“如何定位三角形穩定性”教學的網絡研討

背景介紹:

在黑龍江省小學數學第二屆網絡教研合作體說課大賽的網絡教研中，輝煌老師與海霞老師互動研討了“三角形特性”一課。本文擷取了兩位老師針對“如何定位三角形的穩定性”的研討片段以供讀者參考。

海霞:

在三角形的穩定性中，單憑“拉不動”就可以說三角形具有穩定性嗎?這只是其“穩定性”的外在表現。但從數學的角度來說，應該是三角形三邊長度的確定，確定了三個內角的不變，進而使得三角形具有“穩定性”。這個知識的滲透是否在小學的數學學習過程中要做?

讓學生推拉四邊形的對角，通過眼、手、腦，理解到了形狀的變化。這里提供給學生的學具本身就具有可推拉的“活動性”。如果是一四邊或是三邊的端點都被固定不動，比如說是被釘死的四邊形在推拉的過程中，形狀不會發生變化，這個時候學生提出了質疑，我們該如何作出解釋?

輝煌:

你所提出的問題，恰恰是我們在讀懂教材中對問題的質疑。教材中通過拉一個釘好的三角形框架后得出的一個結論，“三角形具有穩定性”。這里就是考驗我們教師是否讀懂這句話了。我們教師若也根據教材所示讓學生做同樣的實驗，那么學生必然就會提出這樣的問題。但對海霞老師想用三角形內角和來提升認識，這又超出學生當前認知的要求，而且用這一說法來作為理論上認識三角形具有穩定性是完全錯誤的。如果我們只立足于教材上實驗確立三角形具有穩定性的特征，那么我們教師對三角形穩定性認識也太不到位了。下面我說說我在聽課中與上課后的思考供你參考。

紀實:

不久前，學校組織了一次“青年教師同上一節課”(“三角形的認識”)的教學觀摩活動。連續5節課中，學生多次類似的質疑，引發了聽課老師對三角形穩定性的深入思考。下面是其中的兩則案例。

案例1:“老師，我發現有的三角形沒有穩定性!”

師:同學們，想體驗一下三角形的穩定性嗎?

生:(齊)想——!

師:在每張課桌的抽屜里各藏了一個三角形和四邊形木架，請拿出來，同桌相互拉一拉。

大家正玩得高興，突然一位學生叫起來:“老師，我發現有的三角形沒有穩定性!”興奮的叫聲幾乎吸引了所有人的目光。只見學生手中拿著由4根小棒釘成的木架。(三角形的一邊是由兩根小棒組成的。)

“三角形具有穩定性。學生手上的木架是三角形的。所以它應具有穩定性。”這似乎是一個嚴密的三段論。可事實上，學生手上的三角形木架卻不穩定。這該如何解釋呢?

案例2:“這個四邊形車架是鐵的，所以它也具有穩定性。”

師:三角形的穩定性在生活中有著廣泛的應用，如自行車中部的車架就是三角形的。(出示圖片。)

一個學生嘀咕:“那好像不是三角形的。”

“對，不是三角形，是四邊形!”一些學生響應。

“這個車架雖然是四邊形，但它是鐵的，也具有穩定性。”又一個學生補充道。

對于“三角形穩定性”，教材中是這樣描述的:“用3根木條釘成一個三角形，用力拉這個三角形，這個三角形的形狀不會改變。可見，三角形具有穩定性。”同理，用4根鋼管焊成一個四邊形(車架)，用力拉這個四邊形，這個四邊形的形狀不會改變。可見，四邊形也就具有穩定性了。但是，四邊形怎么會具有穩定性呢?

分析:

曾嘗試著這樣解釋案例1中的問題——4根小棒圍成的這個木架形狀雖然是三角形的，但它有一條邊是由“兩根”小棒組成的，所以它就容易變形了。然而當我們對這個解釋再做分析時，突然發現，其實我們已經從另一角度默認了“有的三角形不具有穩定性”這種錯誤論述。

要真正向學生解釋清楚這些看似簡單甚至幼稚的問題，并不像我們想象的那么簡單。課堂上執教老師突然遇此質疑，視而不見、避而不答，應該說情有可原。可如果今后我們再遇到此問題，那該如何處理?

帶著思考和疑問，課后我討教了幾位經驗豐富的老師。他們的意見大體可歸為兩類:

一種意見認為，導致上述矛盾的主要原因在于，我們將“三角形”與“三角形物體”混為一談:穩定性是三角形的特性，它有時在某些三角形物體身上表現為穩固、不易變形，但這并不說明所有三角形物體都很穩固、不易變形，更不說明不易變形的物體就具有穩定性。如案例1中，對于“3根小棒圍成的三角形”這個“圖形”來說具有穩定性，但對于4根小棒圍成的三角形木架這一“物體”來說，它卻容易變形。再如，4根鋼管圍成四邊形“車架”雖不易變形，但它并不代表“四邊形”就具有穩定性。從這個角度看，教材中關于三角形穩定性的描述似乎有以“物”代“形”的嫌疑。

另一種意見認為，主要原因在于學生將生活中的“穩定”與三角形穩定性的“穩定”混為一談。生活中，將一根木棒插入地面，使勁兒搖它，它不動，我們說這根木棍很穩定，顯然此“穩定”并非三角形穩定性之“穩定”。

認真推敲上述兩類分析，再結合自己的想法，筆者認為，上述矛盾的根本原因在于老師們對數學教學生活化、活動化的誤解，導致了對生活經驗負面干擾的忽視和對數學自身科學性、嚴密性的弱視。這在學校的觀摩課中明顯表現為，幾乎所有上課老師的課堂中都出現了相似的環節:同桌兩人興奮地拉扯著三角形或四邊形，發現“三角形木架不管怎么使勁兒拉，都不變形，而四邊形木架不費吹灰之力，就變形了”，于是學生自然地歸納出“三角形具有穩定性，四邊形容易變形”。

