傳送帶問題的歸類例析

傳送帶問題涉及到物體的受力分析、勻速直線運動、勻變速直線運動、牛頓運動定律、動能定理、功能關系、能量守恒等運動學、力學和機械能等章節的幾乎全部內容，是高三物理復課中的重點和難點之一.下面對傳送帶問題進行歸類例析.

一、水平傳送帶問題

水平傳送帶的特點是，兩個皮帶輪等高，傳送帶呈現水平狀態.處理水平傳送帶問題，首先要明確物體與傳送帶間的相對運動方向，并對物體進行受力情況分析;然后對物體的運動狀態進行分析，確定物體在摩擦力作用下做勻變速運動還是做勻減速運動.如果物體做勻加速(勻減速)運動，物體的速度增加(減小)到與傳送帶速度相等時的狀態是一個重要的轉折點.

【例1】如圖1所示，水平傳送帶A、B兩處間的距離為2m，傳送帶的運動速度恒為v=2m/s.將一工件無初速地放在傳送帶的A處，已知工件與傳送帶間的動摩擦因數為μ=0.2，求傳送帶將工件由A處運送到B處所用的時間.(g取10m/s2)

【解析】由題意知，工件放上傳送帶后向右做初速度為零、加速度a=μg=2m/s2的勻加速直線運動，設工件速度增加到與傳送帶速度相等時的位移為S0，則由v2=2aS0得S0==1m.

由于S0

繃緊的水平傳送帶以2m/s的恒定速率在運行.已知傳送帶很長，粉筆與傳送帶間的動摩擦因數為0.05，g取10m/s2.求傳送帶上所留劃痕的長度.

【例2】一淺色的水平長傳送帶靜止不動，將一煤塊(可視為質點)輕放在傳送帶上的同時，使傳送帶以恒定的加速度a開始運動，當其速度達到v后便以此速度做勻速運動.由于煤塊與傳送帶間的相對滑動，煤塊在傳送帶上留下了一段黑色痕跡，求這段黑色痕跡的長度.(已知煤塊與傳送帶之間的動摩擦因數為μ)

【解析】由于煤塊與傳送帶之間發生了相對滑動，所以傳送帶的加速度a>μg.設經過時間t，傳送帶和煤塊的速度分別為v、v′，則有v=at ① v′=μgt②

由于a>μg，故v>v′，即煤塊受到滑動摩擦力的作用而向前做勻加速運動.設再經過時間t'，煤塊的速度由v′增加到v，則有v= v′+μgt′ ③

當煤塊的速度增加到與傳送帶速度相同后將與傳送帶保持相對靜止，不再產生新的痕跡.設煤塊的速度從0增加到v的整個過程中，傳送帶和煤塊移動的位移分別為S和S′，則

S=at2+vt′④S′= ⑤

傳送帶上留下的黑色痕跡的長度L= S-S′⑥

由①~⑥以上各式得L=.

二、傾斜傳送帶問題

傾斜傳送帶的特點是，兩個皮帶輪不等高，傳送帶呈現傾斜狀態.處理傾斜傳送帶問題，首先要明確物體與傳送帶間的相對運動方向，并對物體進行受力情況分析;然后依據題意對物體的運動狀態進行分析，判斷物體是做勻加速運動還是勻減速運動.如果物體做勻加速(勻減速)運動，當物體的速度增加(減小)到與傳送帶的速度相等的狀態是一個重要的轉折點——在該狀態之后，要依據μ與tanθ的大小關系判斷物體與傳送帶之間能否保持相對靜止.如μ≥tanθ，則在該狀態之后物體與傳送帶保持相對靜止，以共同的速度做勻速直線運動;如μ

【例3】如圖2所示，傳送帶與地面傾角θ=37°，傳送帶以v1=2m/s的速度勻速轉動.一個質量m=0.5 kg的小物體從傳送帶的A處以v2=6m/s的速度被投放到傳送帶上.已知物體與傳送帶之間的動摩擦因數為μ=0.5，傳送帶A、B兩端的長度L=2.35m，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2.試計算說明物體能否由A處被傳送到B處?如能，試求物體由A處被傳送到B處所用的時間.如不能，試求物體由A處被傳送到最高處所用的時間.

【解析】由于v2>v1，所以物體被投放到傳送帶上后將沿傳送帶向上做初速度為v2=6m/s、加速度為a1==10m/s2的勻減速運動.設物體的速度減到與傳送帶速度相等時的位移為S1，由v21-v22=-2a1S1得S1==1.6m.

