三角函數易錯點

三角函數和平面向量是高考考查的重點內容之一，由于這部分內容涉及概念和知識點多，公式變換靈活多樣，二者關系又比較密切，所以造成很多同學往往會因解法運用不當，或對隱含的條件考慮不周而丟分.下面就同學們在三角函數解題中常見的一些錯誤做一分類剖析，供大家參考.

易錯點一:忽視定義域或隱含條件致錯

例1. 求函數y=的值域.

錯解:y==y=，令sinx+cosx=sin(x+)=t，t∈[-，]，則sinx#8226;cosx=，即y==2(t-1)，所以原函數的值域為[-2-2，2-2].

剖析:上述錯解忽視了函數的定義域sinx+cosx≠-1，即t≠-1，可得t∈[-，-1)∪(-1，]，故y∈[-2-2，-4)∪(-4，2-2]為所求.

評析:研究函數問題必須要遵循“定義域優先”的原則，這樣在解決函數問題時才會減少失誤.

例2 . 已知3sin2+2sin2=2sin，求sin2+sin2的最大值和最小值.

錯解:由3sin2+2sin2=2sin得sin2=(2sin-3sin2)，則sin2+sin2=-sin2+sin=-(sin-1)2+，由|sin|≤1得:當sin=1時，sin2+sin2取最大值;當sin=-1時，sin2+sin2取最小值-.

剖析:由sin2=(2sin-3sin2)∈[0，1]得，0≤sin≤，則sin=時，sin2+sin2取最大值;當sin=0時，sin2+sin2取最小值0.

評析:本題錯解忽略了sin2=(2sin-3sin2)∈[0，1]這個隱含條件，使得sin的取值范圍擴大而致錯.很多數學題目都有隱含條件，需要做題時非常細心.

追蹤練習:

判斷函數 f(x)=的奇偶性.

點撥:本題易出現下列錯誤:因為 f(x)==sinx，所以 f(x)為奇函數.錯誤原因是忽略了函數定義域，答案應該是非奇非偶函數.

易錯點二:忽視角的范圍而致錯

例3. 已知A、B均為鈍角且sinA=，sinB=，求A+B.

錯解:因為A、B均為鈍角且sinA=，sinB=，所以cosA=-，cosB=-，由sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=-得A+B=或A+B=.

剖析:本題錯誤解法是擴大了角度范圍，由sinA=<

評析:對給值求角問題，必須要考慮已知角度的范圍和所求角的范圍，否則就會造成角度擴大而使問題解錯.另外，選擇正弦函數還是余弦函數也很重要，這決定了解題的長度或繁簡程度.

追蹤練習:

已知cos=，cos(+)=-，且∈(0，)，+∈(，)，求.

點撥:本題易出現下列錯誤:0 <++(-)<，∈(0，)，又sin=sin[(+)+(-)]=sin(+)cos-cos(+)sin=，所以=或=.出現錯誤原因是當∈(0，)時，sin不是單調函數，還要進一步討論角度的范圍，若選擇cos=cos[(+)+(-)]=，則可一步到位，正確答案應為=.

易錯點三:對函數性質理解不透而致錯

例4. 求函數y=3sin(-2x)的單調區間.

錯解:由2k-≤-2x≤2k+和2k+≤-2x≤2k+，得函數的單調增區間為[-k-，-k+]，(k∈Z);單調減區間為[-k-，-k-](k∈Z).

剖析:上述解法是把-2x看作整體，借助正弦函數的單調性而獲解的.事實上，y=3sin(-2x)是一個復合函數，上述解法忽視了復合函數單調性的法則而導致錯誤.正確解法如下:

y=3sin(-2x)=-3sin(2x-). 求減區間，即2k-≤2x-≤2k+，即單調遞減區間為[k-，k+]，(k∈Z).同理，單調遞增區間為[k+，k+]，(k∈Z).

評析:對形如y=Asin(x+)或y=Acos(x+)+k的函數，如果<0，要求其單調區間，必須先提出負號，然后再去求解，否則單調區間正好相反了.

追蹤練習:

求函數y=3tan(-)的單調區間.

點撥:本題同樣應先變形:y=3tan(-)=-3tan(-)，然后再求解.

