新課標下,初中數學的“證明”教學

摘要數學“證明”，主要是幾何的證明，常與歐氏幾何同等看待?！皫缀坞y，教師難教，學生難學?！笔莻鹘y教學中的普遍現象。目前，隨著新一輪的教學改革，在新課標下，如何才能做好初中數學的“證明”教學，是本文探討的主要問題。

關鍵詞新課標 證明 教學策略

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

1 問題的提出

初中“證明”教學，主要是幾何“證明”的教學，它既是教學的重點，也是教學的難點。我們常說的幾何證明，一般與歐氏幾何證明等同看待，它的本質主要是:一是給出了證明的出發點，即公理上、公設和定義;二是給出了證明的方法，即演繹法或三段論。學生學習歐氏幾何，經歷幾何這種論證方法的訓練，能讓學生的思維得到訓練，不僅表現在言之有理，持之有據，辦事有條理等，也能提高學生提出問題，分析問題，解決問題的能力。而在實際的教學中，“幾何難，教師難教，學生難學。”雖然新《課標》和新教材中，對“證明”的內容都作了較大的調整，淡化了證明的技巧和形式化的內容，降低了“圓”的要求，但新課標和教材中，新增了:學習平移、旋轉、對稱的基本性質，學習運用坐標確定物體位置的方法以及發展空間觀念、“合情說理”等內容。雖然證明中要求推理的過程不能過繁，一切從簡，但證明的過程仍然要求做到事實準確，道理嚴密，過程完整。為了更好地落實新課標，把握好新教材，培養學生的幾何直觀能力和邏輯推理能力，讓學生在證明中，做到有理有據，過程完整，筆者針對新標中證明的要求，對證明的教學策略作了初步探索。

2 新《課標》中關于“證明”的解讀

(1)課標的總體目標中，對“數學思考”的要求:“經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點。”

(2)在學段目標的“數學思考”中這樣闡述:“在探索圖形的性質、圖形的變換以及平面圖形與空間幾何體的相互轉換等活動過程中，初步建立空間觀念，發展幾何直覺?！?“體會證明的必要性，發展初步的演繹推理能力?！辈⒃趯W段目標的“情感與態度”目標中表述為:“感受證明的必要性、證明過程的嚴謹性以及結論的正確性?！?/p>

(3)在內容標準中，對推理與證明要求:“在探索圖形性質、與他人合作交流等活動過程中，發展合情推理，進一步學習有條理地思考和表達;在積累了一定的活動經驗與掌握了一定的圖形性質的基礎上，從幾個基本的事實出發，證明一些有關三角形、四邊形的基本性質，從而體會證明的必要性，理解證明的基本過程，掌握用綜合法證明的格式，初步感受公理化思想?！币幎?教學中，應注重學生經歷觀察、操作、推理、想像等探索過程;應注重對證明本身的理解，而不追求證明的數量和技巧。證明的要求控制在《標準》所規定的范圍內。

(4)在課程實施建議中，有“證明的必要性、基本過程和基本方法”的建議:“證明”的教學所關注的是，對證明必要性的理解，對證明的基本方法和證明過程的體驗。

3 證明的教學策略

3.1 華師版幾何教材中，證明的梯度訓練教學策略

華師版的初中數學教材中，七年級的幾何以說理為主，并在此基礎上，初步學習幾何的規范證明，所以證明多以填某個推理的步驟或填寫理由的形式出現，讓學生領會證明的方式和推理的過程，然后逐步過渡到嚴格的證明。所以，在七年級的幾何證明教學中，讓學生學會用所學的公理、定理、性質和判定等作為依據，能大膽地說出結論和理由，盡可能在教學中，讓學生探究、合作交流，能從已知大膽地進行合情推理或演繹推理敘述，最后推出結論，教師僅作必要的補充。這個過程中，是以“結論——為什么?”的程序進行。并在掌握了一定的幾何語言以及進行了一定的填某步推理和填寫理由的幾何證明訓練后，指導學生根據敘述的推理過程，用幾何語言寫出推理的過程，這就是要寫的證明過程。在八、九年級的幾何證明中，不再出現以填寫某步推理和填寫理由的形式的證明題，但在證明的教學過程中，應堅持先說過程，再寫推理的證明過程，對解決幾何證明的書寫難問題十分重要。

另外，華師版的七年級幾何教材中，安插了不少的“想一想”、“讀一讀”、“做一做”、“量一量”、“擺一擺”、“畫一畫”、“折一折”、“填一填”等內容，這些內容，不僅可以培養學生動手和動腦的習慣，也有利于擴大學生的知識面，讓學生動手動腦的基礎上進行交流探究，既可增加學生的幾何學習興趣，又可以幫助師生解決幾何難教學問題。這種“幾何體驗教學”內容，對培養幾何推理和證明也有較大的幫助。

