一道概率習題的變式\\推廣和引申

一、提出問題

在新課標人教A版必修3第三章第二節《古典概型》的練習中有這樣一道題:

例題:假設每個人在任何一個月出生是等可能的，那么一個有10個人的集體中每個人的生日都不在同一個月的概率是多少?

分析:本題考查古典概型的知識，在這個集體中10個人生日的所有可能情況為1210，每個人的生日不同在一個月，即在10個人的生日分別在10個月中，根據排列公式，生日不在同一個月的情況有A1012.設每個人的生日都不在同一個月的概率是P(A)，有

P(A)==.

二、思維發散，對問題進行變式思考

變式1:假設每個人在任何一個月出生是等可能的，那么一個有10個人的集體中至少有兩個人的生日在同一個月的概率是多少?

分析:由題意可知直接分析至少兩個人的生日在同一個月的情況比較麻煩，不妨借助對立事件思考，先求每個人的生日都不在同一個月的概率，也即是上題中的P(A)，因此P =1-P(A)=1-.

變式2:一年按365天計，假設每個人在任何一天出生是等可能的，那么兩個人的生日不同的概率是多少?

分析:通過例題的分析，我們知道兩個人生日的所有可能情況為3652，要求兩個人的生日不同，即兩個人的生日分別在不同的2天中，根據排列公式，生日不同的情況有A2365.設兩個人的生日不同的概率是P(A)，有P(A)= = .

變式3:一年按365天計，假設每個人在任何一天出生是等可能的，那么兩個人的生日相同的概率是多少?

分析:同變式2，先求每個人的生日都不同的概率，即變式2中的P(A)，借助對立事件有P =1-P(A)=.

三、深入思考，對所得的變式進行推廣

將變式2推廣:設有r個人(r≤365)，每個人在任何一天出生是等可能的，問此r個人有不同生日的概率是多少?

分析:這就是概率史上有名的“生日問題”，通過分析，我們知道r個人生日的所有可能情況為365，要求r個人的生日不同，即每個人的生日分別在不同的r天中，根據排列公式，生日不同的情況有Ar365.設r個人有不同生日的概率是 P(A)，有:

P(A)==.

將變式3推廣:有r個人(r ≤ 365)，每個人在任何一天出生是等可能的，問至少有兩個人的生日在同一天的概率為多大?

分析:利用對立事件，由變式2的推廣得P =1-P(A)=1-=1-.

四、知識遷移，對問題進行引申

若在上述問題中，把天換成房間，把生日換成住房的人，則有:

引申1:“將并排的N個房間安排給n(n≤N)個人住，假定每人住任何一個房間是等可能的，求其中n個房間恰好每間各住1人的概率是多少?”

分析:這是一個古典概型中的一個很典型的“分房問題”，每人有N個房間可供選擇，所以n個人住的方式有種，題中的n個房間可以在N個房間中任意選取，其總數有AnN種，所以恰有n個房間入住1人的概率為P== .

若把人解釋為質點，把房間解釋為相應空間中的小區域，則有:

引申2:“將m個不同的質點，假定每個質點落與M(M ≥ m)個空間小區域(每個小區域能容納的質點數是沒有限制的)是等可能的，求恰有m個空間小區域各含一個質點的概率?”

分析:這個問題就是統計物理學中著名的“Maxwell-Boltzmann質點運動問題”，不少實際問題都可以歸結為它的模型.由引申1可知，P== .

若把上述引申2中“求恰有m個空間小區域各含一個質點的概率?”改成“求指定的m個空間小區域各含一個質點的概率?”則有:

引申3:“將m個不同的質點，假定每個質點落與M(M ≥ m)個空間小區域(每個小區域能容納的質點數是沒有限制的)是等可能的，求指定的m個空間小區域各含一個質點的概率?”

分析:題中的指定的m個空間小區域各含一個質點，其總數有Ann種，由引申2可知，P= =.

練習:某汽車制造商為了擴大廣告效應，現從生產的一批汽車中拿出6輛進行獎勵活動，共有5位用戶獲此獎勵，假定每人可以任領一輛，且領取任何一輛車都是等可能的，求指定的5輛汽車恰好每人一輛的概率.

分析:由題意，每人有6輛車可供選擇，所以5個人選取的方式有65種，指定的5輛汽車分給5個人，其可能總數為5人的全排列A55，因此指定的5輛汽車恰好每人一輛的概率P = .

五、總結與思考

通過此例我們知道:(1)不要只注重問題的表象，往往有時呈現在我們眼前的時候表面覆蓋了一層面紗，我們只要揭開面紗看本質，就能抓住解決問題的實質;(2)知識之間是相互聯系的，要充分利用學科間知識的交叉聯系，去更好地理解問題的關鍵;(3)課本的內容相當的豐富，如果我們能學好課本，用好課本，充分挖掘課本的內在知識，并加以遷移應用的話，我們就能更好的掌握所學知識.

責任編校 徐國堅