課標“心”,試題“亮”

第四次新課程下的2010年廣東高考數學試題(理科)，語言樸實簡潔，構思自然流暢，字里行間都滲透著新課標理念;細細品味，試題精彩紛呈，難易試題錯落有致，解答時如同欣賞一首名曲，時而悠揚婉轉，時而激昂澎湃，跌宕起伏，扣人心弦.這些都無不顯示出命題者的用心和智慧，也禁不住讓人佩服和贊嘆!

亮點一:讓數學試題“現代化”

翻開今年的試卷，最令高三備考人吃驚的是在課程改革時新增加的數學知識考查的分量比往年有大幅度的提高.今年涉及新增加知識點的考題，如第6、7、8、10、13、17、19等題共高達49分，這讓許多習慣于考查傳統重點數學知識的師生驚詫不已!也讓那些“手握必考點，高考操勝券”的考生目瞪口呆!在前幾年高考試題中，如果說對新增知識點的考查只是“猶抱琵琶半遮面”，那么在今年的高考試題中，對新增加的知識點的考查已是“小舟撐出柳蔭來”.其實，我們在學習《普通高中數學課程標準(實驗)》時會發現:在課程改革中，對傳統的重點數學知識進行了“削枝強干”;對適應時代發展要求的“現代數學知識”進行了大幅度增加，如新增加的算法、概率統計等知識共有114學時，占高中理科數學總學時的35%.因此，在高考數學試題中，讓數學試題“現代化”是新課程標準的內在要求，也是適應時代發展的必然結果;同時，在新課程的實施過程中，這也是高考命題者堅持“穩中有變”思想的具體體現.在四年高考不斷變革中，對“現代數學知識”的考查今年首次達到了它應有的分量.

亮點二:讓數學試題“生活化”

自1997年高考數學試題中采用數學應用題以來，有關數學應用題的教學和研究受到了廣大師生的重視.數學應用題背景新穎，讓學生“站在同一條起跑線上”接受考查，符合考試公平、公正的原則.其次，采用數學應用題也有利于全面考查學生的綜合素質，因為采用數學應用題對學生進行考查，實際上是讓學生在體驗閱讀自學、提煉問題、分析和解決問題的過程中展現自己的各項能力和素質，這種讓學生“再創造”的考查形式有利于優秀學生脫穎而出.然而，在以往的高考數學應用試題中，大多數都是“人工技巧化”的試題，注重考查的是計算和解題技巧.數學源于生活但又高于生活.因此，在高考中采用“生活化”的數學應用題才是合情合理的現實要求，這也是引導學生“用數學眼光觀察世界、用數學頭腦思考世界”的有效方式.在2010年高考中，數學應用題的分量加大，而且背景更趨于“生活化”，這讓廣大的考生倍感親切和自然.今年試卷中第8題就是一道值得我們細細品味的好題.

題目:為了迎接2010年廣州亞運會，某大樓安裝5個彩燈，它們閃亮的順序不固定，每個彩燈只能閃亮紅、橙、黃、綠、藍中的一種顏色，且這5個彩燈閃亮的顏色各不相同.記這這5個彩燈有序地各閃亮一次為一個閃爍.在每個閃爍中，每秒鐘有且僅有一個彩燈閃亮，而相鄰兩個閃爍的時間間隔均為5秒.如果要實現所有不同的閃爍，那么需要的時間至少是().

A. 1205秒B. 1200秒

C. 1195秒D. 1190秒

簡析:這道試題的背景平凡、自然.要解決這道題首先是要讀懂材料，然后是從材料中提煉出數學問題，從而進一步進行分析并加以解決.在提煉問題時，首先是要明白計算“所有不同的閃爍”實際上是一個5元素的全排列問題;其次，我們還要理解和明白何謂“一次閃爍”、“一次閃爍的時間是多長”、“所有不同的閃爍間共有多少個間隔”等問題，只有分析并解決好了這一連串的問題，我們才能得出正確的結論.讓學生在熟視無睹的場景中去“發現”熟悉的知識和方法，考查的重點不是學生掌握的知識和技能，而是他們在閱讀中迅速收集和處理信息的能力.“多考一點想、少考一點算”的命題思想在試題上得到了升華.