易錯點四:抓不住圖像平移實質而致錯

例5. 把函數y=sin(5x-)的圖像向右平移個單位長度，再把所得圖像上各點的橫坐標縮短為原來的倍，所得的函數解析式為()

A. y=sin(10x-) B. y=sin(10x-)

C. y=sin(10x-) D. y=sin(10x-)

錯解1:將原函數圖像向右移個單位長度，得y=sin(5x--)=sin(5x-)，再壓縮橫坐標得y=sin(10x-)， 故選A.

錯解2:將原函數圖像向右平移個單位長度，得y=sin5(x--)=sin5(x-)，再壓縮橫坐標得y=sin10(x-)，故選B.

錯解3:將原函數圖像向右平移個單位長度，得y=sin(5x--)=sin(5x-)，再壓縮橫坐標得y=sin2(5x-)=sin(10x-)， 故選C.

剖析:這三種解法都是錯誤的，其原因在于沒有抓住變換的對象.錯解1中，在平移變換時，把5x看作變換的對象;錯解2中，在伸縮變換時，把5(x-)看成了變換的對象;錯解3則犯了上述兩種錯誤，既把5x看成變換的對象，又把(5x-)看成了變換的對象. 正確解法為:將原函數圖像向右平移個單位長度，得y=sin[5(x-)-]=sin(5x-)，再壓縮橫坐標得y=sin(10x-)，故選D.

評析:事實上，無論是平移變換，還是伸縮變換，都應緊緊抓住變元是誰這個關鍵.在本例中，變元x才是變換的對象.函數圖像向右平移個單位，是將自變量x減去個單位長度，即將x換成x-，其余的不變;壓縮橫坐標到原來的倍，即將x換成2x，其余的不變.

追蹤練習:

要得到函數y=sin2x的圖像，只需將y=sin(2x+)的圖像()

A. 向左平移個單位B. 向右平移個單位

C. 向左平移個單位D. 向右平移個單位

點撥:本題易錯選B和C.錯誤主要有兩種:一是把平移方向搞錯，二是把平移單位搞錯，正確答案為D.

易錯點五:求函數解析式時忽視作圖法而致錯

例6. 函數y=3sin(x+)(>0，∈[0，2))的圖

像如下圖所示，試求函數y=3sin(x+)的表達式.

錯解:由題意知，周期T=2(-)=，所以==2，即y=3sin(2x+).

因為當x=時，y=0，即有:0=3sin(2×+)，所以+=k. 取k=0時，=-(舍);取k=1時，=;取k=2時，=.

故所求函數的表達式為:y=3sin(2x+)或y=3sin(2x+).

剖析:在利用“五點法”畫函數圖像時，圖像中五個關鍵點的橫坐標自左到右分別是由x+取0，，，，2解得的. 三個函數值為0的“零點”自左到右對應的x+的值為0，，2，不能隨便亂取，這一點很容易出錯.在本例中，從函數圖像知，點(，0)是圖像中的第二個“零點”，從而2×+只能對應五個點中的，而不能是2，因而取k=2時，得+=2是不正確的. 應由2×+=，解得=，故所求函數的解析式為:y=3sin(2x+).

評析:用“五點法”作y=Asin(x+)的簡圖，主要是通過變換，設 z=x+，由z=0，，，，2來求出相應的x，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖像.這些點不能亂取，否則就會出錯.

追蹤練習:

如圖為函數y=Asin(x+)的圖像的一段，求其解析式.

點撥:本題易把M點當作第一個零點，而忽視A的符號，只有當A>0時，才可以把M作為第一個零點，其解析式為y=sin(2x-).

易錯點六:含參時以特殊代一般或不分類而致錯

例7. 設k為整數，化簡.

錯解:當k=0時，原式=-1;當k=1時，原式=-1;當k=2時，原式=-1;…，綜上所述，對所有的k為整數，原式=-1.

剖析:上述由特殊到一般的推理，其理由是不充分的.正確應分類討論如下:

當k為偶數時，設k=2m(m∈Z)，則

原式=

===-1;

當k為奇數時，設k=2m+1(m∈Z)，則仿上可得，原式=-1.

評析:在三角函數中，經常會出現一些參數，這時要對參數進行分類討論，而不能對參數賦幾個值就得出一般結論，這樣往往會出錯.

追蹤練習:

已知角的終邊經過點P(-4a，3a)(a≠0)，求sin，cos，tan的值.

點撥:本題直接考查三角函數的定義，當a>0時，易得sin=，cos=-，tan=-;當a<0時，易得sin=-，cos=，tan=-. 同學們往往按a>0去解，而忽略了a<0的情形.

責任編校 徐國堅