從2010年高考命題談三角函數(shù)專題復(fù)習(xí)

一、2010年三角函數(shù)考點解析

縱觀今年的高考試題，重點圍繞對三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的考查，今年高考試題與特點如下:

1. 考小題重基礎(chǔ):有關(guān)三角函數(shù)的小題其考查重點在于基礎(chǔ)知識，解析式;圖像與圖像變換;兩域(定義域、值域及最值);四性(單調(diào)性;奇偶性;對稱性;周期性);反函數(shù)以及簡單的三角變換(求值、化簡及比較大小).

2. 考大題難度明顯降低:有關(guān)三角函數(shù)的大題即解答題，通過公式變形，轉(zhuǎn)換來考查思維能力的題目已經(jīng)很少了，而是考查基本知識和基本技能與方法.

3. 考應(yīng)用融入三角形之中:既能考查解三角形的知識與方法，又能考查運用三角公式進行恒等變換的技能，備受命題者青睞，主要解法是充分利用三角形內(nèi)角和定理，正(余)玹定理，面積公式等，并結(jié)合三角公式進行三角變換.

4. 考綜合體現(xiàn)三角的工具作用:由于近幾年高考題突出能力立意.加強對知識性和應(yīng)用性的考查，故常常是在知識的交匯點處出題，而三角知識是基礎(chǔ)的基礎(chǔ)，故考查與立體幾何，解析幾何，向量，導(dǎo)數(shù)等綜合性問題時突出三角的工具作用.

二、2010年高考典型題歸納簡析

分析2010年全國高考三角函數(shù)試題可以歸納為以下幾種典型題型.

1. 考查三角函數(shù)的概念及同角關(guān)系式.

此類題主要考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的符號法則，解題過程中注意必要的分類討論.

例1.(2010全國I卷理2)記cos(-80°)=k，那么tan100°=()

A.B. -

C.D. -

分析:本題已知余弦的值，而求tan100°的值，可利用同角關(guān)系式求出.

解析: ∵sin80°===，∴tan100°=-tan80°=-=-，故選B.

點評:本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式，并突出了弦切互化這一轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. 同時熟練掌握三角函數(shù)在各象限的符號.

2. 三角函數(shù)的化簡與求值.

這類題主要考查三角函數(shù)的變換.解此類題應(yīng)根據(jù)考題的特點靈活地正用、逆用，變形運用和、差、倍角公式和誘導(dǎo)公式，進行化簡、求值.

例2.(2010重慶文15)如題(15)圖，圖中的實線是由三段圓弧連接而成的一條封閉曲線C，各段弧所在的圓經(jīng)過同一點P(點P不在C上)且半徑相等. 設(shè)第i段弧所對的圓心角為αi(i=1，2，3)，則coscos-sinsin=.

分析: 以三角函數(shù)式的化簡為基礎(chǔ)的綜合題是高考題的熱點，每年必考，一般是中檔題，題型既有選擇，填空題，也有解答題.主要解題方法是充分運用“異角化同角”“同角三角函數(shù)關(guān)系”“誘導(dǎo)公式”及“和，差，倍，半角的三角函數(shù)公式”.

解析:∵coscos-sinsin=cos，又∵α1+α2+α3=2π，∴cos=-.

點評:本題以過同一點的三段圓弧為背景，考查了三角恒等變形中公式逆用的基本技巧，將已知與求解合理轉(zhuǎn)化，從而達到有效地求解目的.

3. y=Asin(ωx+)的圖像和性質(zhì).

圖像變換是三角函數(shù)考察的重要內(nèi)容，解決此類問題的關(guān)鍵是理解A，ω，的意義，特別是ω的判定，以及伸縮變換對的影響.

