets[J].Econometrics， 1952， 20:431-499.

[16]Rockafeller， T. and S. Uryasev.Conditional Value-at-Risk for General Loss Distributions[J].Journal of Banking and Finance， 2002， 26:1443-1471.

[17]姚 京，李仲飛.基于VaR的金融資產配置模型[J ].中國管理科學，2004，12 (1): 8-131.

VaR Constraint and the Optimization of Asset

Allocation-Empirical Analysis based on China Stock Market

YaoYawei

(Finance College， Shanghai Normal University， Shanghai 200234， China)

Abstract:VaR model is an efficient risk measurement and management tool. This paper analyzes the mean-variance model and its efficiency frontier with the introduction of VaR constraint under the assumption that the return rate is subject to normal distribution. Under certain confidence level and according to the real distribution of return， accordingly this paper presents the econometric model of maximum expected return subject to VaR

constraint and the investment strategy choice and does an empirical research on them by using the data of China stock market.

Key words:value at risk;mean-variance model; asset allocation

(責任編輯:張丹郁)