從一道試題的求解看一類通項公式的求法

數列的通項公式是數列的基本公式之一，它可以準確地揭示數列的所有項，也可以代表數列的任意一項進行運算與推理.幾乎所有數列問題都與通項公式有關，特別是數列綜合題，是否可解?幾乎取決于能否準確的認識通項.因此，關注它也是必須的.下面我們通過一道模擬試題的求解，看看一類通項公式的求解.

例題:數列{an}滿足a1=0，且an+1=，試問:m為何值時，總存在正整數n使an+1

分析:本題很明顯，從an+1=中求出通項公式是求解本題的重點.如何求呢?轉化是關鍵.下面先求通項公式

解析一:由an+1=得:==+.

因此=+，那么-=(-)，

∴=+(-)+…+(-)=+=-(1-)an+1=.

點評:將遞推公式進行變形至理想結果，建立在該式的基礎上“向下”再寫一個.然后，兩式相減，促成一新的數列產生，利用新數列的特點、再結合一個恒等式產生結論這是我們常用的方法之一.

類題1:數列{an}滿足a1=4018，且an+1= ，試求最大的正整數m，使m≤a2010成立.

解析二:由an+1=an+1+1===+-=(-).

顯然，數列-是以-為首項，以為公比的等比數列.

于是-=(-)#8226;=an+1=.

點評:將遞推公式進行變形產生一個新的等比數列，結合等比數列的通項公式產生結論.這也是我們求通項公式的常技巧之一.

類題2:設b1=且bn+1=，n∈N*，記an=，求an .

解析三:由an+1=an+1-1===+，令bn=+，那么=2.

于是，bn+1=b1#8226;()#8226;()#8226;…#8226;()=(+)#8226;2n=-2n-1，即+=-2n-1，從而an+1=.

點評:本解法將遞推公式變形，產生“=2”后構造“等比”恒等式，利用這一恒等比產生結論.其實，這一恒等式有著非常廣泛的應用，它不僅僅可以處理相等的情況，不等時也同樣可以處理.請看:

類題3:設數列{an}滿足a1≥3，且an+1≥2an+1，n∈N*，證明:對所有的n≥1，有++…≤.

解析四:由an+1=an+1+1=……①

又an+1=an+1-1=……………②

①式除以②式得:=2#8226;().

由=#8226;2n=-2n+1an+1=.

點評:本解法中的“①式除以②式”是關鍵性的一步，也許很多同學會問及這兩式如何產生?其實，真正值得關注的“+1”與“-1”的出現.這種方法叫“特征根法”，我們可以將將an+1=中的an+1與an都換成x，得方程x=x=1或x=-1，此時便有an+1-1與an+1+1的誕生了，方程x=叫an+1=的特征方程，利用特征方程是發現遞推數列求解思路的重要方法之一，請再看:

類題4:設>2給定數列{an}，其中x1=，xn+1=，求證:若<3，那么xn≤2+.

類題5:已知x1>0，x1≠1且xn+1=，試證:數列{xn}或者對任意自然數n滿足xn+1xn.

下面完成本題的剩余問題的求解

由an+1

(1)當1-m>0即m<1時，2n<.

①若≤2，得:m≤時，n的值不存在;

②若>2，得:m>時，n的值必存在，至少n可以是1.

(2)當1-m=0即m=1時，1+m=2此時不等式(*)恒成立，即n可取任意正整數.

(3)當1-m<0即m>1時，不等式(*)恒成立，即n可取任意正整數.

綜上，當m>時，總存在正整數n使an+1

通過上述一例通項的求法，可以看出:求數列的通項公式不是孤立的，它將數列的基礎知識、基本方法以及涉及的基本技能恰到好處地融為一體，因此，有關通項公式的求解與應用是各級各類考試經常考查的重要技能之一，要想在考試中能夠順利地拿數列分，通項公式的求法你非掌握不可.

類題演練答案:

類題1:由an+1=an+1-an=-an=-1<0，因此，a2010=a1+(a2-a1)+…+(a2010-a2009)=a1-2009+(++…+)>a1-2009=2009且an+1

若++…+<<<=1.

顯然，2009

取m=2009，則m是滿足m≤a2010的最大正整數.

類題2:由bn+1=== (-)#8226;.

顯然，數列是以為首項，以-為公比的等比數列，

于是=#8226; (-)n-1.

∵ b1=，∴ an==#8226; (-)n-1=#8226; (-)n+1.

類題3:由an+1>2an+1，得≤，

∴=#8226; ()#8226; ()#8226;…#8226;()≤#8226;()n-1. 又由于a1≥3，因而++…+≤[1++…+()n-1]=≤.

類題4:由xn+1=xn+1-2=，xn+1==()2=() xn=2+.

∵ >2>1() >1.

由(1+x)n≥1+nx得() =(1+)≥1+()#8226;2n-1≥1+2nxn=2+≤2+.

類題5:由xn+1=xn+1+1=，xn+1-1==()3=() xn=.

顯然，若x1>1時，xn>1;若0

由xn+1-xn=-xn=，

故當x1>1時，xn+1xn .

責任編校徐國堅