例3.(2010遼寧理5)設(shè)ω>0，函數(shù)y=sin(ωx+)+2的圖像向右平移個單位后與原圖像重合，則ω的最小值是()

A. B. C.D. 3

解析:將y=sin(ωx+)+2的圖像向右平移個單位后函數(shù)為y=sin[ω(x-)+]+2=sin(ωx+-)+2，∴=2kπ，即ω=.又∵ω>0，k≥1，故ω=≥，所以選C.

點評:本題考查了三角函數(shù)圖像的平移變換與三角函數(shù)的周期性，考查了同學(xué)們對三角函數(shù)圖像知識靈活掌握的程度.

4. 三角形中的三角函數(shù).

此類題主要考查在三角形中三角函數(shù)的利用. 解三角形的關(guān)鍵是在轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，正確、靈活地運用正弦、余弦定理、三角形的面積公式及三角形內(nèi)角和等公式定理.

例4. (2010江蘇卷13)在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c，+=6cosC，則+=.

分析:本題在三角形中考查正、余弦定理以及兩角和的正弦公式等知識的運用.

解析:+=6cosC6abcosC=a2+b2，

6ab#8226;=a2+b2，a2+b2=，

+=#8226;=#8226;=#8226;=#8226;==4.

點評:三角函數(shù)與解三角形的綜合性問題，是近幾年高考的熱點，在高考試題中頻繁出現(xiàn).這類題型難度比較低，估計以后這類題型仍會保留，不會有太大改變.解決此類問題，要根據(jù)已知條件，靈活運用正弦定理或余弦定理，求邊角或?qū)⑦吔腔セ?

5. 三角應(yīng)用題.

此類題主要考查三角函數(shù)實際應(yīng)用. 解決三角應(yīng)用題的關(guān)鍵是認(rèn)真閱讀題目，正確理解題意，運用所學(xué)知識建立適當(dāng)?shù)娜悄Ｐ停瑴?zhǔn)確無誤的計算等.

例5.(2010北京文7)某班設(shè)計了一個八邊形的班徽(如圖)，它由腰長為1，頂角α為的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為()

A. 2sinα-2cosα+2

B. sinα-cosα+3

C. 3sinα-cosα+1

D. 2sinα-cosα+1

解析:四個等腰三角形面積之和為4××1×1×sinα=2sinα，∴由余弦定理可得正方形的邊長為=，

∴正方形的面積為2-2cosα，

∴所求八邊形的面積為2sinα-2cosα+2.

點評:本題主要考查解三角形等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想.

例6.(2010福建理19)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇.

(Ⅰ)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少?

(Ⅱ)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由.

分析: 對本應(yīng)用題主要是認(rèn)真讀題、審題，通過列表、作圖等方式合理分析已知量間的關(guān)系，最后得到解題方法.

解析:(Ⅰ)∵要使小艇航行距離最短，理想化的航行路線為OT，∴小艇到達T位置時輪船的航行位移s0=AT，即30t=10，t=，∵vt=10，∴ v==30 (海里/小時).

答:小艇航行速度應(yīng)為30海里/小時.

(Ⅱ)分類討論得:

(1) 若輪船與小艇在A、T之間G位置相遇則有OG

(2)若輪船與小艇在H處相遇，則在直角三角形OHT中運用勾股定理有:(900-v2)t2-600t+400=0.設(shè)=x，則v==10，從而v=10=10≤30(x<3).

所以當(dāng)v=30時，x=，即t=.

答:當(dāng)小艇以30海里每小時的速度，沿北偏東方向行走能以最短的時間遇到輪船.

點評: 本題從三角函數(shù)出發(fā)，考查了考生運用知識解決實際問題的能力、求解一元二次方程最值問題的能力以及綜合分析問題的能力.

6. 三角函數(shù)的最值及綜合應(yīng)用.

此類問題主要考查三角函數(shù)最值和與三角函數(shù)有關(guān)學(xué)科內(nèi)綜合問題，如與平面向量、不等式、數(shù)列、解析幾何等相結(jié)合，多為解答題.而三角形中三角函數(shù)最值問題仍將是高考的熱點.

