用函數圖像看方程的根

說到函數，我們往往只想到函數解析式.其實從某種角度說，函數的圖像比它的解析式更重要，它能讓我們對函數的性狀一覽無遺，從而啟迪我們尋找解題思路.函數與方程是密不可分的，方程根的個數問題，往往可以轉化為兩個函數圖像的交點問題.于是，用函數圖像看方程的根既合情合理，又十分有效.

例1判斷方程log2x=-(x-1)2+2的根的個數.

點撥 思路1:構造函數f(x)=log2x+(x-1)2+2，函數在定義域內不單調.

當x>1時，f(x)遞增，f(1)=-2<0，f(2)=0，f(4)>0.

∴f(x)在(0，+∞)上有唯一的一個零點.

當0

∴在(0，+∞)上，f(x)有且僅有一個零點.

即方程log2x=-(x-1)2+2的解只有一個.

思路2:令f(x)=log2x，g(x)=-(x-1)2+2

在同一坐標系中作出二者的圖像(如圖1).

由圖可知方程log2x=-(x-1)2+2只有一個解.

點評 思路一考察一個函數的圖像與軸的交點狀況，這里應用了函數的零點存在性定理;思路二直接考察兩個函數的圖像的交點，顯然思路二較思路一要簡捷些，但思路一可以導出思路二中根所在的區間端點.關于這類問題，我們還要注意以下兩點:(1)構造的兩個函數必須是圖像容易畫出的初等函數;(2)方程中不含參數.

變式1 設a為常數，試討論方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的實根的個數.

點撥 思路1:x應滿足的條件是:x-1>0，3-x>0a-x>01

原方程變形為:lg[(x-1)(3-x)]=lg(a-x)(x-1)(3-x)=a-x.

令f(x)=(x-1)(3-x)，(1

在同一坐標系中作出兩個函數的圖像，f(x)=(x-1)(3-x)，(1

當方程(x-1)(3-x)=a-x只有一個實根時，由△=0a=.

結合圖形，當a≤1或a>時，方程沒有實根;當a=或1

思路2:原方程等價于

(3-x)(x-1)=a-x，x-1>0，3-x>0，a-x>0-x2+5x-3=a，1

令f(x)=-x2+5x-3(1

點評 本題是一個含有參數的方程問題.經過等價轉化，本題其實是一個根限制在某個區間上的二次方程問題.兩種思路都把原問題轉化為在某個區間上的直線與拋物線的位置關系問題，從求解過程不難發現，思路2采用了參變量分離法，從而使解答更簡捷.此外，使用圖像法解題時，既要考慮作圖的可行性，又要注意問題轉化的等價性.

變式2 對于函數f(x)=|x|3-x2+(3-a)|x|+b，f(x)若有六個不同的單調區間，求a的取值范圍.

點撥∵f(x)為偶函數， 題意等價于f ′(x)=x2-ax+(3-a)=0在x>0內有兩不同的解，而方程轉化為x2+3=a(x+1)a==x+1+-2，x≥0.

令x+1=t，作出函數f(t)=t+-2，t≥1時的圖像，而f(t)=a中的一條直線與圖像有兩個交點時，由圖4可知2

點評 對于有些數學問題，剝開原題的“包裝”，其實就是兩個圖像的交點問題，這時往往可以通過一個圖像的平移直觀獲得某參數的取值范圍，本題就是如此.這里特別提醒同學們:數形結合思想是數學中的一個很重要的思想，它不同于其它方法，它必須和其它的如函數方程思想、等價轉換思想有機結合起來，才能使解題得心應手.

類題練習

1. 若x0是方程式lgx+x=2的解，則x0屬于區間()

A.(0，1).B.(1，1.25).

C.(1.25，1.75) D.(1.75，2)

2. 直線y=1與曲線y=x2-|x|+a有四個交點，則a的取值范圍是 .

3. 若曲線f(x)=ax2+lnx存在垂直于y軸的切線，則實數a的取值范圍是 .

答案 1. B; 2.(1，) ; 3.a<0.

責任編校 徐國堅