勾畫示意圖,解題第一步

不少同學對解數學題很是“撓頭”，其實，數形結合很重要，勾畫出示意圖，走好解題的第一步，整道題的解決也就勢如破竹了，下面的幾例就很能說明這第一步的重要性.

例1已知函數f(x)=ax2+x(a∈R)，若對于任意a∈R都有|f()|≤1恒成立，則滿足題意的a的最大整數值為()

A. -2B. 0C. 2 D. 4

易錯提示 很多同學會按部就班地把|f()|≤1表述成|a()2+|1，即|ax2+x(x2+1)|≤(x2+1)2，再做下去，則要么是八次不等式，要不就是分類討論，難度大得幾乎束手無策，只好亂選一氣!

解析 注意到當x>0時總有≤=，g(x)=為奇函數，所以對于任意x∈R都有-≤≤.因此，令t=，則t∈[-，]只需針對a的四個值:-2，0，2，4，從大到小驗證函數f(t)=at2+t在閉區間[-，]對應的函數值的絕對值是否存在超過1的情況即可:對于函數f(t)=4t2+t，f()=>1不符合題意;函數f(t)=2t2+t的圖像的對稱軸為t=-，且-到的距離比-到-的距離遠，f(-)=-，f()=1符合題意!至此對于a的值為-2，0已不必再驗證，故選C.

點評 本題題設條件并沒有函數f(x)=ax2+x與g

(x)=的圖像，但想到了奇函數g(x)=的圖像與性質，將問題等價轉化為研究我們熟悉的二次函數f(t)=at2+t在閉區間[-，]上的最值問題，無論是解答的難度還是解題的速度都得到了優化，可謂“胸中有圖千般好，無圖解題寸難行”!

例2已知函數y=f(x)的定義域為R，在區間[0，+∞)上是單調遞增函數，且f()=0.若函數y=f(x-1)的圖像關于直線x=1對稱，求不等式f()>0的解集.

策略提示 函數y=f(x)是抽象函數，其解題策略是要么利用具體模型解答(本題不容易找到合適的函數模型)，要么勾畫示意圖，利用圖形的直觀性降低該抽象函數的難度!

解析 函數y=f(x-1)的圖像關于直線x=1對稱，則函數y=f(x)的圖像關于直線x=0(y軸)對稱，y=f(x)在[0，+∞)區間上是單調遞增函數，畫出其示意圖如圖1所示，則原不等式問題可轉化為解>與<-，->0的解集為{x|x<-1或x>1}，+<0的解集為{x|-10的解集為{x|x<-1或-11}.

點評 從函數y=f(x-1)的圖像與函數y=f(x)的圖像的平移關系入手，判斷出抽象函數y=f(x)實質上是偶函數(示意圖中使用了最簡單的直線)，再結合整體思想，把問題f()>0轉化成解不等式>與<-(即||>)，解題的第一步依然是畫出示意圖!

例3 已知函數f(x)=|lgx|，若正實數a

(1)求a與b的關系;(2)證明必有滿足3

解析 先畫出函數f(x)=|lgx|的圖像，如圖2所示.

(1)由0

(2) ∵ 0=1，即>1，

f(b)=2f()可表示為lgb=2lg，即b=()2，展開可得a2+2ab+b2=4b，整理為b2-4b+a2+2=0(*)，設g(b)=b2-4b+a2+2，則g(3)g(4)=(a2-1)(a2+2)，∵0

點評 根據題意畫出示意圖，利用圖形的直觀可以減少很大的計算量.利用均值不等式判斷出>1是避免分類討論的關鍵，充分利用二次函數圖像與二次方程之間的關系，使實數b的存在性判斷變成了容易操作的函數零點的判斷.

例4 (2010年湖北八校高三聯考)設函數f(x)=|2-x2|，若0

A. (0，2)B. (0，2]C. (0，4] D. (0，)

解析 先畫出分段二次函數f(x)=|2-x2|的圖像，如圖3所示.

∵f(a)=f(b)，∴0，0<2-a2=b2-2<2(

∴a2+b2=4，a2+b2>2ab，即0

點評 排除法是解答選擇題的有效方法，本題的解答中，均值不等式和三角換元(注意新元的范圍以確定ab能否等于)是做出合理排除的關鍵.

例5 (2010屆伯樂馬全國大聯考)(1)關于x的方程|x2+4x+3|=a依次有三個解、四個解，則實數a的取值范圍分別是、.

(2)關于x的方程|x2+4x+3|=ax依次有三個解、四個解，則實數a的取值范圍分別是、.

解析 令f(x)=|x2+4x+3|，直線l1:y=a，直線l2:y=ax(過坐標原點)，畫出y=f(x)的圖像與直線l1、直線l2的位置關系(如圖4所示).

∵ f(-2)=1，∴當a=1時，方程|x2+4x+3|=a有三個解;而當0

令-x2-4x-3=ax，其判別式△=(4+a)2-12=a2+8a+4，由a2+8a+4=0解得a=-4+2(a=-4-2舍去). 當a=-4+2時，方程|x2+4x+3|=ax有三個解;而當-4+2

點評 函數f(x)=|x2+4x+3|的圖像是將x軸下方的部分翻折到x軸上方，曲線與直線有三個公共點，必定需要直線與曲線段相切，所以相切成為解決問題的入手點.另外，a=-4-2對應的直線l2與拋物線y=x2-4x-3在x軸下方的部分相切，所以要進行合理的取舍.如果拋開圖形，這道題的解答需要解四次方程，那可就真是小題大做了!

畫好函數的示意圖，問題的解決就已經找到了絕好的途徑(數形結合)，正所謂“良好的開端是成功的一半”!

責任編校 徐國堅