一道高考數學填空題的分析及其啟示

2010年的福建高考第15題是填空題中的最后一題，作為填空題的最后一題命題都會設置一定的難度.怎么解好這個題目呢?除了要有扎實的基礎知識外，還要有一些應變能力，因為這些問題都有一定的新穎性，不過化新為舊，陌生問題熟悉化，是我們應該有的意識.

題目:(2010福建高考理科數學第15題)已知定義域為(0，+∞)的函數f(x)滿足:(1)對任意x∈(0，+∞)，恒有f(2x)=2f(x)成立;(2)當x∈(1，2]時，f(x)=2-x.給出如下結論:①對任意m∈Z，有f(2m)=0;②函數f(x)的值域為[0，+∞);③存在n∈Z，使得f(2n+1)=9;④“函數f(x)在區間(a，b)上單調遞減”的充要條件是 “存在k∈Z，使得(a，b)(2k，2k+1)”.其中所有正確結論的序號是.

1. 探索求解.

看一遍這個題目，第一感覺就是抽象，不易下手.若能化抽象為具體，問題便很容易找到解決的辦法.已知x∈(1，2]時，f(x)=2-x，當x取其他值時，能轉化為這個解析式嗎?我們試試.

對①，m=0時，f (20)=f (1)，不知道結果，先看m=1，f (21)=2-2=0，而f (2)=f (2×1)=2f (1)f (1)=0，m=2時，f (22)=f (2×2)=2f (2)=0，…

由此可知m∈N時，f (2m)=0.

當m=-1時，由f (x)=f (2x)知，f (2-1)=f ()=f (2×)=f (1)=0;m=-2時，f (2-2)=f ()=f ()=0，…

由此可知m為負整數時，也有f (2m)=0，∴對任意m∈Z，有f (2m)=0.

事實上，我們也可以找到一般化的方法:

f (2m)=f (2#8226;2m-1)=2f (2m-1)=…=2m-1f (2)=0，故①正確.

對②，x∈(1，2]時， f (x)=2-x∈[0，1);而f (2x)=2f (x)∈[0，2)，此時2x∈(2，4];f (4x)=2f (2x)∈[0，4)，此時4x∈(4，8]，…

由此可知，f (2nx)∈[0，2n)，n∈Z，∴任意x∈(0，+∞)，函數f(x)的值域為[0，+∞)，故②正確.

我們也可以找到一般化方法，取x∈(2m，2m+1]，則∈(1，2];f()=2-，從而f(x)=2f()=…=2mf()=2m+1-x，其中，m=0，1，2，…，所以f(x)∈[0，+∞).

對③，由②當x∈(2n，2n+1]時，f(x)=2n+1-x，而2n+1∈(2n，2n+1]，∴f(2n+1)=9=2n+1-(2n+1)2n=10，n的值不存在，故③錯.

也可以由②直接得到f(2n+1)=2m+1-2n=1，假設存在n使f(2n+1)=9，即存在x1，x2，使2-2=10，又2x變化如下:2，4，8，16，32，…，顯然不存在滿足題設的n，所以該命題錯誤.

對④，根據前面的分析容易知道該選項正確.

綜合以上結果，正確的序號是①②④.

說明:看問題的角度不同，得到的方法可能就不相同.比如就解析式，也可以這樣來求:

令2x∈(2，4]，則x∈(1，2]，f (2x)=2f (x)=2(2-x)=4-2x，故當x∈(2，4]，f (x)=4-x.令2x∈(4，8]，則x∈(2，4]，f (2x)=2f (x)=2(4-x)=8-2x，故當x∈(4，8]，f (x)=8-x，…

由此歸納得到:當k∈Z，在定義域(2k，2k+1]內，f(x)=2k+1-x.解析式求出來了，下面的問題就容易了.

本題的函數實際上是一個分段函數(如圖)，即分成無數段區間為(2k，2k+1](k∈Z)的函數，圖像在x軸上方或與x軸相交，且與x軸相交時函數值為0.

2. 錯誤分析.

在與同學們的交談中，發現常見的錯誤有:一是不會把條件(1)和(2)進行轉化，或者轉化錯誤，很想作出大致圖像，卻不會從特殊情形入手，具體化;二是把函數的解析式求錯，導致③也判斷錯誤;三是受平時思維定勢影響，以為平時類似的問題只有兩項是對的，本題也只有兩項正確，結果把對的改錯，其實此類問題什么情況都可能出現;四是填②的時候，后面還帶了一筆，分不清是②還是③，給評卷帶來疑問和困難;五是沒有思路，思維僵化，隨便填答案.

