兩道高考立體幾何題命題探源

2008年、2010年廣東高考文理科的立體幾何的題目都是源自課本的例題，下面我就和大家談談這兩道高考題是如何由課本例題改編而成的.

課本原型:人教A版《數學 必修2》2.3節《直線，平面垂直的判定及其性質》例題3 如圖，已知A，B是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點，求證:平面PAC⊥平面PBC.

高考真題 1:(2008年廣東高考文科)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內接四邊形，其中BD是圓的直徑，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP～△BAD.

(1)求線段PD的長;

(2)若PC=R，求三棱錐P-ABC的體積.

對比分析:課本例題的幾何模型是一個濃縮線面垂直關系的經典幾何體，該三棱錐有四個面是直角三角形，解決該題目首先是識別圖形，即觀察、分析幾何體中的線面位置關系，證明面面垂直，可以轉化為線線垂直，而高考題則以課本例題幾何體為載體，不但先要識別圖形的線面關系，而且要分析幾何體中的數量關系，將立體幾何和平面幾何綜合進行考查，重點考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力. 第(1)問利用相似三角形性質:對應邊成比例求得線段長度;第(2)問利用勾股定理逆定理可證得PD⊥CD，然后再證明PD⊥底面ABCD，從而找到三棱錐P-ABC的高，利用錐體體積公式求.

高考真題 2:(2010年廣東高考理科)如圖，是半徑a為的半圓，AC為直徑，點E為的中點，點B和點C為線段AD的三等分點，平面AEC外一點F滿足FB=FD=a，EF=a.

(1)證明:EB⊥FD;

(2)已知點Q，R為線段FE，FB上的點，FQ=FE，FR=FB，求平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值.

(1)證明: 連結CF，因為是半徑為a的半圓，AC為直徑，點E為的中點，所以EB⊥AC.在Rt△BCE中，EC===a.

在△BDF中，BF=DF=a，△BDF為等腰三角形，且點C是底邊BD的中點，故CF⊥BD.在△CEF中，CE2+CF2=(a)2+(2a)2=6a2=EF2，所以△CEF為Rt△，且CF⊥EC.

因為CF⊥BD，CF⊥EC，且CE∩BD=C，所以CF⊥平面BED，而EB平面BED，∴ CF⊥EB.

因為EB⊥AC，EB⊥CF，且AC∩CF=C，所以EB⊥平面BDF，而FD平面BDF，∴ EB⊥FD.

(2)設平面BED與平面RQD的交線為DG.由FQ=FE，FR=FB，知QR∥EB.

而EB平面BDE，∴ QR∥平面BDE，而平面BDE∩平面RQD=DG，∴ QR∥DG∥EB. 由(1)知，BE⊥平面BDF，∴ DG⊥平面BDF，而DR，DB平面BDF，∴ DG⊥DR，DG⊥DQ，∴∠RDB是平面BED與平面RQD所成二面角的平面角.在Rt△BCF中，CF===2a，sin∠RBD===，cos∠RBD==.在△BDR中，由FR=FB，知BR=FB=，由余弦定理得:

RD=

==a.

由正弦定理，得=，即=，sin∠RDB=，故平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值為.

對比分析:課本例題的幾何模型是由一個圓和三棱錐組成，而2010年高考題改為半圓和三棱錐組成，考查了平面幾何知識(四分之一圓周所對的圓心角為90°，勾股定理的逆定理).第(1)問要求證明EB⊥FD，可以先證明線面垂直(EB⊥平面BDF)，再證明線線垂直(EB⊥FD);第(2)問是求面BED與面RQD所成二面角的正弦值，但圖中并沒有畫出這個二面角的棱，因此解決問題的首要任務就是畫出面BED與面RQD的交線，如下圖過點D作BE的平行線GD即可得到二面角，當然還要證明，而第(2)問的背景來自下面一道課本復習參考題(人教A版選修2-1第二章復習參考題，曾經是2001全國理科高考題):如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=. 求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.

可見，高考題將課本例題和習題綜合設計.

實戰演練:

如圖AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點，PA⊥平面ABC，過點A分別作PC、PB的垂線AF、AE，F、E分別為垂足. PA=AC=2， sin∠CAB=.

(1)求證:PB⊥平面AFE;

(2)求二面角P-AF-E的大小.

命題意圖:本改編題以課本例題中的幾何模型為基礎，對情景的創設、條件的呈現方式、設問的角度進行改變，能綜合考查考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.

解題探究:(1)要證明PB⊥平面AFE，通過“線線垂直線面垂直”進行證明;(2)求二面角P-AF-E的大小，可以利用傳統幾何方法先利用定義證明得到二面角P-AF-E的平面角，再通過運算求解，也可以利用向量法，轉化為求兩個半平面的法向量，他們的夾角和所求的二面角P-AF-E平面角相等或互補.

解法1:(I)如圖PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴ BC⊥PA. 又 BC⊥AC，AC∩PA=A，∴ BC⊥平面PAC. 又AF平面PAC，∴ BC⊥AF ，又PC⊥AF，BC∩PC=C，∴ AF⊥平面PBC. 又PB平面PBC，∴ PB⊥AF. 又PB⊥AE，AE∩AF=A，∴ PB⊥平面AEF.

(II)以BC的平行線為x軸所在直線，建立如圖所示的空間直角坐標系，有A(0，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2).在直角三角形ACB中，由sin∠CAB=得cos∠CAB=，得tan∠CAB=. 由tan∠CAB=，BC=2. 可得B點坐標是(-2，2，0). 由(1)的證明知向量=(-2，2，-2)，=(-2，0，0)分別是平面PAF，平面AEF的法向量. cos〈，〉==，∴ 〈，〉=45°. 結合圖知二面角P-AF-E的大小是45°.

解法2:(I)同上.(II)∵ PB⊥平面AFE， AF平面AFE，∴ PB⊥AF，又∵ AF⊥PF，∴ AF⊥平面PBF. EF平面PBC，∴ AF⊥EF. 又 PF平面PAF，PE平面AFE，平面PAF∩平面AFE=AF，∴ ∠PFE即是所求二面角的平面角. 在直角三角形PBC中可求得PC=2，又BC=2，∴ ∠CPB=45°. 又知PB⊥EF，∴ ∠PFE=45°，∴ 二面角P-AF-E的大小是45°.

評析:本題綜合考查了圓的知識、線面位置關系、二面角等知識，要注意對于傳統幾何的熟練運用.近年來，廣東高考立體幾何題加強了對傳統幾何的考查，因為這能很好的考查考生的空間想象能力和邏輯推理能力、運算能力，而向量法只能考查運算能力.

責任編校徐國堅