當物體的速度減到與傳送帶速度相等時，由于μ=0.5L，所以物體一定能由A處被傳送到B處.

設物體從開始運動到速度減為v1所用的時間為t1，則由v1=v2-a1t1得t1==0.4s. 如令物體沿斜面向上做初速度為v1、加速度為a2的勻減速運動時，發生的位移為(L-S1)時所用時間為t2，則由L-S1=v1t2-a2t22得 t22-2t2+0.75=0，解得t2=0.5s，t′2=1.5s(舍去).所以物體由A處被傳送到B處所用的時間t=t1+t2=0.9s.

【例4】如圖3所示，傳送帶與地面的傾角θ=37°，傳送帶以v=10m /s的速度逆時針轉動.一個質量m=0.5 kg的物體無初速度地放在傳送帶上端A.已知物體與傳送帶之間的動摩擦因數為μ=0.5，傳送帶A、B兩端的長度L=16m，求物體從A運動到B所用的時間是多少?(sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2)

【解析】物體無初速度地放在傳送帶上端A處后，物體相對于傳送帶向上滑動，而相對于地沿斜面向下做初速度為零、加速度為a1==10m /s2的勻加速運動，設物體的速度增加到與傳送帶速度相等時的位移為S1，所用的時間為t1，則由v2=2a1S1得S1==5m

當物體的速度增加到與傳送帶速度相等時，由于μ=0.5

三、組合傳送帶問題

組合傳送帶是水平傳送帶和傾斜傳送帶連接在一起所組成的傳送物體的裝置. 組合傳送帶問題是上述“水平傳送帶問題”和“傾斜傳送帶問題”的綜合應用.

【例5】如圖4所示，傳送帶的水平部分ab=2m，bc=4m，bc與水平面的夾角為α=37°.一小物體A與傳送帶的動摩擦因數為μ=0.25 ，傳送帶沿圖示方向運動，速率為v=2m/s.若把物體A輕放到a處，它將被傳送帶送到c點，且物體A不會脫離傳送帶.求物體A從a點被送到c點所用的時間.(sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2)

【解析】物體A輕放到a處后將沿傳送帶向右做初速度為零、加速度為a1=μg=2.5m/s2勻加速運動，設在t1時間末物體與傳送帶的速度相等，則由v=a1t1得t1==0.8s. 由于物體在t1時間內的位移為S1=a1t21=0.8m

當物體從b點進入傾斜傳送帶后，由于μ=0.5對于地沿斜面向下做初速度為v=2m/s、加速度a2==4.0m/s2的勻加速運動.設物體由b運動到c所用時間為t3，則由bc=vt3+a2t23得t23+t3-2=0，解得t3=1s，t′3=-2s(舍去).

所以，物體A從a點被傳送到c點所用的時間t=t1+t2+t3==2.4s.

【例6】一傳送帶裝置示意圖5如圖，其中傳送帶經過AB區域時是水平的，經過BC區域時變為圓弧形(圓弧由光滑模板形成，未畫出)，經過CD區域時是傾斜的，AB和CD都與BC相切.現將大量的質量均為m的小貨箱一個一個在A處放到傳送帶上，放置時初速為零，經傳送帶運送到D處，D和A的高度差為h.穩定工作時傳送帶速度不變，CD段上各箱等距排列，相鄰兩箱的距離為L.每個箱子在A處投放后，在到達B之前已經相對于傳送帶靜止，且以后也不再滑動(忽略經BC段時的微小滑動).已知在一段相當長的時間T內，共運送小貨箱的數目為N.這裝置由電動機帶動，傳送帶與輪子間無相對滑動，不計輪軸處的摩擦.求電動機的平均輸出功率P.

【解析】設傳送帶的速度為v，在水平段運輸的過程中，小貨箱與傳送帶之間的滑動摩擦力為f，小貨箱從靜止開始運動到與傳送帶相對靜止時所用時間為t，在t時間內小貨箱發生位移為S1，傳送帶移動的距離為S2，則由牛頓第二運動定律得a=①

由運動學公式得S1=at2②v=at③ S2=vt ④

由于相鄰兩小箱的距離為L，所以vT=NL ⑤

每傳送一個小貨箱產生的熱量Q= f(S2-S1)⑥

由功能關系可知，T時間內電動機輸出的功為:

W=N(mv2+mgh+Q)⑦

所以電動機的平均輸出功率為P =⑧

由①-⑧式解得P =[+gh]

責任編校 李平安