值得回味的三角考題

三角函數部分的考試題多年來始終中規中矩，題型上差不多都是一小一大，側重考查三角函數的概念、誘導公式、三角恒等變換、圖像與性質等.對于這部分內容，從熟練使用公式的角度來講，我們提倡進行一定數量的習題訓練(事實上，整個高三復習在一定意義上來說，也是在“訓練鞏固—針對講評—反饋升華”中不斷提升能力的)，但訓練并非“韓信點兵多多益善”，不過有一點卻值得廣大師生備考時特別注意，三角考題“穩中有變”形式與內容上都在不斷創新，相信領略了筆者下面所選取部分模擬試題及其賞析，讀者定能有所斬獲.

一、三角知識與方法的綜合，平凡題品出別樣風味

1. 若sinx-cosx=，且x∈(，2)，則tanx的值是()

A.B.- C.-D. 或 -

答案:A. 提示:由x∈(，2)知sinx<0，則必有sinx=-且cosx=-，故tanx=.

【賞析】試題很常規，但按部就班地解答卻不高效，采用“推理+猜測”的方式，既無猜錯之虞，也能提高速度，正如一句廣告語所說“不走尋常路”.

2. 若=sinx-cosx(其中x∈[0，2])，則x的取值范圍是()

A. [0，]B. [，]

C.[，] D.[，]

答案:D. 提示:由sinx-cosx≥0，結合單位圓和三角函數線，抓住sinx=cosx，可立即確定所求區間的端點是，.

【賞析】對比常規思路:從二倍角公式和平方關系入手得1-sin2x=(sinx-cosx)2，再歸結到sinx-cosx≥0，畫出正弦函數與余弦函數在區間[0，2]的圖像，觀察也能得到對應結論.同樣是數形結合，解題效率卻大不一樣(當然各人掌握知識熟練程度各異，筆者無意評說短長).

3. 將函數y=f(x)sinx的圖像向右平移個單位得到函數y=-cos2x的圖像，則()

A.f(x)=sinx B. f(x)=cosx

C.f(x)=2sinxD. f(x)=2cosx

答案:D. 提示:把函數y=-cos2x的圖像向左平移個單位得到y=-cos2(x+)=sin2x的圖像，而sin2x=2sinxcosx，故 f(x)=2cosx.

【賞析】本題解答“反其道而行之”，學會“執果索因”可輕松化解抽象函數之難.

4. 若函數f(x)=Asinx(x+)+b (>0)的最小正周期為，函數f(x)的圖像的一條對稱軸方程為x=，且0≤f(x)≤4，那么函數f(x)的解析式可以是( )

A. f(x)=4sin(4x+)B. f(x)=2sin(2x+)+2

C. f(x)=2sin(4x+)+2 D. f(x)=2sin(4x+)+2

答案:D. 提示:由T==知=4，令4×+=k+(k∈Z)可得=k-，取k=1得=.A= =2，b==2.

【賞析】本題是三角函數性質的大聚會，圖像平移與伸縮、周期、對稱性、最值，可謂應考盡考，綜合卻不難，代表了考查的方向.

5. 已知函數f(x)=sin2xsin+2cos2xcos+sin(+)(0<<，x∈R)的圖像過點(，1).

(1)求的值;

(2)若將函數f(x)的圖像各點的橫坐標伸長到原來的4倍(縱坐標不變)，得到函數g(x)的圖像，求函數g(x)在區間[，2]上的最值.

解析:(1)∵ 2cos2x=1+cos2x，sin(+)=-cos，∴函數f(x)的解析式為sin2xsin+2cos2xcos+sin(+)=sin2xsin+cos2xcos=cos(2x-).

∵函數f(x)的圖像過點(，1)，∴2×-=2k(0<<，kZ)，=.

(2)∵ f(x)=cos(2x-)，∴其圖像各點的橫坐標伸長到原來的4倍得函數g(x)的圖像的解析式為g(x)=cos(-).

∵x∈ [，2]，-∈[-，]，

∴-≤cos(-)≤1，即在區間[，2]上的最大值和最小值分別為1，-(分別對應x=，x=2)，即f(x)max=f()=1，f(x)min=f(2)=-.

【賞析】本題中兩角和與差的三角函數、二倍角公式、誘導公式、圖像平移、三角函數的性質和最值，麻雀雖小五臟俱全.

6. 函數f (x)=-2asin(2x+)+2a+b的定義域是[，]，是否存在有理數a，b使函數f(x)的值域為 [-3，-1]?若存在，求出a，b的值;若不存在，說明理由.

解析:∵x∈[，]，2x+∈[，]，

∴-1≤sin(2x+)≤，即在定義域[，]上sin(2x+)∈[-1，].

若存在a，b∈Q使函數的值域為[-3，-1]，顯然a≠0.

