學(xué)好數(shù)學(xué)需多來幾串“糖葫蘆”

眾所周知，數(shù)學(xué)解題能力的強弱會直接影響數(shù)學(xué)成績的高低，而要具備較強的解題能力，除了要有堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與掌握基本的解題方法外，還有就是會一題多解.因為一題多解，不僅能“串”出多種數(shù)學(xué)知識與方法，而且能通過比較不同的解法更加靈活地運用知識，進而更深刻理解數(shù)學(xué)知識，牢固掌握數(shù)學(xué)方法，因此，在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中不時被采用.平時的數(shù)學(xué)練習(xí)中，這種一題多解的“糖葫蘆串”還是很多的.下面，我們以一道不等式的證明題來作分析.

一、題目

已知a>0，b>0，a+b=1，求證:+≤2.

一道題目就像一支竹簽，解答方法與數(shù)學(xué)知識就像“糖葫蘆”，下面試試能“串”上多少個“糖葫蘆”?

二、證明方法

搜索高中數(shù)學(xué)不等式的證明方法后，嘗試了多種證明方法，“串”出了以下“糖葫蘆”.

【糖葫蘆一】比較法

不等式兩邊平方后作差可得.

證明:∵+-22=-2≤-2=2-2=0，∴+≤2.

點評利用不等式的性質(zhì)，通過升冪作差，再利用基本不等式放縮后比較大小而得.

【糖葫蘆二】綜合法

[法1]利用a≥0，b≥0時，都有ab≤()2， 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.

證明:左邊==≤=2.

[法2]利用不等式≤，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.

證明:左邊=+≤2=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.

[法3]利用柯西不等式:若a，b，c，d都是實數(shù)，則ac+bd≤，當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時，等號成立.

證明:左邊=1×+1×≤=2，當(dāng)且僅當(dāng)1×=1×?xí)r，即a=b時，等號成立.

點評以上三種由因?qū)Ч闹苯幼C法中，分別用到了基本不等式、放縮法、柯西不等式等方法.

【糖葫蘆三】分析法

證明:欲證+≤2成立，

即證a++b++2#8226;≤4成立，

即證#8226;≤1成立，

即證ab+(a+b)+≤1成立，

即證ab≤成立……①

由a>0，b>0且a+b=1，

∴ ab≤()2=，即ab≤成立(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”).

所以 ①式成立，所以原式成立.

點評在由果索因的證法中，用到了等價變形與基本不等式.

【糖葫蘆四】反證法

證明: 假設(shè)+>2成立，則a++b++2#8226;>4.

∵ a+b=1， ∴#8226;>1，即ab+(a+b)+>1， 即ab>…………①

由a>0，b>0，且a+b=1，

∴ ab≤()2=，即ab≤(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”)…………②

①式與②式矛盾，從而假設(shè)不成立，所以原命題成立.

點評要推出矛盾，反證法中也用上了基本不等式.

【糖葫蘆五】導(dǎo)數(shù)法

證明:∵ a+b=1，∴原不等式可化為+-2≤0(0

令f(x)=+-2(0

當(dāng)x變化時，f ′(x)﹑f (x)的變化情況如下表:

∴ f (x)的極大值為f (x)max=f ()=0，即+-2≤0(0

點評導(dǎo)數(shù)法展示了不等式、函數(shù)、方程三者的緊密聯(lián)系，從更高的角度解答了這一問題.

【糖葫蘆六】三角法

[法1]證明:由a>0，b>0，a+b=1，可令a=sin2，b=cos2(0<<)，則:

左邊=+

=

=

=

≤

≤=2. ∵ 0<<，∴ 0<2<，∴0

[法2]證明:令x=，y=，由已知得

∵ <<，∴ <+<，當(dāng)且僅當(dāng)=時，即a=b時，(x+y)max=2，故不等式+≤2成立.

點評利用三角函數(shù)的性質(zhì)等價變形，通過合并化簡而證得.

除了能“串”出以上六個“糖葫蘆”外，能否利用幾何圖形來解答本題，即再“串”上幾何法這一“糖葫蘆”呢?請讀者思考.

三、感悟與實踐

(一)感悟

綜上可得:解答本題“串”出了比較法、綜合法、分析法、反證法、導(dǎo)數(shù)法、三角法六個“糖葫蘆”，知識方面“串”出了函數(shù)、方程、三角等數(shù)學(xué)知識.多品味這種營養(yǎng)豐富的“葫蘆串”，會讓你求知欲大增，同時獲得多種養(yǎng)料，讓數(shù)學(xué)能力這棵大樹茁壯成長.

故平時練習(xí)時可換幾個角度思考、探究、聯(lián)想，以發(fā)現(xiàn)更多的解答方法，學(xué)會綜合運用更多的數(shù)學(xué)知識.因此，要學(xué)好數(shù)學(xué)，不妨多來幾串“糖葫蘆”.讓我們在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中多給自己串幾串 “糖葫蘆”吧!

(二)實踐

下面給出一道題目，請讀者來串一串，看能串上六個“糖葫蘆”嗎?

已知a>0，b>0，且ab=a+4b，求證:ab≥16.

責(zé)任編校徐國堅