反證法在線性代數解題中的應用舉例

2010-12-31 00:00:00廖金萍

考試周刊 2010年47期

數學證明方法可分為直接證法和間接證法。從原命題所給的條件出發，根據已有的公理、定義、法則、公式，通過一系列的推理，一直推導到所要證明的命題的結論，這種證法叫做直接證法。有些命題不易用直接證法去證明，這時可通過證明它的等價命題真，從而斷定原命題真，這種證法叫做間接證法。反證法是數學中常用的間接證法之一。

一、反證法

既然反證法是間接證法，那么反證法也是通過證明原命題的等價命題從而證明原命題的。反證法是指:“證明某個命題時，先假設它的結論的否定成立，然后從這個假設出發，根據命題的條件和已知的真命題，經過推理，得出與已知事實(條件、公理、定義、定理、法則、公式等)相矛盾的結果。這樣，就證明了結論的否定不成立，從而間接地肯定了原命題的結論成立。”這種證明的方法，叫做反證法。運用反證法證題一般分為以下三個步驟。

1.假設命題的結論不成立;

2.從這個結論出發，經過推理論證，得出矛盾;

3.由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確。

即:提出假設—推出矛盾—肯定結論。

反證法在線性代數解題中的應用非常廣泛，但什么時候應該使用反證法，證明哪些命題適宜使用反證法，都沒有一定的規律可循。原則上說，應該因題而異、以簡為宜。首先從正面考慮，當不易證明時，再從反面考慮。當由假定原命題結論的否定成立去推出矛盾比證明原命題更容易時，就應該使用反證法。

二、反證法在解線性代數題時的應用

1.對于結論是否定形式的命題，宜用反證法。

由于定義、定理等一般是以肯定的形式出現，因此用它們直接證明否定形式的命題可能會有困難。但否定的反面是肯定，因而從結論的反面入手，即用反證法來證會比較方便。

例1.設矩陣A的特征值λ≠λ，對應的特征向量分別為α、α，證明:α-α不是A的特征向量。

證明:假設α-α是矩陣A的特征向量，則存在數λ，使A(α-α)=λ(α-α)=λα-λα。又由題設條件可知Aα=λα、Aα=λα，于是A(α-α)=Aα-Aα=λα-λα，則有λα-λα=λα-λα，即(λ-λ)α+(λ-λ)α=0。因α、α是屬于不同特征值的特征向量，故α、α線性無關，則λ-λ=λ-λ=0，也即有λ=λ。與題設λ≠λ矛盾，所以α-α不是A的特征向量。

2.對于證明結論是“肯定”或“必然”的命題，宜用反證法。

即命題結論中出現“等于什么”、“必然是什么”、“一定是什么”等形式，而且從反面較易入手解題時，可考慮使用反證法。

例2.若λ不是A的一個特征值，則矩陣λE-A一定是可逆矩陣。

證明:用反證法，即設矩陣λE-A不可逆，則行列式|λE-A|=0，說明λ是特征方程|λE-A|=0的根，也即說明λ是A的一個特征值，與已知矛盾。所以矩陣λE-A一定是可逆矩陣。

例3.設β可由α，α，…，α線性表出，但不能由α，α，…，α線性表出，證明α一定可由β，α，α，…，α線性表出。

證明:用反證法，由題設可知，存在一組常數k，k，…，k，使得β=k，α+kα+…+kα。假設k=0，則存在一組常數k，k，…，k，使得β=kα+kα+…+kα成立，所以β可由α，α，…，α線性表出，這與題設矛盾，即k≠0;所以α=β+(-)α+(-)α+…+(-)α，即α一定可由β，α，α，…，α線性表出。

3.對于證明結論是“惟一”或“必然”的命題，宜用反證法。

即命題結論要求證明某元素是“惟一”或某種表示方式是“惟一”的，而直接去找某個元素或某種表示方式比較困難時，則可考慮從其反面入手。

例4.設向量β可由向量組α，α，…，α線性表出，證明:表示式惟一的充分必要條件是向量組α，α，…，α線性無關。

證明:由題設，存在常數k，k，…，k，使得kα+kα+…+kα=β(1)。

證明充分性:設向量組α，α，…，α線生無關，來證β由α，α，…，α的線性性表示式惟一。

假設β由α，α，…，α的線性表示式不惟一，設還有線性表示式為lα+lα+…+lα=β(2)。則k≠l(i=1，2，…，m)，則(1)式與(2)式相減得:

(k-l)α+(k-l)α+…+(k-l)α=0。

由于α，α，…，α線性無關，故得k-l=0，即k=l(i=1，2，m)。這與k≠l(i=1，2，…，m)矛盾，即β由α，α，…，α線性表示式是惟一的。

證明必要性:設線性表示式(1)惟一，來證α，α，…，α線性無關。

假設α，α，…，α線性相關，則存在一組不全為0的數λ，λ，…λ，使得λα+λα+…+λα=0(3)。則(1)式與(3)式相加得:(k+λ)α+(k+λ)α+…+(k+λ)α=β。因為λ，λ，…，λ不全為0，從而存在β的兩種不同表示方法，這與β由α，α，…，α的線性表示式惟一矛盾，因此向量組α，α，…，α線性無關。

4.對于證明結論是“至少什么”或“至多什么”的命題，宜用反證法。

例5.試證:向量組α，α，…，α(其中α≠0，s≥2)線性相關的充分必要條件是至少有一個向量α(1≠i≤s)可以被α，α，…，α線性表出。

證明充分性:設有向量α可以由α，α，…，α線性表出，則α，α，…，α線性相關。由于α，α，…，α是α，α，…，α的一個部分組，所以α，α，…，α線性相關。

證明必要性:用反證法，假設每個α(1≠i≤s)都不能由α，α，…，α線性表出。我們接下來來證明α，α，…，α線性無關，設有一組數k，k，…，k，使得kα+kα+…+kα=0(1)，

則必有k=0，否則k≠0時，α可由α，α，…，α線性表出，與假設不符。這樣(1)式成為kα+kα+…+kα=0。同理可推出k=0，…，k=0，因此(1)式成為kα=0。

又已知α≠0，故得k=0。所以向量組α，α，…，α線性無關，與必要性的題設矛盾，假設不成立。即至少有一個向量α可以由α，α，…，α線性表出。

5.對于某些逆命題的正確性，可用反證法。

當原命題與其逆命題都成立時，其逆命題的正確性可用反證法來證明。

例6.設A是n階實對稱矩陣。試證:r(A)=n的充分必要條件是存在矩陣B，使AB+BA是正定矩陣。

證明必要性:由r(A)=n知A是可逆矩陣，取B=A，則有AB+BA=AA+(A)A=AA+(A)A=2E為正定矩陣。

證明充分性:用反證法，假設r(A)≠n，則n元齊次線性方程組AX=0有非零解，即有X≠0，使AX=0，也就有XA=0。由(AB+BA)=BA+AB=AB+BA，說明AB+BA是實對稱矩陣。

上述X≠0時，f=X(AB+BA)X=0，與AB+BA是正定矩陣矛盾，所以r(A)=n。