一道高考數學題的一題多解

題目:(2010年全國高考Ⅱ卷理科第11題)與正方體ABCD—A1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點()

A. 有且只有1個 B. 有且只有2個

C. 有且只有3個 D. 有無數個

分析:本題考查了空間想象能力和邏輯思維能力.

解法一:∵到三條兩兩垂直的直線距離相等的點在以三條直線為軸，以正方體邊長為半徑的圓柱面上，∴三個圓柱面有無數個交點，故選D.

點評:此法用旋轉的觀點考查空間想像能力.

解法二:在直線B1D任取一點P，分別作PO1，PO2，PO3垂直于B1D，B1C，B1A于O1，O2，O3，則PO1⊥平面A1C1，PO2⊥平面B1C，PO3⊥平面A1B，過O1，O2，O3分別作O1N⊥A1D1，O2M⊥CC1，O3Q⊥AB，垂足分別為M，N，Q，連PM，PN，PQ，由三垂線定理得PN⊥A1D1，PM⊥CC1，PQ⊥AB. 由于正方體中各個表面全等，各個對角面也全等，所以PO1=PO2=PO3，O1N=O2M=O3Q. 故有PM=PN=PQ，即P點到三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等，因此這樣的點P有無數個，故選D.

點評:此法用線面的位置關系和正方體的相關知識，通過三垂線定理找到直線B1D上的動點P到三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等，從而得出答案. 此法要求考生的邏輯思維要嚴謹，充分注意立體幾何中的相關知識的合理運用.

解法三:圖像法. 作正方體ABCD-A1B1C1D1如下:

由圖可知直線B1D上的任何一點到三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等，故選D.

點評:此法用圖形的直觀性考查空間想像能力，簡明扼要，但要求答題者具備相當的空間思維能力和邏輯思維能力.此法考生容易由特殊性認為只有B1、P、D三點或B1、D兩點符合條件，從而錯選B或C答案.

解法四:分別以正方體的棱AB、AD、AA1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，與正方體的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點的坐標為(x，y，z)，則:

==，

∴ z2+y2=(1-y)2+(1-x)2=x2+(1-z)2 ，

∴z2+y2=1-2y+y2+1-2x+x2=x2+1-2z+z2 ，

∴ y2=x2+1-2z ，∴ z2+x2+1-2z=1-2y+y2 +1-2x+x2，

∴ z2-2z=1-2y+y2-2x，又z=，

∴ #8226;=(y-1)2-2x，

∴ (x2-y2)2-2(x2-y2)-3=4[(y-1)2-2x]，

∴ x4+y4-2x2y2-2x2-2y2+8x+8y-7=0，

∴ (x+y)4-4xy-8x2y2-4xy3-2(x+y)2+4xy+8(x+y)-7=0，

∴ [(x+y)4-1]-4x3y[(x+y)2-1]-2[(x+y)2-1]+8[(x+y)-1]=0，

∴ [(x+y)-1]{[(x+y)2+1][(x+y+1)-(4xy+2)(x+y+1)+8}=0，

∴ [(x+y)-1]{[(x-y)2-1](x+y+1)+8}=0.

顯然，當點的坐標為(x，y，z)，滿足條件:

x+y-1=0，z=時是題目的解.

當點的坐標為(x，y，z)滿足條件:

[(x-y)2-1](x+y+1)+8=0，z=，如(，，)，看來也是題目的解.

點評:此題通過建立空間直角坐標系，建立方程模型，利用方程的思想解決空間幾何問題.這種解決空間幾何問題的方法要求考生具備較強的運算能力和一定的數學思維品質，雖然運算量比較大，但直觀清晰.

責任編校 徐國堅