亮點三:讓數學試題“思維化”

《普通高中數學課程標準(實驗)》已經明確提出:高中數學課程應注重提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一.數學是思維的體操，它在形成人類理性思維和促進個人智力發展的過程中發揮著獨特的、不可替代的作用.因此，無論是在高中生的素質培養上還是在高中生的選拔性考試中都要有目的地命制有一定思維深度和廣度的數學試題.今年高考試卷中的第21題就是一道適合考查學生思維能力的好題.

題目:設A(x1，y1)、B(x2，y2)是平面直角坐標系xOy上的兩點，先定義由點A到點B的一種折線距離ρ(A，B)為ρ(A，B)=x2-x1+y2-y1.對于平面xOy上給定的不同的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，(1)若點C(x， y)是平面上的點，試證明:ρ(A，C)+ρ(C，B)≥ ρ(A，B);(2)在平面xOy上是否存在點C(x， y)，同時滿足:①ρ(A，C)+ρ(C，B)= ρ(A，B);②ρ(A，C)= ρ(C，B).若存在，請求所給出所有符合條件的點;若不存在，請予以證明.

簡析:這道試題簡短精煉，題意主要是理解一個定義.第(1)問是命題者希望考生進一步理解定義，并在此基礎上再利用絕對不等式的性質去證明結論. 即ρ(A，C)+ρ(C，B)=x-x1+y-y1+x2-x+y2-y≥(x-x1)+(x2-x)+(y-y1)+(y2-y)=x2-x1+y2-y1≥ρ(A，B).

第(2)問是一個探究性問題，是本題考查的重點. 在xOy平面上是否存在同時滿足① ρ(A，C)+ρ(C，B)= ρ(A，B);② ρ(A，C)= ρ(C，B)的點C(x， y).

我們先考慮條件①，它實際上是第(1)問的深度考查.條件①成立即是不等式組:(x-x1)(x2-x)≥0(y-y1)(y2-y)≥0?圳

(x-x1)(x-x2)≤0(y-y1)(y-y2)≤0(*)成立，解答不等式組要先討論x1與x2、y1與y2的大小.

下面考慮條件② ρ(A，C)= ρ(C，B)，即:|x-x1|+|y-y1|=|x2-x|+|y2-y|(**).解答時需要先去絕對值，也需要先討論x與x1、x2和y與y1、y2的大小.

若x1=x2、y1≠y2，不妨設y1>y2，則(*)式為x=x1y2≤y≤y1，此時(**)式為y==y0，設AB的中點坐標為(x0，y0)(下文均相同)，則點C即是AB的中點.

同理可求:當y1=y2，x1≠x2時，點C也是AB的中點.

若x1≠x2、y1≠y2，先不妨設x1>x2、y1>y2，則(*)式為x2≤x≤x1y2≤y≤y1，此時(**)式為x+y=x0+y0.則點C的軌跡是一條經過AB中點的線段x+y=x0+y0(x2≤x≤x1y2≤y≤y1).

同理可求:當x1>x2、y1

綜上所述，當x1=x2、y1≠y2或y1=y2，x1≠x2時，符合條件的點C只有一個，即AB的中點;當x1≠x2、y1≠y2時，符合條件的點C有無數個，即經過AB的中點的一條線段x+y=x0+y0(x2≤x≤x1y2≤y≤y1)或x-y=x0-y0(x2≤x≤x1y1≤y≤y2).

欣然擱筆，回味無窮.本題兩問由淺入深、逐步推進，解答時考生從定勢思維轉向發散性思維，考生在探究的過程中的思維力和想象力得到了淋漓盡致的發揮.同時，這也讓我們清楚地看到:一道“以能力立意”的好題不僅考查了學生掌握的知識和技能，而且還能在解答的過程中全方位地展示他們的聰明才智、情感態度和價值觀，這正是我們實施新課程標準所希望達到的目標.

責任編輯 羅 峰