2010年廣東高考數學試卷評

2010年廣東高考數學試卷分文、理兩卷，共性是觀點明確、特點突出，都有一批求新、求穩、突出重點的好題.既考查了考生在高中階段所學知識的掌握程度，又考查了考生進入高校繼續學習的數學潛能，都是融知識、能力、素質于一體的優秀試卷.這對今后的教學起著重要的導向作用.下面全面分析一下試卷，供參考:

一、抽樣得分情況

由于計算機的應用，使得分數統計方便了很多.在閱卷過程中，從一個小組(一萬份以上)的記錄，可以看出各小題的平均分.文科:11~13題平均得分9.49分;選做題平均得分3.85分;16題平均得分9.19分;17題平均得分9.31分;18題平均得分5.74分;19題平均得分4.89分;20題平均得分1.14分;21題平均得分1.12分;理科:9~13題平均得分18.78分;選做題平均得分3.34分;16題平均得分11.42分;17題平均得分7.89分;18題平均得分7.43分;19題平均得分7.7分;20題平均得分1.47分;21題平均得分2.09分.

這些枯燥的數字能說明什么?大的方面，可以看出全省對于相應知識與技能的教學情況、考生的掌握情況;小的方面，可以讓同學們了解對相應知識的掌握是否可以達到全省的平均水平.有一個全省的基準線，隨時可以參照.

二、試題特點

今年高考題的個性突出、特點鮮明，下面針對試題特點談談個人淺見.

1. 基礎題，推陳出新.

理科卷中第1、2、3、9、10、16(1)(2)等;文科卷中第1、2、3、5、7、8、12都是基礎題，這些題目所要求的是基本的運算能力.只要對題目涉及的基礎知識比較熟悉，再按照常規方法進行求解，運算比較細心，基本上都可以牢牢地得滿分.由于這些題目在試卷的排版上都靠前，因此，對考生是一種安慰和鼓勵，讓考生普遍感覺，題目平易近人.顯然，這對于考生的正常發揮起到了積極作用，也是“以人為本”的社會理念在高考試卷中的重要體現.

但，基礎題不等于送分題，請看:

例1. 理科第9題:函數f(x)=lg(x-2)的定義域

是.

分析與點評:這道題應該說夠簡單的了，由于它是填空題，如何表述這個答案是關鍵. 是x>2嗎?不是，函數定義域的表示有兩種形式:一是集合，二是區間. 不規范的表示，肯定是不能得分的.

例2. 理科第9題:已知圓心在x軸上，半徑為的圓O位于軸y左側，且與直線x+y=0相切，則圓O的方程是.

分析與點評:待定系數法是求曲線方程的重要方法，而此法正是在圓與方程這一節中介紹的.能否準確應用直接影響著本題的求解.設圓心為(a，0)，則方程為(x-a)2+y2=2，因為與直線x+y=0相切，得=a=±2，由于圓O位于y軸左側，所以a=-2，得方程為(x+2)2+y2=2.注意“位于y軸左側”不可漏掉，否則，將前功盡棄.

2. 常規題，引人入勝.

無論多么新穎的試卷，一定存在著常規題，高考卷更不例外，關鍵是這些試題以什么樣的“容顏”呈現在考生面前?今年的試題個性突出，請看:

例3. 理科第9題已知{an｝為等比數列，Sn是它的前n項和.若a2#8226;a3=2a1，且a4與2a7的等差中項為，則S5=()

A. 35B. 33 C. 31D. 29

分析與點評:從方程的角度出發，不難看出只要設出公比q，很容易將條件轉化為a1、q的方程組，解方程產生a1、q的值，再代入前5項和的公式即可產生結論.看看計算吧!

設公比為q，則a1q#8226;a1q2=2a1，a1q3+2a1q6=a1q3=2，a1q3+2a1q3#8226;q3=a1q3=2，q3=a1=16，q=S5==31.這是等比數列的常規題，主要考查基本運算，難嗎?不難.運算量大嗎?也不大.但必須注重基本算理，掌握運算中整體的“巧”與“妙”方能快速產生結論.

例4. 理科第13題:某城市缺水問題比較突出，為了制定節水管理辦法，對全市居民某年的月均用水量進行了抽樣調查，其中n位居民的月均用水量分別為x1，…，xn(單位:噸)，根據圖2所示的程序框圖，若n=2，且x1，x2 分別為1，2，則輸出地結果s為.

解析與點評:運行一下是求解此類題的基本方法，

第一步:i=1，s1=s1+x1=1，S2=s2+x21=1，s=0;

第二步:i=1，s1=s1+x2=3，s2=s2+x22=5，s=(s2-s21)=.

在這些眼花繚亂的替換中，你能陣腳不亂嗎?它

不僅要求你有嫻熟的運算能力，還要求你必須始終保

持高度清醒的頭腦.