例7. (2010湖南文16)已知函數(shù)f(x)=sin2x-2sin2x

(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期.

(II)求函數(shù)f(x)的最大值及f(x)取最大值時x的集合.

分析: 求函數(shù)的最小正周期和最大值都應(yīng)先化簡，求出函數(shù)的最小正周期，再根據(jù)三角函數(shù)的有界性確定函數(shù)最大值.

解析:(I)∵f(x)=sin2x-(1-cos2x)=(2x+)=sin(2x+)-1，∴函數(shù)f(x)最小正周期為 T==π.

(II)當(dāng)2x+=2kπ+，即x=kx+(k∈Z)，f(x)取最大值-1.

因此函數(shù)f(x)取最大值時x的集合為{x|x=kπ+}(k∈Z).

點評:本小題依托三角函數(shù)化簡，考查函數(shù)值域，作為基本的知識交匯問題，考查基本三角函數(shù)變換.

例8.(2010山東理17)已知函數(shù)f(x)=sin2xsin+cos2xcos-sin(+)(0<<π)，其圖像過點(，).

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)將函數(shù)y=f(x)的圖像上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖像，求函數(shù)g(x)在[0，]上的最大值和最小值.

解析:(Ⅰ)∵因為f(x)=sin2xsinφ+cos2xcosφ-sin(+φ)(0<φ<π)，

∴f(x)=sin2xsinφ+cosφ-cosφ=sin2xsinφ+cos2xcosφ=(sin2xsinφ+cos2xcosφ)=cos(2x-φ).

又函數(shù)圖像過點(，)，∴=cos(2×-φ)，即cos(-φ)=1.

又0<φ<π，∴φ=.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=cos(2x-)，將函數(shù)y=f(x)的圖像上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖像，可知g(x)=f(2x)=cos(4x-).因為x∈[0，]，所以4x∈[0，π].

因此4x-∈[-，]，故-≤cos(4x-)≤1.

所以y=g(x)在[0，]上的最大值和最小值分別為和-.

點評:本小題主要考察了同學(xué)們綜合運用三角函數(shù)公式的能力、靈活運用圖像變換求三角函數(shù)最值問題的能力，以及分析問題，解決問題的能力.

三、2011年高考三角函數(shù)復(fù)習(xí)建議

1. 由于本章“基礎(chǔ)知識”部分主要在客觀題中出現(xiàn)，因此復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時，對一些題目在熟悉常規(guī)解發(fā)的前提下，重在靈，活，巧上下工夫，做到省時省力，以適應(yīng)考試的需要.

2.“等價轉(zhuǎn)換”應(yīng)突出等價性.

(1)每用公式，都應(yīng)提醒審察公式成立的條件，以形成習(xí)慣.

(2)公式應(yīng)用過程中，符號的取舍要認(rèn)真對待，試題往往把這類問題作為考查的重點.

(3)熟練掌握公式的正用，逆用，變形用或在特定條件下用，它可以提高思維起點，縮短思維線路，從而使運算流暢自然.

3. 應(yīng)注意的幾個問題.

(1)應(yīng)熟悉三角函數(shù)線的應(yīng)用，如何用來解，證三角不等式，比較三角函數(shù)值的大小等.

(2)注意y=sinωx與y=sin(ωx+θ)(ω>0)之間角的圖形變換.

(3)注意y=sin(ωx-)與y=sin(-ωx)單調(diào)區(qū)間的求法不同，這由于u=ωx-(ω>0)的增函數(shù)，而u=-ωx(ω>0)為減函數(shù).

(4)有關(guān)三角函數(shù)方面的應(yīng)用題，大都需要用“輔助角公式”.

asinx+bcosx=sin(x-)(其中角所在象限由a，b符號確定，角的值由tan=確定)將函數(shù)化成y=Asin(ωx+)+h的形式，再求其最值或周期.

責(zé)任編校 徐國堅