生活中的數學,數學中的生活

摘要新課程強調數學課堂教學應為學生提供豐富的學習材料，拓展學生的數學活動空間，讓學生感受數學來源于生活，發展學生“做數學”“用數學”的意識，認識到課本不是課程的唯一資源;課本不是學生的世界，而世界才是學生的課 本。只有教師跳出數學看數學，學生才能透過數學看世界。

關鍵詞生活 歸納 應用

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

1 教材分析與處理，學情分析與對策

這是高二選修2—2的教學內容，教材中的內容較理論化，但各地高考數學試卷的壓軸題中就主要考查數列、數學歸納法和不等式的有關知識，考查推理論證、抽象概括、運算求解和探究能力，考查學生是否具有審慎思維的習慣和一定的數學視野。這節課臨時被安排在一所重點中學的高二理科班進行教學。如果只是按教材囫圇吞棗、生搬硬套，則不能發揮教材的作用。

對于學生來說，手頭只有這節內容的復印材料，既無銜接、也無后續，而且是在他們復習中突然闖入的一節課;而對于我來說，課前與學生沒有任何接觸。為避免這節課的突兀，因此教學設計時，按照高中學生的認知特點，引導學生從觀察生活中火車入手，循序漸進的進行探究。

2 教學過程(以下T代表教師，S代表學生)

2.1 創設情景，引出概念及問題

T:故事發生在很久很久之前，有一位財主，他的兒子上學堂，第一天學了“一”字，第二天學了“二”字，第三天學了“”三”字，三天后便稱已學會所有，以后用不著請老師了。財主聽后直夸兒子聰明。……(邊講邊逐一播放四副漫畫)

S:(眾學生):一天，財主家來了一位姓“萬”客人，財主便讓兒子寫客人的姓“萬”字。可財主和客人左等右等，不見作品，于是雙雙走進書房，見其正揮汗如雨，奮筆疾書，財主兒子見此二人，便埋怨道:“您為何是姓‘wan’呢?這一萬橫可不是一時半回就能寫得好的。”(學生開懷大笑，由陌生帶來的距離蕩然無存)。學生也開始敢于發表自己的想法了:

S:覺得財主的兒子還是有點小聰明，至少他會從“一二三”去推理“萬”字……

T:大家能從各個不同的角度、新的眼光全面的、一分為二的看待老故事的內涵，，挖掘出新的思想。財主的兒子從“一二三”中去推理“萬”字這種推理方法在數學上稱之為——

S(眾學生):歸納法……特點……

學生舉一些歸納法應用的例子:

S:等差數列通項公式的得到;等比數列的通項公式;給出數列的前四項，求它的一個通項公式用的是歸納法……

2.2 教師評價、點撥、引導，學生探索、合作、體驗

S:一般結論的得出帶有猜測的成份，有時正確而有時錯誤，通過證明才可以得知其正確與否。

T:很好!確實等差數列、等比數列通項公式用的也是歸納法，那大家在當時用它們時是否產生過懷疑?

S:(大部分):沒有，從來也沒有。(很多學生此時都睜大了眼睛)

S:有過，不過念頭一閃就沒有去深究，也沒時間就不了了之了。

T:好，首先為你的質疑精神鼓掌，現在，我們該為數列做些什么?

S:證明!

T:用什么證明方法?

顯然，學生遇到了阻力，在經過討論之后，大家比較沮喪。

T:不要灰心，大家剛才在討論中都用了些方法，我們不妨來聽一聽同學的想法，說不定會帶給大家一些想法。

S:我們考慮到這是一個與正整數有關的數學命題，就驗證當n = 1時第一個等式是成立的，當n = 2時，a2 = a1+d = a1+(2-1)d第二個等式是成立的，……逐個驗證

S:那有無數個等式，永無盡頭?

T:那么，能否找到一種方法來替代這種無限次的驗證呢?

觀察實例，給出圖1——一列相互脫節的火車，怎樣使整列火車跑起來?假設車廂有無數節。

S:把每節車廂都連接起來，只要火車頭跑起來，整列火車就跑起來了。不然，要逐個移動車廂才能達到目的，但這不現實。

T:能分析一下使整列火車跑起來的決定因素嗎?(此時學生情緒高漲)

S:第一，火車頭要跑起來;第二，任意兩節車廂之間都有連接。

S:兩個條件要同時成立，缺一不可!

教師及時板書:

火車頭要跑起來——跑起來的基礎

有連接———具有傳遞性

T:從上述實例中，我們是不是得到了某些啟示了呢?