當a>0時，f(x)min=-2a×+2a+b=(2-)a+b=-3，f(x)max=-2a×(-1)+2a+b=4a+b=-1，解得a=1，b=-5，注意到-5Q，故a=1，b=-5不合題意;

當a<0時，f(x)min=-2a×(-1)+2a+b=4a+b=-3，

f(x)max=-2a×+2a+b=(2-)a+b=-1，解得a=-1，b=1.

綜上可知，存在有理數a=-1，b=1使函數f(x)的值域為[-3，-1].

【賞析】本題解答類似于求二次函數在閉區間上的最值，考查了分類與整合思想的運用.

二、三角與其他知識交匯，新穎題突出基本功

7. △ABC的三條邊a，b，c成等比數列，則內角B的取值范圍是()

A.(0，] B.(0，]C. (0，] D. [，]

答案:C. 提示:由余弦定理b2=a2+c2-2accosB≥2ac-2accosB，結合a，b，c成等比數列得b2=ac，因此ac≥2ac-2accosB，解得cosB≥，故B∈ (0，]，特別地，當a=b=c時，B=顯然滿足題意.

【賞析】本題題干相當簡潔，但解答卻需要用到余弦定理、基本不等式、等比數列等知識，雖然利用特殊值思想可以得出B=，但這只能排除A、B兩個選項，不足以得到準確范圍.

8. 已知△ABC的面積S△ABC=，若#8226;=3且tan(B-A)=，求cosC.

解析:#8226;=3即bccosA=3，S△ABC=bcsinA=，兩式相除得tanA=;tan(B-A)==，將tanA=代入可得tanB=;tan(A+B)==3，tanC=tan[-(B+A)]=-3，則角C為鈍角，根據三角函數的定義可得tanC===-3，cosC===

-.

【賞析】解題需要具有明確的目標意識:面積公式、數量積定義、方程思想、和差角公式、三角函數的定義等，這些知識和意識運用合理解答自然水到渠成.

9. 已知△ABC是銳角三角形，A、B、C是三個內角.

(1)證明:任一個內角的正弦值大于其他內角的余弦值;

(2)證明:對于任意x>0，都有()x+()x+()x<3成立.

證明:(1)∵△ABC是銳角三角形，∴A、B是銳角且A+B>，即A>-B.

又∵在區間(0，)內正弦函數是增函數，∴sinA>sin(-B)，即sinA>cosB;同理可得sinA>cosC，sinB>cosC，sinB>cosA，sinC>cosA，sinC>cosB，也就是說在銳角三角形中，任一個內角的正弦值大于其他內角的余弦值;

(2)由(1)可知0<<1，0<<1，0<<1，故當x>0時，指數式()x，()x，()x均為小于1的正數，從而()x+()x+()x<3.

【賞析】第一問緊扣銳角三角形這一條件，依據正弦函數的單調性可以輕松證明，第二問則與前面證明一脈相承，拓展至指數函數的單調性進行證明，兩問相輔相成，渾然一體.

10. 若tan，tan是方程x2+3x+4=0的兩個實數根，且，∈(-，)，則+的值是()

A. B. - C. 或- D. -或

答案:B. 提示:由tan+tan=-3，tantan=4易知tan<0，<0即，∈(-，0)，+∈(-，0). 又tan(+)==，故+=-.

【賞析】二次函數根與系數的關系和兩角和的正切公式等知識的結合，不足以得到準確結論，“精益求精”的意識(限定取值范圍)才能保證我們“不僅會，而且要對”.

11. 若sin2x+acosx+a2≥1+cosx(x∈R)恒成立，則負實數a的取值范圍是 .

答案:(-∞，-2]. 提示:由題意得不等式cos2x+(1-a)cosx-a2≤0(x∈R)恒成立，即t2+(1-a)t-a2≤0，t=cosx∈[-1，1].又a<0，二次曲線f(t)=t2+(1-a)t-a2的對稱軸t=滿足<-. 因為t∈[-1，1]時恒有f(t)max=f(1)=2-a-a2，由此令2-a-a2≤0可解得a≤-2或a≥1(舍去)，所以a的取值范圍是(-∞，-2].

【賞析】求解恒成立問題的基本策略是轉化為函數的最大值或最小值問題，具備了化歸與轉化的思想意識，再復雜的恒成立問題都能迎刃而解.

12. 已知函數f(x)cos2x+4tsin2+t3-3t(-1≤t≤1， x∈R)，記f(x)的最小值為g(t)，則函數g(t)的單調遞增區間為()

A. (-∞，-)∪(1，+∞)B. (-1，-)

C. (，+∞)D. (-，1)

答案:B. 提示:f(x)=cos2x+2t(1-cosx)+t3-3t=(cosx-t)2+t3-t2-t，因為-1≤t≤1，所以當cosx=t時， f(x)有最小值g(t)=t3-t2-t. 求導得g′(t)=3t2-2t-1，解不等式g′(t)=3t2-2t-1>0可得t<-或t>1，注意到-1≤t≤1，所以函數g(t)的單調遞增區間為(-1，-).