3. 啟示.

填空題不同于選擇題，選擇題的答案就在四個選擇支中，它只要說明其中的三個選擇支是錯誤的，就可以選出正確的，而填空題就不能這樣處理.填空題又有別于解答題，解答題需要推理、計算的過程，而填空題只要結果.因此，解填空題就必須在“正確”“合理”“迅速”上下功夫.所謂正確，就是不要解錯，不要填錯.由于結論是判斷解題是否正確的唯一標準，因此對正確性的要求從某種意義上來說更高、更嚴格，用筆誤等理由來解釋是很難得到原諒的.為保證答案的正確性，就要求必須認真審題，明確要求，弄清概念，明白算理，正確表達，才有可能達到比較完善的境界.比如，把不等式x<1的解集表示成-1

由于此類問題很具有探索性，所以在平時的學習過程中，要注意研究性學習和研究性復習，提高我們的研究能力，比如一題多解的研究，一理多用的研究，或者多題一解的研究，對問題進行一些變式拓展，等等.另外，適當做一些陌生題、新穎性對提高我們處理問題的能力也是有幫助的.

4. 練習題.

1. 設函數f(x)=logx，給出下列四個命題:①函數f(x)為偶函數;②若f (a)=f (b)其中a>0，b>0，a≠b，則ab-1;③函數f(-x2+2x)在(1，2)上為單調增函數;④若0

2. 已知函數f (x)=x2，(x∈[-2，2])，g(x)=a2sin(2x+)+3a，x∈[0，]，x1∈[-2，2]，總x0∈[0，]，使得g(x0)=f(x1)總成立，則實數a的取值范圍是 .

3. 已知函數f (x)=x-ax+ b(a，b∈R)，給出下列命題:

(1)當a=0時， f (x)的圖像關于點(0，b)成中心對稱;

(2)當x>a時，f (x)是遞增函數;

(3)當0≤x≤a時，f (x)的最大值為+b.

其中正確的序號是 .

4. 三位同學合作學習，對問題“已知不等式xy≤ax2+2y2對于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，求a的取值范圍”提出了各自的解題思路.

甲說:“可視x為變量，y為常量來分析”.

乙說:“尋找x與y的關系，再作分析”.

丙說:“把字母a單獨放在一邊，再作分析”.

參考上述思路，或自已的其它解法，可求出實數a的取值范圍是 .

5. 現定義命題演算的合式公式(wff)，規定為:

A. 單個命題本身是一個合式公式;

B. 如果A是合式公式，那么┐A是合式公式;

C. 如果A和B是合式公式，那么(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(AB)都是合式公式;

D. 當且僅當能夠有限次地運用A、B、C所得到的命題是合式公式.

說明:考生無需知道(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(AB)所表示的具體含義.

下列公式是合式公式的是: .

① ((P→Q)→(Q→P))

②(Q→R∧S)

③ (RS→T)

④(P(R→S))

⑤((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))

6. 定義:若平面點集A中的任一個點(x0，y0)，總存在正實數r，使得集合{(x，y)|

①{(x，y)|x2+y2=1}

②{(x，y)|x+y+2>0};

③{(x，y)|x+y≤6};

④ {(x，y)|0

其中是開集的是 .(請寫出所有符合條件的序號)

5. 練習題答案.

1.①②③④;2.(-∞，-4]∪[6，+∞);3.(1)(3);4. [-1，+∞) .

5. 解析:在①中，滿足A、B、C、D所有條件，但是由于其右邊括號的影響(多添加了一個括號)，造成其不是合式公式;②中沒有對(Q→R∧S)進行具體劃分，兩種命題運算符不知道哪個先，所以②不是合式公式;③中R與S之間缺少必要的命題運算符，所以該式不是合式公式;④⑤符合題目要求，是合式公式.

6. 解析:本題將大學拓撲學的基本概念引入高中，考查了考生分析和解決問題的能力.

下面畫圖進行判斷:對于①:

顯然不存在一個面集點集，該集合不符合題目要求.

對于②:

顯然存在面集面集，該集合符合題目要求.

對于③:

在邊界上的(x0，y0)，怎么取也難以得到符合題目要求的圓，所以該集合不符合.

對于④:

顯然存在面集面集，該集合符合題目要求.所以綜合上面的分析有答案為②④.

責任編校 徐國堅