解好含正整數(shù)參變量的高考題

近年廣東省高考試題中連續(xù)出現(xiàn)了含正整數(shù)參變量的解答題，用以考查考生的綜合能力.如廣東省2009年高考理科數(shù)學(xué)第21題，2010年高考文科數(shù)學(xué)第21題，都是以壓軸題形式出現(xiàn).考生必須具有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作保障，能恰當(dāng)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法才能得以解決.由于的多樣性，這類試題的特點(diǎn)可戲稱為趙本山演的小品《功夫》中的“組團(tuán)忽悠”.如何解好這類試題?正所謂:“有山就有路，有河就能渡，勇士前面條條路!”要解好這類題，概括如下，僅供參考:

以退為進(jìn)，尋根引弦;量到質(zhì)變，擒賊擒王;承前啟后，運(yùn)動(dòng)探究;壓軸蹺尾，勇摘桂冠.

一、高考試題回放

【2009年廣東理科第21題】 已知曲線Cn : x2-2nx+y2=0(n=1，2，…).從點(diǎn)P(-1，0)向曲線Cn引斜率為kn(kn>0)的切線ln，切點(diǎn)為Pn(xn，yn).

(1)求數(shù)列{xn｝與{yn｝的通項(xiàng)公式;

(2)證明:x1#8226;x3#8226;x5…x2n-1<

【2010年廣東文科第21題】 已知曲線Cn : y=nx2，點(diǎn)Pn(xn，yn)(xn>0，yn>0)是曲線Cn上的點(diǎn)(n=1，2，…).

(1)試寫出曲線Cn在點(diǎn)Pn處的切線ln的方程，并求出ln與y軸的交點(diǎn)Qn的坐標(biāo);

(2)若原點(diǎn)O(0，0)到ln的距離與線段PnQn的長(zhǎng)度之比取得最大值，試求點(diǎn)Pn的坐標(biāo)(xn，yn);

(3)設(shè)m與k為兩個(gè)給定的不同的正整數(shù)，xn與yn是滿足(2)中條件的點(diǎn)Pn的坐標(biāo).

證明:-<-(s=1，2，…).

二、思路過(guò)程方法

這兩道題開(kāi)頭實(shí)際上都蘊(yùn)含著一個(gè)道理:從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從個(gè)別到一般，從有限到無(wú)限的一個(gè)認(rèn)識(shí)過(guò)程.試題中出現(xiàn)的眾多曲線與直線應(yīng)屬于解析幾何中的曲線系與直線系的范疇.考生若想不被的變化所“忽悠”，則需隨的變化而認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)，從而整體把握事物，使認(rèn)識(shí)過(guò)程得到升華.我們首先從簡(jiǎn)單情形做起.

(一)以退為進(jìn)，尋根引弦

“萬(wàn)事開(kāi)頭難”，要找到解題思路，感受題意，先從簡(jiǎn)單情形做起，讓n退到最原始的n=1.

三、綜合能力練習(xí)

如圖，已知n∈N*，拋物線Cn:x2=4ny，Cn的焦點(diǎn)為Fn，直線ln:y=x+n，坐標(biāo)原點(diǎn)為O. Cn與ln的兩個(gè)交點(diǎn)分別為An(xn，yn)與Bn(sn，tn)，在拋物線Cn上An、Bn處的切線交點(diǎn)為Pn(un，vn)，AnBn中點(diǎn)為Mn(pn，qn).

(1)試求pn與qn;

(2)是否存在點(diǎn)Qn(0，an)，使點(diǎn)Pn、An、Qn、Bn四點(diǎn)共圓?若存在，試求出圓的方程;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)設(shè)f (n)=MnPn，試證:≤-.

參考答案:

(1)提示:PnBn與PnAn始終垂直，pn=2n，qn=3n ;

(2)存在，an=(3±2)n，圓的方程為:(x-2n)2+(x-3n)2=(4n)2;

(3)提示: f (n)=4n，再用放縮法或數(shù)學(xué)歸納法可證.放縮法中注意<=-的使用.

“萬(wàn)丈高樓平地起”，解好含正整數(shù)參變量的高考題，打好基礎(chǔ)是關(guān)鍵!還需要平時(shí)做好知識(shí)的積累，構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，養(yǎng)成科學(xué)的解題思路，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，再加上攻克難關(guān)的勇氣.

最后，以葉劍英元帥的《攻關(guān)》詩(shī)來(lái)做結(jié)束語(yǔ):“攻城不怕堅(jiān)，攻書莫畏難.科學(xué)有險(xiǎn)阻，苦戰(zhàn)能過(guò)關(guān).”

責(zé)任編校徐國(guó)堅(jiān)