3. 創新題，新而不怪.

本套卷中的創新力度是較大的，有些題目的設計相當漂亮. 如:

例5.文科第10題:在集合{a，b，c，d}上定義兩種運算和如下:

那么d(ac)=()

A. a B. b C. cD. d

分析與評:由的定義可知ac=c，又由的定義可知dc=a.多么漂亮的試題，只要抓住定義，細心觀察，便會立即產生答案.

例6. 理科第8題:為了迎接2010年廣州亞運會，某大樓安裝5個彩燈，它們閃亮的順序不固定，每個彩燈彩只能閃亮紅、橙、黃、綠、藍中的一種顏色，且這5個彩燈閃亮的顏色各不相同.記這這5個彩燈有序地各閃亮一次為一個閃爍.在每個閃爍中，每秒鐘有且僅有一個彩燈閃亮，而相鄰兩個閃爍的時間間隔均為5秒.如果要實現所有不同的閃爍，那么需要的時間至少是()

A.1205秒B.1200秒

C.1195秒D.1190秒

分析與點評:首先要“不同的閃爍個數”，其次，要分析每個“閃爍”所用的時間.由于，所有不同的閃爍個數也就是“紅、橙、黃、綠、藍”在5個位置上的不同排列，因此，個數為A55=120.又因為相鄰兩閃爍之間的間隔為5秒，而每一個間隔的時間也是5秒，因此，需要的時間至少是120×10-5=1195.

這些題目無論是從基本結構、還是從表述形式，一看便有一種想征服它的欲望.當完成求解，再回過頭來欣賞這些題目時，可以發現構思巧妙、結構新穎，堪稱妙題.

4. 應用題，悄悄加碼.

考試說明對應用意識要求較高，它指出:能綜合應用所學數學知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關學科、生產、生活中簡單的數學問題;能理解對問題陳述的材料，并對所提供的信息資料進行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數學問題，建立數學模型;應用相關的數學方法解決問題并加以驗證，并能用數學語言正確地表達和說明.

應用題是高考的一棵“長青樹”，始終煥發著時代氣息，看看今年高考試題:理科第8題、第13題、第17題、第19題.累計分值多達34分，約占全卷的五分之一.文科第11題、第12題、第17題、第19題.累計分值也是34分，同樣大概占全卷的五分之一.文、理都是如此，足以可見不是什么偶然現象.涉及知識從排列、組合、程序框圖、統計概率、獨立性檢驗到線性規劃等.涉及題型也是選擇題、填空題、解答題樣樣都有.

這是不是一種信號?它告訴我們依據現實的生活背景，提煉相關的數量關系，構造數學模型，將現實問題轉化為數學問題，并加以解決將是下一步高考改革方向，當然，它也必將重新掀起高中數學教學側重于應用意識的培養之風.

5. 壓軸題，剛柔相濟.

壓軸題，也就是最后一題，很多人都會認為壓題最難，其實今年的壓軸題并非是最難的題，可以說是有難有易的剛柔相濟試題.

例7. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐標系xOy上的兩點，先定義由點A到點B的一種折線距離ρ (A，B)為ρ (A，B)=|x2-x1|+|y1-y2|.

對于平面xOy上給定的不同的兩點A(x1，y1)，B (x2，y2)

(1) 若點C(x， y)是平面xOy上的點，試證明

ρ(A，C)+ρ(C，B)≥ρ(A，B);

(2) 在平面xOy上是否存在點C(x， y)，同時滿足

①ρ(A，C)+ρ(C，B)= ρ(A，B);②ρ(A，C)= ρ(A，B);

若存在，請求所給出所有符合條件的點;若不存在，請予以證明.

分析與點評:對于第一問，大家會想到先寫出ρ(A，C)、ρ(C，B)及ρ(A，B)，看看到底是個什么“東西”，也許不寫不知道，寫了，還真的嚇一跳.ρ(A，C)=|x1-x1|+|y-y1|，

ρ(C，B)=|x2-x1|+|y2-y1| ，ρ(A，B)=|x2-x1|+|y2-y1|，再一對照第一問的結果，這不是絕對值不等式嗎?就這么一步到位，還真是太“溫柔”了.

第二問呢?由于“ρ(A，C)+ρ(C，B)= ρ(A，B)”，也就是第一問中取等號，由|x-x1|+|x2-x|≥|x2-x1|等號成立，可得(x-x1)(x2-x)≥0，于是，第一問等號成立即為(x-x1)(x2-x)≥0且(y-y1)(y2-y)≥0，不失一般性，設x1≤x2，則x1≤x≤x2 .

(1)若y1≤y2，由(y-y1)(y2-y)≥0得y1≤y≤y2，結合x1≤x≤x2可知，點C(x-y)在矩形內部或在邊界上.

而“ρ(A，C)= ρ(C，B)”呢?也就是|x-x1|+|y-y1|=

|x2-x|+|y2-y|即y=-x+.