在證明的教學中，課標在最后一部分中，有證明的過程和方法的教學建議，教師務必廣泛采納。首先，應通過生活中的例子使學生認識到，有些命題可以通過觀察和實驗得到并獲得大家的認可，如線段，射線和直線的教學學，平行線的定義教學學等。但有些命題僅僅通過觀察和實驗是不夠的，從而使學生體會證明的必要性;其次，應該使學生理解證明的基本要求，有條理地闡述自己的想法，知道推理必須有依據，證明過程的表述必須條理清楚，并在證明過程中，逐步達到這個要求。這個教學過程中，要堅持按學生的思維特點，“以學定教”，而不是“以教定學”。在九年級證明教學中，教材還介紹了反證法。反證法也是一種重要的證明方法，教學中可以通過生活實例和簡單的數學例子，使學生體會反證法的思想。但不必給出反證法的證明格式。證明教學中，盡可能引導學生從問題出發，根據觀察、實驗的結果，運用歸納、類比的方法首先得出猜想，然后再進行證明，這十分有利于學生對證明的全面理解;使用較規范的數學語言表述論證的過程，利于學有生清晰而有條理地表達自己的觀點和理解他人的思想;組織學生探索證明的不同思路，并進行適當的比較和討論，這有利于開闊學生的視野;提供一些具有實際背地景的命題，增加論證的趣味性，有助于激發學生對數學證明的興趣和掌握綜合證法的信心。

3.2 幾何證明的教學策略

(1)命題的證明的步驟和教學方法。在命題教學中，課標建議:應通過生活和數學中的實例來說明什么是命題;能夠區分一個簡單的命題的真偽，能夠用反例來判定一個命題是假命題;對幾何中的一些基本命題，應該要求學生能夠畫出相應的圖形，并逐步學會用符號來表示命題。

①分清命題的“題設”和“結論”:首先要培養學生會正確劃分命題的“題設”和“結論”。每一個命題都是由題設和結論兩部分組成的，要求學生從命題的結構特征進行劃分，掌握重要的相關聯詞句。例:“如果……，那么……?！薄叭簟瑒t……”等等。用“如果”或“若”開始的部分就是題設。用“那么”或“則”開始的部分就是結論。有不少的命題的題設和結論是比較明顯的。對題設和結論不十分明顯的命題，則可要求學生將它改寫成“如果……，那么……”的形式，再找題設和結論就容易多了。另外，讓學生領會命題的本質特征，在一個命題中被判斷的“對象”是命題的“題設”，也就是“已知”。判斷出來的“結果”就是命題的“結論”，也就是“求證”?？傊_劃分命題的“題設”和“結論”，就是要分清什么是命題中被判斷的“對象”，什么是命題中被判斷出來的“結果”。

②畫圖，寫“已知”和“證明”:首先根據命題題意畫幾何圖形，并標上字母。再結合圖形，用幾何語言，把命題中的“題設”寫成“已知”，“結論”寫成“求證”。

③寫證明過程:通過分析，理清推理思路和過程后，寫出規范的證明過程。

(2)證明的分析方法，及證明過程的書寫教學。

①順推法及其證明的書寫:順推法是由條件到結論，也就是從“已知”推出“結論”的定向思維方法。在探究推理的過程中，從已知條件，逐步推到求證結論的思維過程。這種過程直接寫出來就是證明過程。這種方法在較多的簡單題目中比較適用，多采用三段式的演繹推理。其分析過程和推理過程的思維一致，用幾何語言寫出的推理過程就是規范的證明過程。

②倒推法及其證明的書寫:倒推法也叫逆推法。是從結論到條件的思維方法。也就是從求證的目標著手進行分析推理，并推究由什么條件可獲得這樣的結果，然后再把這些條件作結果，繼續推究由什么條件，可以獲得這樣的結果，直至推究到要的條件與已知相符為止。這種方法中，我采用的教學模式為:“得結論—有什么—還缺什么—先找什么”，以此類推，直至推到全部為已知為止。這種方法，從八年級的“全等三角形”的教學開始，特別是兩次全等的證明，更加適用。書寫證明時，則要反過來，“缺少的，也就是先找的”要先證，以此類推。

③倒推——順推法及其證明的書寫:倒推——順推法是先從倒推入手，把目標探究到一定程度后，再回到已知條件順推，當兩個方向匯合了，已知和求證的聯系就清楚了，這種方法是前兩種方法的綜合。在證明的書寫上，也是兩種的綜合。仍然堅持“缺少的，也就是先找的”要先證、先寫。

(3)此外，在幾何證明的教學過程中，要注意培養學生添輔助線的能力，培養學生的創新思維能力和解決幾何問題的機智能力。要使學生認識到:在幾何證明題中，適當地添加輔助線，可使學生將較難的證明題轉為較易證明題，教師在教學中，可將一些常見的添加輔助線的方法和規律在教學中歸納和呈現，如梯形的常見輔助線作法:作高、平移對角線、平移一腰、延長兩腰相交，或涉及一腰(或兩腰)的中點時作中位線;又如，凡涉及圓的直徑時，常構成直徑所對的圓周角，涉及圓的切線時，常連接切點和圓心等。在書寫證明過程中，要先將輔助線的做法寫出來。

參考文獻

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