數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)

數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基本成分是數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，這三種基本成分在數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程中起著不同的作用：數(shù)學(xué)思想方法起著決定戰(zhàn)略方向的作用，數(shù)學(xué)知識(shí)起著解決戰(zhàn)術(shù)問(wèn)題的作用，而數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)起著如何運(yùn)用這些戰(zhàn)略、戰(zhàn)術(shù)經(jīng)驗(yàn)的作用。數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不是它的基本成分的隨意堆砌，而是學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)大量數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法、經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行系統(tǒng)的加工、消化、整理，經(jīng)過(guò)抽象、概括、歸納之后形成的一個(gè)有組織、有規(guī)律、有層次的整體結(jié)構(gòu)。

一、注意知識(shí)的整體性教學(xué)，促使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)層次分明

教師在教學(xué)中要有整體觀念，不能把每一個(gè)例題看做是孤立的，就題講題，而要很好地研究每一個(gè)例題的意圖，例題相互之間的聯(lián)系，該例題和前面的學(xué)習(xí)有什么樣的聯(lián)系，教后想前，不斷地使新舊知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò)。要發(fā)展學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在教學(xué)過(guò)程中，要注意兩個(gè)方面的要求：

1. 注意知識(shí)組塊的教學(xué)

認(rèn)知結(jié)構(gòu)在學(xué)生頭腦里是呈模塊結(jié)構(gòu)的。具體來(lái)講，源源不斷的新知識(shí)內(nèi)化到頭腦里以后，在新舊內(nèi)容相互作用的基礎(chǔ)上，學(xué)生將所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)形成若干系統(tǒng)，由此在頭腦里形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)板塊，板塊的大小和多少直接受所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的多少的制約和影響。呈板塊結(jié)構(gòu)狀態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)既便于儲(chǔ)存，又便于提取。孤立的知識(shí)教學(xué)不可能建立起層次分明和觀念緊密的教學(xué)系統(tǒng)。因此，新知識(shí)的教學(xué)不能孤立進(jìn)行，應(yīng)把新知識(shí)納入原有的觀念系統(tǒng)中進(jìn)行整體考慮，是新知識(shí)與原有的相關(guān)知識(shí)相聯(lián)系，并把這些有聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)重新組織為一個(gè)更大的知識(shí)組塊。這樣，既有利于知識(shí)的保持，又有利于知識(shí)的檢索與應(yīng)用。

例如，學(xué)完三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以后，如果不做進(jìn)一步的組織加工，那么這些孤立的知識(shí)是難以保持和應(yīng)用的。但如果教師引導(dǎo)學(xué)生把這些公式放在一起進(jìn)行觀察、比較、分析，最后概括為新的知識(shí)組塊“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，那么學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)就得到體系化。

２. 實(shí)施由整體到部分，再由部分到整體的教學(xué)

整體由部分構(gòu)成，要把握整體，就要揭示整體的結(jié)構(gòu)和特征。因此，教學(xué)應(yīng)首先從整體到部分。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，整體主要表現(xiàn)為一個(gè)小單元、一小節(jié)、一章和一門(mén)學(xué)科，部分則是一些具體的知識(shí)內(nèi)容。我們可以將要學(xué)習(xí)的整體知識(shí)中的一些關(guān)鍵和重要內(nèi)容提出綜合性的概括和描述，或提出相應(yīng)的問(wèn)題，造成學(xué)生認(rèn)知上的沖突，接著從這一整體知識(shí)的研究對(duì)象、研究方法和用途等方面給學(xué)生一個(gè)全面的概述，使學(xué)生對(duì)這一知識(shí)單元有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，然后逐步學(xué)習(xí)每一部分的內(nèi)容。因此，在掌握部分之后，我們要根據(jù)各個(gè)部分之間的關(guān)系（如從屬關(guān)系、交叉關(guān)系、矛盾關(guān)系、對(duì)立關(guān)系、邏輯關(guān)系等），把這些部分聯(lián)系起來(lái)，形成一個(gè)層次分明、類別清楚和聯(lián)系緊密的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

二、加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

數(shù)學(xué)思想方法是人們通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成的一個(gè)總的看法或觀點(diǎn)，它是人們學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程中思維活動(dòng)的導(dǎo)航器，只有形成正確的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，掌握一定的數(shù)學(xué)方法，才能領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，體會(huì)數(shù)學(xué)的真諦，快速有效地解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。因此，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)過(guò)程就必須突出數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，幫助學(xué)生建構(gòu)思想方法層次上的數(shù)學(xué)觀念，如配方法、換元法、反證法等基本方法，試驗(yàn)、猜想、歸納、分析、綜合、演繹、類比等思維方法，以及方程思想、化歸思想、構(gòu)造思想等更高層次的數(shù)學(xué)思想。

例1 已知點(diǎn)P是橢圓=1（a>b>0）上的一個(gè)點(diǎn)， F1、F2為橢圓的焦點(diǎn)，且∠ F1 P F2=α，求△F1PF2 的面積。

分析：由三角形面積公式S△F1PF2=|PF1|·|PF2|sinα可知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|PF1|·|PF2|的值。從以上八條信息中篩出有用的知識(shí)信息：

|PF1|+|PF2|=2a，要想求|PF1|·|PF2|只需平方，那么可得：

|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=4a2①

式中出現(xiàn)了|PF1|·|PF2|，但同時(shí)也出現(xiàn)了多余項(xiàng)|PF1|2、|PF2|2 ，與①

式類比，聯(lián)想三角形的余弦定理，有 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosα=

|F1F2|2=4C2 ②

這樣，①-②消去多余項(xiàng)得出所要值|PF1|·|PF2|，那么S△F1 PF2 =·|PF1||PF2|·sinα=

雖然由一個(gè)知識(shí)信息，通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想與類比，能在自己良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中檢索或挖掘出許許多多的知識(shí)信息，但我們沒(méi)有必要將其一一列出，因?yàn)闊o(wú)用的信息反而會(huì)干擾解題思路與策略。只要我們平時(shí)善于觀察、分析、比較、概括和總結(jié)，有用的符合邏輯的知識(shí)信息會(huì)很快被辨別、篩選提取出來(lái)。解題時(shí)，我們還經(jīng)常遇到這樣的情形：解題思路受阻、山重水復(fù)疑無(wú)路，返回來(lái)，再用心挖掘出一個(gè)隱蔽信息，往往柳暗花明又一村?？梢哉f(shuō)，知識(shí)信息越豐富，解題思路越開(kāi)闊。而建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是理解、掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的有力保證。

從認(rèn)知角度看，數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)就是塑造學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因此在教學(xué)中，教師要能深刻領(lǐng)會(huì)教材內(nèi)容，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，精心設(shè)計(jì)科學(xué)的教學(xué)程序，這對(duì)構(gòu)建學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)能起到重要的作用。

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（靖江市第二中學(xué)）