數(shù)形結(jié)合——定值與最值問題的“綠色通道”

眾所周知，解析幾何是17世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的重大成果之一，其本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想.“曲線”與“方程”是同一對象(即點的軌跡)的兩種表現(xiàn)形式，曲線是軌跡的幾何形式，方程是軌跡的代數(shù)形式.它們在表現(xiàn)和研究軌跡的性質(zhì)時，各有所長.幾何形式具有直觀形象的優(yōu)點，代數(shù)形式具有便于運算的優(yōu)勢，因而具有操作程序化的長處.具體解題時最好將二者結(jié)合起來，這就是“數(shù)形結(jié)合”思想.定值與最值問題，是高考中的“常客”.“數(shù)形結(jié)合”，是引領(lǐng)我們走向成功的“綠色通道”.

一、由“形”構(gòu)“數(shù)”，妙解解析幾何定值問題

解析幾何中的定值問題，在高考中具有一定難度. 求解這類問題的關(guān)鍵是利用解析幾何中有關(guān)曲線的定義、性質(zhì)以及圖形特征，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.

例1已知如圖1，橢圓的方程+=1.在橢圓上任取三個不同點P1，P2，P3，使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1，證明++為定值，并求此定值.

點撥 心里有什么，眼里就看到什么!對于本題，心里有函數(shù)的人首先看到了函數(shù):|PF1|、|PF2|、|PF3|都是角=∠xFP1的函數(shù).

心里有方程的人，首先看到了方程:|PF1|#8226;cos=x-c( x是點P1的橫坐標(biāo)).

心里既有函數(shù)又有方程的人，不僅同時看到了本題中函數(shù)與方程，而且還看到了函數(shù)與方程的關(guān)系.

設(shè)∠xFP1=，于是有∠xFP2=+，∠xFP3=+ .

設(shè)|FP1|=r1，P1到x軸的垂線段為P1M，P1到準(zhǔn)線l∶x=12的垂線段為P1Q，于是由圖2可得|FM|=r1cos，

由e=得|P1Q|=2r1，于是有方程:

r1cos+2r1=12-3=9，從而有函數(shù):

r1=，即=，

同理有=，=.于是有函數(shù)方程的統(tǒng)一體:

++=[3+cos+cos(+)+cos(+)]=×3=.

點評 圓錐曲線定義是運用數(shù)形結(jié)合思想解題的依據(jù)，把一些代數(shù)問題通過轉(zhuǎn)化，運用圓錐曲線的定義與幾何性質(zhì)解題是簡化解題過程的最佳手段，而函數(shù)與方程思想是求解解析幾何定值問題的基本策略.

變式 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點C(0，p)作直線與拋物線x2=2py(p>0)相交于兩點.則直線y=被以AC或BC為直徑的圓截得的弦長恒為定值p.

點撥1 設(shè)AC的中點為O′，y=與AC為直徑的圓相交于點P、Q，PQ的中點為H，則O′H⊥PQ，O′點的坐標(biāo)為(，).

∵ |O′P|=|AC|==，

|O′H|=|-|=y1，

∴ |PH|2=|O′P|2-|O′H|2=(y21+p2)-y21=p2，

∴ |PQ|2=(2 |PH|)2=4×p2=p2，∴ |PQ|=p為定值.

同理直線y=被以BC為直徑的圓截得的弦長也恒為定值p.

點撥2 以AC為直徑的圓的方程為(x-0)(x-x1)-(y-p)(y-y1)=0，

將直線方程y=代入得x2-x1x-+y1=0，

設(shè)直線y=與以AC為直徑的圓的交點為P(x2，y2)，Q(x3，y3)，

則x2+x3=x1，x2x3=-+y1，

∴ |PQ|=|x2-x3|===p，∴|PQ|=p為定值.

同理直線y=被以BC為直徑的圓截得的弦長也恒為定值p.

類題練習(xí) 已知拋物線y2=2px(p>0)，A、B是拋物線上異于原點O的兩個不同點，直線OA和OB的傾斜角分別為和，當(dāng)，變化且+為定值(0<<)時，若=，則直線AB恒過定點(-2p，0)，若≠，直線AB恒過定點(-2p，).

答案 如圖4，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意得x1≠x2(否則+=)且x1，x2≠0，所以直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+b，顯然x1=，x2=，將y=kx+b與y2=2px(p>0)聯(lián)立消去x，得ky2-2py+2pb=0，由韋達(dá)定理知y1+y2=，y1#8226;y2=…①

(1)當(dāng)=時，即+=時，tan#8226;tan=1，所以#8226;=1，x1x2-y1y2=0，-y1y2=0，所以y1y2=4p2，由①知:=4p2，所以b=2pk.因此直線AB的方程可表示為y=kx+2pk，即k(x+2p)-y=0，所以直線AB恒過定點(-2p，0).

(2)當(dāng)≠時，由+=，得tan=tan(+)==，將①式代入上式整理化簡可得:tan=，所以b=+2pk.

此時，直線AB的方程可表示為y=kx++2pk，即k(x+2p)-(y-)=0，所以直線AB恒過定點(-2p，).

所以由(1)(2)知，當(dāng)=時，直線AB恒過定點(-2p，0)，當(dāng)≠時直線AB恒過定點(-2p，).

二、由“數(shù)”構(gòu)“形”，巧借解析幾何求最值

有些最值問題，看似與解析幾何無關(guān)，但若能挖掘所給解析式的幾何意義，即由“數(shù)”構(gòu)“形”，那么我們就可以從解析幾何的角度出發(fā)，抓住問題的本質(zhì)，從而使原問題快速獲解!

例2已知x2+y2-6x-8y=0，則+的最小值是

.

點撥 已知條件是圓方程，+能否轉(zhuǎn)化為兩段距離之和呢?

因為x2+y2-6x-8y=0，所以

+

=+

=+

=+

上式表示點P(x，y)到兩定點A(-3，0)，B(3，0)距離之和，而P(x，y)點在以(3，4)為圓心，5為半徑的圓周上，故原問題等價于在圓上求一點使之到兩定點A、B距離的和最小(如圖5).因為圓過原點，所以原點到A、B兩點的距離之和最小，最小值為|AB|=6，此時x=0，y=0.)

點評 利用數(shù)形結(jié)合的思想求解某些代數(shù)式的最值，關(guān)鍵是將代數(shù)式“改造”，或改造成兩點間的距離公式，或改造成點到直線的距離公式，并挖掘出動點的幾何意義，最終轉(zhuǎn)化為解析幾何問題，如對稱問題，直線與圓(圓弧)的位置關(guān)系問題.

變式 求函數(shù)y=|x+2-|的最值.

點撥 將原函數(shù)變形為y=#8226;，理解為動點(x，)到直線x-y+2=0的距離即可，不難看出動點(x，)的軌跡為單位圓在x軸上方的部分.如圖6所示，所求函數(shù)的最小值，即為原點到直線x-y+2=0的距離與單位圓的半徑之差的倍，即ymin=×(-1)=2-;而最大值為點(1，0)到直線x-y+2=0的距離的倍，即ymax=×(-1)=3.

類題練習(xí) 已知a、b∈R+，且a+b=1，求u=的最小值.

答案 設(shè)(a+2)2+(b+2)2=r2(r>0)，則點(a，b)是直線x+y=1與圓(x+2)2+(y+2)2=r2在第一象限內(nèi)的公共點(如圖7)，從而圓心(-2，-2)到直線的距離滿足:d=≤r.

∴ r2≥，即(a+2)2+(b+2)2≥，故umin=.

責(zé)任編校徐國堅