回歸課本知識,駕馭線性規劃

2010年高考已經塵埃落定，今年的廣東數學試題最讓人感到意外的有兩點:一是試題容易入手，二是線性規劃考了大題.考生普遍感覺良好，鮮見去年那種叫苦連天的場面. 我們也改變了以往考后第一時間發布試題解答的習慣，我們走訪了很多老師和考生，聽取他們的看法.現結合自己的一些體會，就以這個線性規劃問題為例談談看法，與同學們一起分享數學，分享高考，望能對你有所啟發.

一、考題回放

2010年全國普通高考(廣東卷)數學第19題:某營養師要為某個兒童預定午餐和晚餐.已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物6個單位蛋白質和6個單位的維生素C;一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質和10個單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營養中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質和54個單位的維生素C.如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養要求，并且花費最少，應當為該兒童分別預定多少個單位的午餐和晚餐?

二、追根溯源

本題源于蘇教版必修5的兩個問題:

問題1(第67頁開篇問題(3))下表給出了X、Y、Z三種食物維生素含量及成本

某人欲將這三種食物混合成100 kg的食品，要使混合食品中至少含有35000單位的維生素A及40000單位的維生素B，設X、Y這兩種食物各取xkg、ykg，則x、y應滿足怎樣的關系?

問題2(第82頁例2) 某運輸公司向某地區運送物資，每天至少運送180t.該公司有8輛載重為6t的A型卡車與4輛載重為10t的B型卡車，有10名駕駛員，每輛卡車每天往返次數為A型車4次、B型車3次，每輛車每天往返的成本費為A型車320元、B型車504元.試為該公司設計調配車輛方案，使公司花費的成本最抵.

2010年廣東卷第19題用了問題1的建模思想及問題2的解題思想且難度略有降低，本題考查了線性規劃問題最重要的方面，以前經常考建立目標函數以及線性約束條件的純數學的問題，不同的是今年考查的是在實際問題中的應用.

三、準確定位

線性規劃同復數、向量、算法、統計、極坐標、參數方程以及理科的定積分、計數問題、二項式定理等都屬于邊緣知識，在高考中分數有近50分.線性規劃問題在高考中考大題廣東不是第一次，以前江蘇卷、山東卷、寧夏海南卷也都考過，一個完整的線性規劃問題歸納起來就是3步:一是根據條件建立目標函數和線性約束條件(可行域);二是畫出線性約束條件對應的可行域;三是結合圖形找出最優解及對應點的坐標.像今年這樣考大題且涉及到整點的出法很少見，但仍然是在大綱和考試說明框架內的創新，對此我們不必太在意.

四、延伸拓展

考題略解:設為該兒童分別預訂x，y個單位的午餐和晚餐，共花費z元，則z=2.5x+4y，且滿足以下條件12x+8y≥64，6x+6y≥42，6x+10y≥54，x，y≥0， 即3x+2y≥16，x+y≥7，3x+5y≥27，x，y≥0.

作直線l∶2.5x+4y=0，平移直線l至l0，當 l0經過C點時，z可達到最小值.

由3x+5y=27，x+y=7x=4，y=3.即C(4，3)，此時z=2.5×4+4×3=22.

答: 午餐和晚餐分別預定4個單位和3個單位，花費最少z=22元.

由于是常規問題，所以解法也常規.在復習的時候也應隨機應變，將這一問題延伸與拓展顯得很必要.首先要研究我省近幾年新課程高考自主命題的趨勢及考試說明，高考命題既吸取了近十年來的成功經驗，又重點研究了新課程的理念和方向，基本上是從近幾年的命題中平穩過渡.常規問題做好兩種，即目標函數中變量的系數同號和異號;其次可行域的變換，即線形約束條件拓展為一般的條件;第三種就是目標函數的變化，即線形目標函數變為一般的目標函數，下面舉例說明.

例1. 已知D是由不等式組x-2y≥0，x+3y≥0，所確定的平面區域，則圓x2+y2=4在區域D內的弧長為()

A. B.C.D.

答案:B.

解析:解析如圖示，圖中陰影部分所在圓心角所對弧長即為所求，易知圖中兩直線的斜率分別是，-，所以圓心角即為兩直線的所成夾角，所以tan==1，所以=，而圓的半徑是2，所以弧長是，故選B.

例2.設x，y滿足約束條件3x-y-6≤0，x-y+2≥0，x≥0，y≥0，若目標函數z=ax+by(a>0，b>0)的最大值為12，則+的最小值為()

A.

B.

C.

D. 4

答案: A.

解析:不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分，當直線ax+by= z(a>0，b>0)過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(4，6)時，目標函數z=ax+by(a>0，b>0)取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6， 而+=(+)=+(+)≥+2=，故選A.

本題綜合地考查了線性規劃問題和由基本不等式求函數的最值問題.要求能準確地畫出不等式表示的平面區域，并且能夠求得目標函數的最值，對于形如已知2a+3b=6，求+的最小值常用乘積進而用基本不等式解答.

例3.某企業生產甲、乙兩種產品，已知生產每噸甲產品要用A原料3噸，B原料2噸;生產每噸乙產品要用A原料1噸，B原料3噸，銷售每噸甲產品可獲得利潤5萬元，每噸乙產品可獲得利潤3萬元。該企業在一個生產周期內消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸.那么該企業可獲得最大利潤是()

A. 12萬元B. 20萬元

C. 25萬元D. 27萬元

答案:D.

解析:設生產甲產品x噸，生產乙產品y噸，則有關系:

則有:x>0，y>0，3x+y≤13，2x+3y≤18，目標函數z=5x+3y. 作出可行域后求出可行域邊界上各端點的坐標，經驗證知:當x=3，y=5時可獲得最大利潤為27萬元，故選D.

五、兩點提醒

5.1明晰考綱.

《考試說明》對考什么、考多難、怎樣考這三個問題有具體規定和解讀，我們通過以上幾個例題對線性規劃問題的幾種拓展做了簡要的剖析.復習時注意線性規劃各部分知識在各自發展過程中的縱向聯系以及它們之間的橫向聯系，理清脈絡，抓住知識主干，構建知識網絡.特別是在第一輪復習中要充分重視主干知識的支撐作用，關注高中數學課程改革的進程，吸收新課程中的新思想、新理念.因此，我們要把好方向，就必須吃透大綱與《考試說明》，才能少做無用功.

5.2把握通法.

教育部考試中心負責人曾多次強調，近幾年高考數學試題堅持新題不難、難題不怪的命題方向，要“注意通性通法，淡化特殊技巧” .對線性規劃問題的復習我的觀點歸納起來還是那三步:一是目標函數和線性約束條件的建立;二是畫出可行域;三是找出最優解及對應點的坐標.有人說“科學就是一層窗戶紙，一捅就破”.有的線性規劃問題看起來在課本中沒有出現過或根本就不是線性規劃問題，但它可能屬于“一捅就破”的情況，用的是線性規劃問題的基本思想. “注意通性通法，淡化特殊技巧”，就是說高考最重視的是具有普遍意義的方法和相關的知識.我們主張多回歸課本，吃透課本上的例題、習題，才能全面、系統地掌握基礎知識和基本方法，構建數學的知識網絡，以不變應萬變.

責任編校徐國堅