熱鬧的活動、明顯的對比，學生學得高興，印象也很深刻。然而熱鬧之后再思考，卻發現學生“深刻的印象”其實只停留在使勁“拉”上——4根木棍圍成的三角形因為“拉”得動，所以“不”具穩定性;自行車車架雖是四邊形，但它是鐵的，“拉”不動，所以就“具有”穩定性。

其實，打開百度網站，搜索“三角形穩定性”，就會發現很多網頁中的“三角形穩定性”明確指向于“形狀和大小完全確定”。其中最具代表性的描述是:“只要三角形三條邊的長度固定，這個三角形的形狀和大小也就完全確定，三角形的這種性質叫做三角形的穩定性。”這就是說，三角形的穩定性不是“拉得動、拉不動”的問題，其實質應是“三角形邊長確定，其形狀和大小就確定了”。

比較教材和網上關于三角形穩定性的描述，應該說各有千秋。網上的描述明確地揭示了“三角形穩定性”的本質特征“邊長確定，則大小、形狀唯一”，而教材上的描述則顯得親切、形象，與生活十分貼近。

嘗試:

學生思維的“具體、形象”與數學自身的“抽象、形式”之間的關系到底該如何處理?能在兩者間找到一個恰當的平衡點嗎?在與同事們一起思考、推敲后，我試上了一節“三角形的認識”，截取其中關于三角形穩定性的教學片段如下:

師:剛才同學們用3根牙簽圍成了一個三角形。想一想，用這3根牙簽還能圍成其他形狀的三角形嗎?

生:(齊)能。

老師請來幾位認為“能”的學生到投影儀上演示，若干次嘗試后，學生們發現不管怎樣移動牙簽，三角形除位置與方向變化外，其形狀、大小都不會改變。

于是老師順勢引導學生歸納:“只要三角形三條邊的長度固定，這個三角形的形狀和大小也就完全確定，三角形的這種性質叫做三角形的穩定性。”

師:下面我們來做個實驗——在每一張課桌的抽屜里各藏有一個三角形和多邊形木架，請拿出來，同桌互相拉一拉……

師:通過實驗你發現了什么?

生:我發現三角形木架怎么拉也不變形，而多邊形木架輕而易舉就變形了!

師:知道這是為什么嗎?

生:因為三角形只要三條邊長固定了，它的形狀和大小就完全確定了。

生:因為多邊形的邊長雖然固定，但它的形狀和大小并不能確定……

將三角形穩定性明確定位于“邊長確定，大小、形狀也就確定”，先用牙簽圍三角形，再借助經典的拉三角形、多邊形木架驗證之。這樣的教學不僅形象、易懂，而且科學、明確地指向三角形穩定性的本質，有效地避免了理解上的歧義。現在回過頭再來解釋文章開始提及的兩個問題，就顯得有理有據，更有說服力了。

案例1中，4根小棒圍成的三角形木架雖然有兩條邊長度固定，但它的第三條邊由兩根小棒組成，它兩端點間的距離隨兩根小棒的活動而變化。邊的長度不確定，其形狀、大小也就不能確定。由此可見，以前我們習慣的說法“三角形具有穩定性”并不嚴密，嚴密的說法應該是:“邊長確定的三角形具有穩定性。”

案例2中，因為判斷某圖形是否具有“穩定性”，要看該圖形“如果邊的長度確定，所圍成的圖形形狀、大小能否確定”。用長度確定的4根鋼管焊車架，可以焊成各種形狀的圖形，顯然不具有數學意義上的“穩定性”。

當然，若從另一個角度思考，這個例子正好又說明了三角形具有穩定性——四邊形鋼管之所以“拉不動”，是因為它是鐵做的，四條邊被焊在一起，4個頂點中任意三個相鄰的頂點間的距離不能改變，即“三角形三條邊長確定”。根據三角形穩定性的定義，三角形三條邊長度確定，其形狀、大小也就確定了。

思考:

長期以來，數學教學一直存在嚴重脫離實際的弊病。“中國乃至世界各國歷次數學教育改革一直想解決此問題，然而結果始終不盡如人意。”實施新課程以來，有人再次提出了“數學教學生活化”、“數學教學活動化”、“學校數學應向生活數學回歸”等口號，生活、活動成為數學課程改革中的兩個關鍵詞。

然而，生活與數學的關系怎能用一個簡單的“回歸”就可以概括?

首先，生活中獲得的各種經歷、體驗，未必就恰好能為抽象的數學概念和知識提供適切的基礎，不僅如此，它還可能包括許多干擾因素。

其次，“生活數學”是學生在日常生活中自然積淀、自由生成的“純經驗”型數學信息，它具有個體性、隨意性和直接性。而學校數學則是學生在學校中，通過有目的、有計劃的學習獲得的數學信息，它具有社會性、計劃性、抽象性和形式化特征。

因此，我認為數學應該與生活經驗建立起聯系，但必須注意，在“生活化”的過程中，要切實處理好生活的隨意性與數學的嚴謹性、抽象性之間的關系，防止數學內涵的流失。生活化的最終目的還是要實現“形式化”思維的提升。正如香港有的學者指出的，“數學教學的生活化直接導致了學生思維的卡通化、淺表化”。我們的學校數學教學當努力促進學生由“卡通思維”向“形式思維”的有效過渡。

(整理者單位:哈爾濱市香紅小學)

輝煌個人介紹:

真名:陳光，工作單位為福建省福州市倉山實驗小學，中學高級教師，教齡42年。2003年參與福建編寫組編寫第三版北師大版數學教材。

編輯/魏繼軍