此時的學生很快達成共識:對于一個與正整數有關的數學命題，如果它具有傳遞性，同時存在傳遞的基礎，我們就能用“有限”的手段來解決“無限”的問題。

T:這種從實踐中抽象出來的數學方法——數學歸納法，其基本思想是:

S(眾):在可靠的基礎上，利用命題本身所具有的傳遞性，運用“有限”手段來解決“無限”的問題。

教師引導下讓學生更數學化的語言將二者有機過渡，將“火車跑起來”敘述成以下的方式:

師生共同完成，用自己的成果來證明猜想——等差數列通項公式。教師板書并及時總結數學歸納法的證明步驟。

2.3 鞏固與創新應用

學生板演練習1:已知1=12;1+3 = 4 = 22;1+3+5 = 9 = 32;1+3+5+7 = 16 = 42;……

(1)猜想:1+3+5+7+……+(2n-1)=? (n∈N*)

(2)并用數學歸納法證明之。

(讓學生再次體驗觀察→ 歸納→ 猜想→ 證明的過程，培養學生解決問題的思考方式)

板演的結果非常好，教師對其步驟、格式給予高度贊揚。此時S給出了他的解題過程:用數學歸納法證明1+3+5+7+……+(2n-1)= n2(n∈N*)

證明:(1)當n = 1時，左邊 = 1，右邊 = 1，等式成立。

(2)假設n = k時等式成立，即1+3+5+7+……+(2k-1)= k2，

則n = k+1時

1+3+5+7+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]

= [1+2(k+1)-1](k+1)/2

= (k+1)2

這就是說，當n=k+1時，等式也成立。

由(1)(2)可得，等式對于一切n∈N*都成立。

同學之間開始討論，有一小部分開始搖擺。

S:這不是數學歸納法，因為從n=k到n=k+1的傳遞性沒有了，猶如火車中前k節車廂都是火車頭帶頭跑起來，第n=k+1列車廂被另外一股力量帶動跑起來，第k節與第k+1節中間脫節了，傳遞性喪失了，所以也就不符合數學歸納法原理。

T:說的相當好!也非常形象生動，讓我們體會到數學歸納法的本質所在，象剛才的證明過程我們不妨稱之為“披著羊皮的狼”，希望以后不要再犯這個錯誤。

2.4 在問題解決中進行反思與小結

變式已知1+3 = 4 = 22;1+3+5 = 9 = 32;1+3+5+7 = 16 = 42;

……

(1)猜想:1+3+5+7+……+(2n-1)=?(n≥2且n∈N*)

(2)并用數學歸納法證明之。

S:用數學歸納法證明1+3+5+7+……+(2n-1)= n2(n≥2且n∈N*)只需將(1)中驗證n=1的情況改成驗證n=2的情況就行了。

T:為什么?

S:現在第一個命題是n = 2的命題，相當于n = 2的命題是火車頭。

T;多么棒的解釋!那么此時我們來回首剛才的原理有無欠妥之處?

S:應作一小小的改動:(1)當n = n0(n 的初始值為n0)時，命題成立。

(2) 假設n = k(k≥n0)時命題成立，當n = k+1時命題也成立。

同樣證明步驟中也作相同的修改即……

T:把這節課的主要理論知識作了一個很好的小結，那數學歸納法是否可應用再任何領域?

S(眾):適宜在證明某些與正整數有關的數學命題。

T:現在，我們介紹一下誰是第一個正式研究此課題的人——他是意大利科學家莫羅利科……剛才我們從實際生活中的火車里找尋數學遞推的思想的影子，那么你還能在生活中找到遞推的思想的應用呢?

S:自行車后輪的轉動會帶動前輪。

T:有那么點意思，好象個數少了些。

S:鏈條，環環相扣

S:多米諾骨牌!(學生的贊同之聲不絕于耳)

學生從多米諾骨牌到自行車推倒，從放鞭炮到抽取式紙巾……學生沉浸在數學應用的愉樂之中。最后在播放多米諾骨牌大賽的視頻中進行小結和布置作業……

3 教后反思

3.1 將新的課程理念融入教學中，改變學生的學習方式

本節課以新課標為指導，以數學素質教育課的模式進行;充分考慮學生的認知特點，借助直觀教具創設多個問題情境，吸引學生進行體驗式學習，激發學生學習的興趣，在形式化的表達中，強調對數學本質的認識和對“雙基”的夯實，發展學生的應用意識以達到數學素質教育課目的。

3.2 滲透數學思想方法重在平時

當學生有一天不再學習數學，我們給學生留下了什么?我想應是那些思考問題的意識、方式和解決問題的方法。本課中一直以培養學生的數學觀察、歸納、發現、證明的邏輯思維能力為主線，發展學生的數學應用意識和創新意識，力求對現實世界中所蘊涵的一些數學模式進行思考和作出判斷。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數學課程標準(實驗).北京:人民教育出版社，2003.4.

[2]徐毅克.數學歸納法.數學通訊，1996.6.

[3]張順燕.關于數學教學的若干認識.數學教育學報，2004.1.