關于線性代數課程教學的一點思考

摘要本文利用最小二乘解概念探討了關于求無解的線性方程組的最優的近似解的教學，完備了線性方程組解的各種情況的處理方法，也更契合于實際應用。

關鍵詞線性方程組 最小二乘解

中圖分類號:G423文獻標識碼:A

線性方程組是線性代數的重要內容，也是一個基本的數學工具，但是目前的線性代數教材大多數對其討論的都不完備，一般只是給出線性方程組是否有解的判定以及有解時的解的結構及解法，但對于線性方程組無解的情形則不作討論。

事實上，實際問題中是會經常遇到無解的線性方程組(由實驗數據建立起來的方程組很可能無解)，而無解線性方程組可以有最優的近似解(最小二乘解)。因此，我們非常有必要補上這一塊兒內容，這樣既完備了線性方程組各種情況的處理方法，也對實際有利。下面我們就來探討線性方程組無解情形下的教學。

考慮無解的線性方程組:

AX=，令=AX-，我們稱為剩余向量。在實數域上，使得剩余向量長度最小的向量Y(對于AX=而言)稱為方程組AX=的最小二乘解，即對所有的實n維向量X都有||AY-||≤||AX-||。也就是說要在集合{AX}中找到一個向量，使得對任意∈{AX}，總是有||-||≤||-||?？梢宰C明(用幾何直觀解釋如圖)。

||-||最小當且僅當-與{AX}中每個向量正交，因{AX}中每個向量都是由A的列向量張成，故-與A的所有列向量正交，即有AT(-)=0，因=AY，我們有ATAY=AT。因此AY=的最小二乘解即為ATAY=AT的解。

事實上，matlab函數庫中已有這種情況的算法。下證在實數域上ATAY=AT總有解。

例(1)設A為任意矩陣，則秩(ATA) = 秩(A)。

證明:考慮齊次線性方程組ATAX=0與AX=0，顯然方程組AX=0的解都是方程組ATAX=0的解。另假設向量Y為方程組ATAX=0的解，即ATAY=0，則YTATAY=0，于是可得(AY)TAY=0，從而AY=0。這也就是說方程組ATAX=0的解也都是方程組AX=0的解，從而這兩個齊次線性方程組同解，所以秩(ATA) = 秩(A)。

例(2)設矩陣A，B，則秩(AB) ≤秩(A)。

證明:我們對矩陣A按列分塊兒，設A=(1，2…，3)，則由矩陣的分塊兒乘法得AB的各個列向量均為A的列向量的線性組合，所以AB的列向量組可被A的列向量組線性表出，從而秩(AB)≤秩(A)。

例(3)在實數域上ATAY=AT總有解。

證明:由線性方程組有解的判定，只需證明增廣矩陣的秩等于系數矩陣的秩，而顯然增廣矩陣的秩大于等于系數矩陣的秩，又由分塊兒矩陣乘法秩(ATA AT)=秩(AT(A))，由例(1)及例(2)容易得到秩(AT(A))≤秩(AT)=秩(A)=秩(ATA)，所以增廣矩陣的秩等于系數矩陣的秩，因此，在實數域上上述線性方程組ATAY=AT總是有解。

通過以上的分析，我們在實際應用中遇到無解線性方程組的時候，只需去求它的最小二乘解就可得到它的最優的近似解。而求解，我們可以用新的計算技術去實現，方便而快捷。

這樣，在整個線性方程組的教學中，我們把方程組的各種解的情況都考慮到了，讓學生對線性方程組得到了全面的掌握，同時，也使線性代數的教學與實際應用有了更緊密的聯系，使線性代數與新的計算技術相結合，從而提高學生對線性代數的學習興趣。

筆者希望關于無解的線性方程組的這一點教學思考能起到拋磚引玉的作用，使線性代數這門課的教學能進一步的完善。

參考文獻

[1]北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數[M].北京:高等教育出版社，2003(第三版).

[2]王萼芳，石生明等.高等代數輔導與習題解答[M].高等教育出版社.