一道經典幾何概型題目的深度解讀

概率題，是高考數學題中常考的內容;概率與線性規劃綜合交匯的題目，卻是很多同學覺得陌生的內容.由于幾何概型的概率公式中涉及到事件的區域為面積的情形，而線性規劃中的可行域也出現幾何圖形的面積，從而可以交匯一起命制出新穎的概率題.下面我們就以一道經典的幾何概型題目為例進行深度解讀，希望能幫助同學們透徹理解幾何概型與線性規劃交匯的題目.

題目:甲乙兩人相約在7∶00到8∶00在某地會面，先到者等候另外一個人20分鐘，過時就可以離去，試求這兩個人能會面的概率.

我們思考求解此題的時候，很自然利用古典概型(即等可能事件的概率)，首先要求所有基本事件的個數，反復看題，會發現題目中只有這幾個數據:7∶00到8∶00(即一個小時)，20分鐘. 所有基本事件的個數還真找不到，很明顯，答案不可能是 =. 我們可以這樣思考，假如第一個人7∶00到，那么第二個人必須在7∶00—7∶20這段時間里到達才行. 這樣的概率的確是=，但假如第一個人在7∶50到，那么第二個人必須在7∶50-8∶00之間到達，這樣概率就變成=了.一道概率題的結果應該是唯一的，不可能變來變去的.不錯，甲乙兩人要會面，他們到達的時間范圍是7∶00-8∶00，也就是60分鐘.他們到底在哪個時刻到，這完全是隨機的，可能7∶01，也可能是7∶59，并且兩個到達的時間互不影響.這可以看做兩個變量，我們于是聯想到坐標系中的一個點，它毫無規則地在一個固定區域內隨機出現，并且它的橫坐標、縱坐標互不影響.這樣就好辦了，我們可以直接設甲、乙兩人到達的時間為x，y題目有個范圍(0≤x≤60，0≤y≤60)建立坐標系，施展線性規劃.顯然點P(x，y)就落在60×60這個的正方形內.那么，當x，y滿足什么條件時，才算兩人會面了呢?題目條件中說，兩人到達的時刻之差必須在20分鐘以內，這樣才算見面.可見，x，y必須滿足x-y≤20才行啊，而x-y≤20又等價于-20≤x-y≤20，即可以轉化為兩個不等式:-20≤x-y、x-y≤20，這樣一來，題目應該是一個幾何概型問題，所求的概率也就轉化成了求陰影部分的面積占正方形面積的比例.從而可以求得甲乙兩個人能會面的概率:

P(A)=== =.(402是兩個全等等腰直角三角形面積之和)

我們對這道經典的幾何概型題目進行了透徹分析，如果大家到此止步，就等于入到寶山空手而歸，浪費了一個很好的學習研究機會，我們應該繼續探究.

變式1:甲乙兩人相約于下午1∶00—2∶00之間到某車站乘公共汽車外出，他們到達車站的時間是隨機的，設在1∶00—2∶00之間有四班客車開出，開車時間分別是: 1∶15， 1∶30，1∶45，2∶00，求他們在下述情況下同坐一班車的概率:(1)約定見車就乘;(2)約定最多等一班車.

分析:類比上面的問題，我們可以設甲、乙到站的時間分別x，y是，則由題意可得:1≤x≤2，1≤y≤2，所表示的區域為圖2中的16個小正方形方格.我們先解決第(1)問，約定見面就乘車的事件所表示的區域為圖2中4個黑的小方格所示，由幾何概型可得概率為:=;同樣的道理，(2)中約定最多等一班車的事件所表示的區域為圖3中10個黑的小方格所示，由幾何概型可得概率為:=.

感悟:本題是上面的經典幾何概型題——約會問題的變形，我們利用線性規劃作出表示事件的所在區域，利用數形結合思想解決問題.

變式2 :設一根木條AB的長度為6，在木條AB上任取兩點(端點A，B除外)，將木條AB分成了三段.求這三段木條可以構成三角形的概率是多少?

分析:這道題條件更少，條件中只有一個“木條AB=6”，我想大家也都知道要使用線性規劃方法了.問題是怎么用. 剛才分析過的經典題，條件里就兩個人，一個設x，一個設y，清楚明白，這個題目只知道木條總長度，三段有三個變量，當然我們不會設x，y，z，這樣就很難辦了，考慮知道木條總長度，我們可以設其中兩條木條長度分別為x，y，則第三條木條長度為6-x-y，這就又轉化為兩個變量表示了. 由此可得:全部結果所構成的區域為:06-x-y，x+6-x-y>y，y+6-x-y>x，即為x+y>3，y<3，x<3，它所表示的平面區域為三角形DEF，由幾何概型知，所求的概率為P= =.

感悟:本題中涉及到三個變量，但分析可知，只要設出其中的兩個變量，就可以得到第三個變量，然后利用線性規劃知識作出圖形，聯系幾何概型知識使得問題解決.本題的結論可以做進一步的推廣:一條線段任意截成三段，則這三條線段能構成三角形的概率必定為.

變式3:在區間(0，1)上隨機取兩個數u，v，則關于x的一元二次方程x2-x+u=0有實根的概率為

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分析:題目中“在區間(0，1)上隨機取兩個數u，v”就是說變量u，v的范圍為:0

感悟:本題將概率與一元二次方程結合一起，題型新穎，由題意利用方程判別式得出不等式，從而可以利用線性規劃及幾何概型知識解決問題.本題假如變為:在區間(0，1)上隨機取兩個數u，v，則關于x的一元二次方程x2-x+u=0有兩個正實根的概率為.同學們可以思考一下，自己獨立解決.

數學知識之間相互滲透，聯系緊密，上面我們從一道經典幾何概型題目出發，通過變式，將幾何概型與線性規劃交匯的題目進行了詳細的思路分析，希望同學們在高三總復習時候，逐漸學會將數學學科內的知識點系統化、融會貫通、舉一反三，這樣就一定能提高高考數學成績.

參考公式:幾何概型的概率公式:P(A)==.

責任編校徐國堅