設AB中點為(x0，y0)，則y=-x+x0+y0，此時，點C存在，所有符合條件的點構成過AB中點、斜率為-1且位于矩形區域內的線段(包括端點).

(2)若y1>y2，由(y-y1)(y2-y)≥0，得y2≤y≤y1且x1≤x≤x2.

由第二個條件，得y=-x-.

設AB中點為(x0，y0)，則y=x-x0+y0，此時，點C存在，所有符合條件的點構成過AB中點、斜率為1且位于矩形區域內的線段(包括端點).

由(1)(2)可知點C(x， y)是存在的，所有符合條件的點構成過AB中點、斜率為-1或1且位于矩形區域內的線段(包括端點).

此題難嗎?不難.簡單嗎?不簡單.怎么評價?有難有易、剛柔相濟.

6. 陷阱題，假象巧妙.

一套好的試題，一定存著一些思維陷阱型的試題，用以考查思維的嚴謹性、全面性.

例8. 理科第6題(文科第9題):如圖1，△ ABC為正三角形，AA′//BB′//CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′=BB′=CC′=AB，則多面體ABC -A′B′C′的正視圖(也稱主視圖)是

分析與點評:看看圖一的一個側面A′ABB′，再看另一個側面A′ACC′，由于從圖一上觀察可知BB′

例9. 某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨機抽取該流水線上40件產品作為樣本算出他們的重量(單位:克)重量的分組區間為(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如下圖所示.

(1)根據頻率分布直方圖，求重量超過505克的產品數量.

(2)在上述抽取的40件產品中任取2件，設Y為重量超過505克的產品數量，求Y的分布列.

(3)從該流水線上任取5件產品，求恰有2件產品的重量超過505克的概率.

分析與點評:第一問很簡單，易得結論為12.

第二問呢?是超幾何分布，其分布列為P(Y=i)=(i=0，1，2).

第三問可以認為是求5次獨立重復試驗恰的兩次發生的概率，于是，問題落在如何求一次發生的概率，由P==即可完成.也就是二項分布X~B(5，)，由此可得本小問的答案為P(X=2)=C25()2(1-)3=.

本題可不一般，閱卷中就發現很多同學“中招”，有的將第二與第三問都認為是超幾何分布，也有的將第二問與第三問都認為是二項分布.像這樣的巧妙陷阱，恰好擊中要害.使教與學的問題暴露無遺.在這我真的要大贊此題設計得絕妙無比.

7. 觀美玉，吹毛求疵.

任何一套試題的設計都不會刻意追求知識點的完全覆蓋，也不提倡課時比例吻合于分數比例，但“社會公理”是:付出與回報基本一致.理科試題導數及其應用未見命題，而這一塊的內容是24課時，占總課時量的比為7.4%.相比之下，線性規劃，課時量為4課時，設計一道12分的解答題，實在讓人費解.

三、一點啟發

面對上述的分析，在下一年的高考復習中我們需要從下述幾個方面入手:

1. 注重基礎知識的全面性.由于考試題目涉及知識的覆蓋面較廣，因此，要注意全面掌握基礎知識與基本技能;不可隨意地劃定“不考”內容，而輕易地放松或降低要求;要貫徹“普遍撒網，重點摸魚”的復習策略.

2. 注重思想方法，強化解題過程.根據考查的能力類型與能力要求的層次，我們必須注重數學思想方法，要在基本數學思想方法(如:函數思想、數形結合思想、分類思想及化歸思想)的傳授上狠下功夫，強化解題過程，特別關注解題過程中的思維能力和運算能力.

3. 以邏輯思維能力為核心，結合運算能力、推理能力與分析能力的特點，強化結合運算能力、推理能力與分析能力，特別關注“怎樣想”. 同時，一定保證當知道“怎么算”以后能產生正確答案.

4. 從圖形的觀察、分析、變換、抽象入手，培養同學們的想象能力、抽象能力及提取解題信息的能力.

5. 抓住新增內容的特點，注重新增內容是高考試題新的創新點，及它與其它知識的交匯性，更要注意新情境下，設計的新問題.

6. 注意知識的網絡結構，導數、函數的單調性、函數的最值、可轉化為函數最值的常規問題，數列的的運算與常規技能;由于這兩部分知識都是中學數學的重要內容，而在2010年(特別是理科)考得很少，下一年絕不可小視.

最后，我們知道數學是思維的體操，數學考試應該是思維能力測試、是發展潛能的測試.因此，2011年的高考復習一定要有創新，要將研究性學習、自主探索性學習溶解在常規學習過程中，對于重要知識、重要技能一定要懂得建構.當新的知識通過自己建構，納入自己的認知范圍，思維就可以活躍、應用就可以得心應手.愿你2011年高考有個好的“收成”.

責任編校 徐國堅