例析洛倫茲力的分解問題

帶電粒子垂直進入磁場時，如果只受到洛倫茲力做勻速圓周運動，或是在平衡力作用下做勻速直線運動，這都是我們比較熟悉的題型。但是如果帶電粒子在磁場中的運動軌跡比較復雜，怎樣才能順利求解?這時若把洛倫茲力進行合理分解，可能會收到不錯的效果。僅舉幾例，讓我們一起來探討。

1 分解洛倫茲力，輕松理解運動過程

例1 如圖1所示，下端封閉、上端開口、內(nèi)壁光滑的細玻璃管豎直放置，管底有一帶電的小球，整個裝置水平勻速向右運動，垂直于磁場方向進入方向水平的勻強磁場，由于外力的作用，玻璃管在磁場中的速度保持不變，最終小球從上端口飛出，則( )

A.小球帶正電荷

B.小球從進入磁場到飛出端口前的過程中做類平拋運動

C.小球從進入磁場到飛出端口前的過程中洛倫茲力對小球做正功

D.小球從進入磁場到飛出端口前的過程中管壁的彈力對小球做正功

在此題中，不少學生對小球的運動性質及洛倫茲力是否會做功這兩個問題感到困惑，一旦在理解洛倫茲力是否做功問題上出現(xiàn)差錯，整個解題思路就走入困境。但如果對小球受到的洛倫茲力進行合理分解，這些問題則可順利求解。

解析 小球共受三個力(如圖2):向下的重力、水平向右的管壁彈力(從0逐漸增大)、方向為左上但方向會逆時針旋轉變化的洛倫茲力。把小球運動速度分解到水平方向vx和豎直方向vy，則:

1)洛倫茲力的水平分量與管壁彈力平衡: qvyB=N(因為小球水平方向為勻速運動。)

2)洛倫茲力的豎直分量為一恒定的值:qvxB-mg=ma(因為小球速度的水平分量vx不變，洛倫茲力的豎直分量大于重力，否則小球不會飛出。)

由上面分析可見，小球的運動是水平方向的勻速直線運動與豎直方向的勻加速運動的合運動，類似平拋運動。再根據(jù)功的定義，管壁的彈力向右，小球也有向右的位移，因此對小球做了正功。而洛倫茲力的水平分量和豎直分量所做功的代數(shù)和為零，即洛侖茲力是不會做功的。由以上分析可知，正確答案是ABD。

2 分解洛倫茲力，讓復雜的運動化繁為簡

例2 如圖3所示為某種新型分離設備內(nèi)部電、磁場分布情況圖。自上而下分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個區(qū)域。區(qū)域Ⅰ寬度為d1，分布有沿紙面向下的勻強電場E1;區(qū)域Ⅱ寬度為d2，分布有垂直紙面向里的勻強磁場B1;寬度可調(diào)的區(qū)域Ⅲ中分布有沿紙面向下的勻強電場E2和垂直紙面向里的勻強磁場B2。現(xiàn)有一群質量和帶電量均不同的帶電粒子從區(qū)域Ⅰ上邊緣的注入孔A點被注入，這些粒子都只在電場力作用下由靜止開始運動，然后相繼進入Ⅱ、Ⅲ兩個區(qū)域，滿足一定條件的粒子將回到區(qū)域Ⅰ，其他粒子則從區(qū)域Ⅲ飛出，三區(qū)域都足夠長。已知能飛回區(qū)域Ⅰ的帶電粒子的質量為m=6.4×10-27kg、帶電量為q=3.2×10-19C，且有d1=10cm，d2=52cm，d3>10cm，E1=E2=40V/m，B1=4×10-3T，B2=22×10-3T。試求:

(1)該帶電粒子離開區(qū)域Ⅰ時的速度;

(2)該帶電粒子離開區(qū)域Ⅱ時的速度;

(3)該帶電粒子第一次回到區(qū)域Ⅰ的上邊緣時離開A點的距離。

解析 為研究方便，建立如圖4所示坐標系。

(1)設帶電粒子離開區(qū)域Ⅰ時的速度為v

由qE1d1=12mv2得:

從第(3)問的求解過程可知，粒子在區(qū)域Ⅲ的運動軌跡是一個復雜的曲線運動，如果把洛倫茲力進行恰當?shù)姆纸夂螅涂梢詫⑦@個復雜的曲線運動分解成兩個熟悉而簡單的運動，再進行求解也就很順利了。

3 分解洛倫茲力，讓抽象的軌跡就地遁形

例3 如圖5所示，速度選擇器極板長為L，極板間距為d，勻強電場的電場強度為E，勻強磁場的磁感應強度為B，S1與S2是位于絕緣板上的正對小孔，一個質量為m，電荷量為q的負粒子(不計重力)以初速度v0從小孔S1進入兩極板間，粒子沿直線從小孔S2穿出。

(1)求速度v0;

(2)如果該粒子以v=0.6v0從小孔S1進入兩極板間，請以S1為原點，水平方向為x軸，建立直角坐標系，寫出粒子的橫坐標與縱坐標隨時間的變化規(guī)律。

解析 (1)粒子進入電磁場中，受到電場力qE和洛倫茲力qv0B作用，沿直線從小孔穿出時，由qE=qv0B可知，v0=E/B

(2)從第(1)問中發(fā)現(xiàn)，當以0.6v0的速度進入時，粒子受到的洛倫茲力與電場力不再平衡，其運動軌跡復雜。如果能夠把這個復雜的運動進行分解，找出其兩個簡單的分運動，則問題就能迎刃而解。

于是把入射速度v=0.6v0在同一直線上進行分解，分解為向右v1=v0和向左v2=-0.4v0，則粒子同時受到兩個洛倫茲力作用，f1=qv1B和f2=qv2B (如圖6示)。其中f1=qE，粒子在水平方向做勻速直線運動，速度為v0;而f2=0.4qv0B則提供向心力，使粒子在豎直面上做勻速圓周運動。從運動的獨立性上來看，該粒子的運動是由水平方向的勻速直線運動與豎直面上的圓周運動合成的。

設經(jīng)過時間t，圓周運動所轉過的圓心角為θ，則:勻速直線運動的水平位移:

從以上幾題不難看出，把洛倫茲力進行合理分解后，一個復雜的曲線運動就分解成兩個熟悉且簡單的運動，我們只需對兩個簡單的分運動進行獨立的研究，問題就變得清晰容易了。

(欄目編輯 陳 潔)