【賞析】在一定意義上說，考查倍角公式僅僅是問題的第一步，關于cosx二次函數的最值問題也不過是一種過渡，求三次函數的單調遞增區間借此考查導數的應用才是其真正目的. 當然，仔細求解，小心求證方可步步為營，豈不聞“小心駛得萬年船”么?

13. 若函數f(x)=x3+x2+4x-1(其中∈[0，])，則f ′(-1)的取值范圍是 .

答案:[3，6].提示:f ′(x)=sin#8226;x2+cos#8226;x+4， f ′(-1)=sin-cos+4=2sin(-)+4，因為∈[0，]，則-∈[-，]，sin(-)∈[-，1]， f ′(-1)∈[3，6].

【賞析】這道小題考查的是三次函數的導數還是三角恒等變換，真是“誰考誰知道”.

14. 若sin2x-1+i(cosx+1)(i是虛數單位)是純虛數，且x∈[0， 2]，則x的值是()

A.B.C.D.或

答案:A. 提示:由題意可知sin2x-1=0，cosx+1≠0，即2x=或2x=，但x≠且x≠，所以x=.

【賞析】復數一直被誤認為屬于“張飛吃豆芽”小菜一碟，賦予了三角函數的背景，你還會這樣想嗎?備考觀念也該與時俱進地變一變啦!

15. 在平面直角坐標系xOy中，直線y=2x-與單位圓x2+y2=1交于A、B兩點，記∠xOA=，∠xOB=(其中0<<，<<)，則sin(+)的值是()

A. B. -C. D. -

答案:D. 提示:因為∠xOA=，∠xOB=，所以A(cos，sin)， B(cos，sin)，聯立直線與圓的方程，結合0<<，<<解得A(，)，B(-，-)，從而sin(+)=sincos+cossin=×(-)+×(-)=-.

【賞析】如此考法確實不難，但令人回味無窮，命題人確實匠心獨運!

16. 已知向量=(cos2，sin)， =(1，2sin-1)(其中<<)，若#8226; =，則tan(+)的值是()

A. B. C. D.

答案:A. 提示:#8226;=(cos2，sin)#8226;(1，2sin-1)=cos2+2sin2-sin=1-sin，所以sin=，cos=-，tan=-，tan(+)=.

【賞析】以向量之名行考查三角函數之實，命題不落俗套，值得稱贊!

17. 已知函數f(x)=sinxcosx+sin2x-(>0)的圖像與直線y=1的交點的橫坐標構成以2為公差的等差數列.

(1)求函數f(x)的表達式;

(2)將函數f(x)的圖像向左平移個單位得到函數g(x)的圖像，若直線y=m(0

解析: (1)∵f(x)=sinxcosx+sin2x-=sin2x+-， ∴f(x)=sin2x-cos2x=sin(2x-).又∵函數 f(x)=sin(2x-)的圖像與直線y=1的交點的橫坐標構成以2為公差的等差數列，∴函數f(x)=sin(2x-)的最小正周期為2，即T==2，解得=，∴ f(x)=sin(x-).

(2)∵將函數f(x)=sin(x-)的圖像向左平移個單位得到函數g(x)=sinx的圖像， ∴直線y=m(0

∵函數g(x)=sinx在區間(0，)內的圖像與直線y=m(0

【賞析】在三角函數題中，以等差數列和等比數列來敘述題目條件，從不同角度引導考生挖掘三角函數圖像的本質特征，命題人作了十分有益的嘗試!

18. 已知向量=(acos2x，1)，=(2，asin2x-a)(a為非零常數，x∈R)，函數f(x)=#8226;.

(1)求函數f(x)的表達式，并求a>0時函數f(x)的單調遞增區間;

(2)當x∈[0，]時， f(x)的最大值為5，求a的值.

解析: (1) f(x)=2acos2x+asin2x-a=a(sin2x+cos2x)=2asin(2x+)，當a>0時，令2k-≤2x+≤2k+(k∈Z)，解得k-≤x≤k+，即函數f(x)的單調遞增區間是[k-， k+](k∈Z).

(2)因為x∈[0，]，則≤2x+≤，-≤sin(2x+)≤1.又因為f(x)的最大值為5，所以當a>0時， f(x)max=2a=5，即a=;當a<0時， f(x)max=-a=5，即a=-5.綜上可知，a=或a=-5.

【賞析】把向量與三角函數交匯并不鮮見，再和分類與整合思想融為一體，卻相當別致

責任編校 徐國堅