利用中學數學思想,巧解數學高考壓軸題

轉化與化歸、數形結合和分類討論是中學數學中的三種重要思想. 在歷年高考數學命題中，均把這些思想融入到不同層次的試題中，達到區分不同層次考生數學能力的目的.下面讓我們以2010年廣東文科高考第20題為例，探究如何巧用轉化與化歸、數形結合和分類討論思想解決數學高考壓軸題.

高考試題:已知函數 f(x)對任意實數x均有 f(x)= kf(x+2)，其中常數k為負數，且 f(x)在區間[0，2]上有表達式 f(x)= x(x-2).

(1)求 f(-1)， f(2.5)的值;

(2)寫出 f(x)在[-3，3]上的表達式，并討論函數f(x)在[-3，3]的單調性;

(3)求出 f(x)在[-3，3]上的最小值與最大值，并求出相應的自變量的取值.

題目分析:此題以函數知識為載體，考查同學們對抽象函數、分段函數和二次函數圖像與性質的掌握情況.而題目給出的條件有:

①一條恒等式:x∈R，均有 f(x)= kf(x+2)，注意到k<0;

②一個表達式:x∈[0，2]時，有 f(x)= x(x-2)，注意到x∈[0，2].

一、轉化與化歸思想

第1問需求f(-1)， f(2.5)的值.觀察到-1和2.5均未落在區間[0，2]，不能直接代入已知表達式求解. 因此需要利用轉化與化歸思想，借助已知恒等式 f(x)= kf(x+2)，使得-1和2.5經過轉化與化歸，落在區間[0，2]上;

恒等式的正向化歸:

由 f(x)= kf(x+2)得，f(-1)=kf(-1+2)=kf(1)=k×1×(1-2)=-k;

因為f(2.5) =kf(2.5+2)=kf(4.5)，而(4.5)[0，2]，所以無法求出f(2.5)的值;

恒等式的逆向化歸:

由f(x)= kf(x+2)得，f(x-2)=kf(x)，所以f(x)=

f(x-2)，

所以 f(2.5)= f(2.5-2)=f(0.5)=×0.5×(0.5-2)=-.

第2問需寫出函數f(x)在[-3，3]上的表達式，這是此題能否順利解決的關鍵之處，亦是難點所在.

類比第1問的化歸思想，在區間[-3，3]中，區間[0，2]的表達式已給出，所以只需要借助恒等式 f(x)=kf(x+2)，使得區間[-3，0)和(2，3]經過化歸，轉化到區間[0，2]中.

由第1問可得，x∈R，均有 f(x)=kf(x+2)， f(x)=f(x-2).

首先考慮x∈(2，3]，因為x∈(2，3]，x-2∈(0，1][1，2]，所以 f(x)=f(x-2)=(x-2)[(x-2)-2]=(x-2)(x-4);然后考慮x∈[-3，0]，由于x∈[-3，0]，x+2∈[-1，2][0，2]，因此應對區間[-3，0)進行分拆.考慮到區間[0，2]與[-2，0]關于原點對稱，所以區間[-3，0)可分拆成[-2，0)和[-3，-2).因為x∈[-2，0)，x+2∈[0，2)[0，2]， 所以 f(x)=kf(x+2)=k(x+2)[(x+2)-2]=kx(x+2). 同理x∈[-3，-2)，x+4∈[1，2)[0，2]，所以 f(x)=kf(x+2)=k2f(x+4)=k2(x+4)[(x+4)-2]=k2(x+2)(x+4).

因此， f(x)在[-3，3]上的表達式為

f(x)k2(x+2)(x+4)，-3x≤x<-2kx(x+2)，-2≤x<0x(x-2)，0≤x<2. 2

小結:轉化與化歸思想是指將未解決的問題經過化歸，使之轉化為我們所熟悉的或已知的或已解決的問題，進而使所求問題得到解決的一種解題思想.如上所示，我們對已知恒等式進行轉化，使得自變量x的取值無論是-1、2.5還是區間[0，3]都能化歸到區間[0，2]中，進而求出對應的函數值或表達式.在此過程中，我們應根據x的不同取值，對恒等式進行正向化歸和逆向化歸，使之轉化成自變量均能落在區間[0，3]上，最終利用已知表達式，達到解決問題的目的.

二、數形結合思想

討論函數 f(x)在[-3，3]的單調性，考慮到常數k<0，每一個分段函數都是二次函數，且易知 f(x)在[-3，3]的圖像是連續的.因此可以利用二次函數的對稱軸和開口方向畫出函數 f(x)的草圖(如上圖所示)，得到其單調區間:函數 f(x)在區間[-3，3]和[1，3]單調遞增，在區間[-1，1]單調遞減.

小結:數形結合思想是指將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，抓住數與形的內在聯系，數上構形，形中覓數.我們在已熟練掌握二次函數的圖像與性質前提下，討論分段二次函數的單調性，完全可以借助分段二次函數的圖像直觀得到其單調區間，從而在避免利用導數等方法求單調區間容易出現運算失誤的同時，亦大大提高了解決問題的速度和準確度.另外，我們應特別注意，在畫分段二次函數圖像時，應注意到二次項系數k、k2和決定了拋物線的開口方向.

三、分類討論思想

根據函數f(x)在[-3，3]的單調性可得到，f(x)在x=-3或x=1處取得最小值 f(-3)=-k2或 f(1)=-1;同理f(x)在x=-1或x=3處取得最大值 f(-1)=-k或 f(3)=-.

問題轉化為:最小值究竟是-1還是-k2，最大值究竟是-k還是-?

考慮到參數k<0，所以應對k進行分類討論.

問題又轉化為:對k進行分類討論時，哪些數值作為k的分界值?

令-1=-k2，k<0，解得k=-1;令-k=-，k<0，解得k=-1.因此可得k的分界值為-1.

①當時k<-1，-k2<-1，-k>-，所以f(x)在x=-3處取得最小值 f(-3)=-k2，在x=-1處取得最大值f(-1)=-k;

②當k=-1時，-k2=-1，-k=-=1，所以在x=-3或x=1處取得最小值為-1，在x=-1或x=3處取得最大值為1;

③當-1-k，所以f(x)在x=1取得最小值 f(1)=-1，在x=3處取得最大值f(3)=-.

小結:分類討論思想是指根據數學對象本質屬性的共同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的一種思想方法.在分類討論中，我們應注意其三個特點:①確定分類的對象，及對什么進行分類;②選擇分類的標準，即按什么標準分類;③確定分類的結果，即分成哪幾類;在求解函數f(x)的最值中，我們首先根據函數f(x)在區間[-3，3]的圖像確定了分類對象是參數k，進而利用極值與端點函數值大小的比較確定了分類的標準;最后利用參數k的分界值-1確定分類的結果為三類.在利用分類討論思想解決數學問題時，我們只要理清其三個特點，便可以在分類討論中做到不重不漏.

責任編校徐國堅