專升本考試中常見極限類型與計算方法的分析

摘 要: 高等數(shù)學是全國專升本入學統(tǒng)考科目，極限計算是其中的要求，本文通過實例對常見極限類型與計算方法進行分析。

關鍵詞: 專升本考試 高等教學 極限類型 計算方法

高等數(shù)學是全國專升本入學統(tǒng)考科目之一， 極限計算是其中的要求。近年考試中，常見的極限計算類型有 “f(x)=f(x)”型、“”型、“”型、“1”型和“有界函數(shù)×無窮小”型等，各類型極限均有一般的解題思路與計算方法。因此，在計算極限題時，我要求學生先判別極限的類型，然后按各類型極限的解題方法進行計算。我通過實例對專升本考試中常見極限類型與計算方法進行了一些分析。

一、“f(x)=f(x)”型極限及其解法

對極限f(x)，若函數(shù)f(x)是初等函數(shù)并且在點x處有定義，則有f(x)=f(x)，此時稱極限為“f(x)=f(x)”型。此類極限通過f(x)是否有意義進行判定和求解，是十分常見的極限類型。因此，凡是計算初等函數(shù)f(x)在某一點x處的極限，即計算f(x)時，均需先判定f(x)是否有意義。

例1:求極限。(2009年填空題)

分析:設f(x)=，因為f(1)==0，所以極限為“f(x)=f(x)”型。

解:=f(1)=0。

例2:求極限e。(2008年選擇題)

分析:設f(x)=e，因為f(0)=e=1，所以極限為“f(x)=f(x)”型。

解:e=f(0)=e=1。

二、“”型極限及其解法

對極限，若自變量x→△(△表示x或∞)時，分子f(x)→0、分母g(x)→0，則形象地稱極限為“”型。例如極限，當自變量x→0時，分子f(x)=e-e→0、分母g(x)=x→0，所以極限是“”型極限。

“”型極限的解法有如下三種情形:

情形1:中不含有三角函數(shù)，且f(x)與g(x)是同類型函數(shù)時，常可通過分解因式(或有理化)后，消去分子分母中“趨向于0”的公因式，化為“f(x)=f(x)”型極限求解。

情形2:中含三角函數(shù)時，常可用重要極限=1求解。

情形3:f(x)與g(x)是不同類型函數(shù)且可導時，?？捎昧_必達法則求解，即lim=lim。

例3:求極限。(2007年解答題)

分析:當自變量x→0時，分子f(x)=-1→0、分母g(x)=x→0，極限為“”型且符合情形1，可用“消去法”求解。

解:====0。

例4:求極限。(2009年解答題)

分析:極限為“”型極限，f(x)與g(x)是不同類型函數(shù)且可導，符合“”型極限中的情形3，用羅必達法則求解。

解:===(e+e)=2。

例5:求極限。(2007年選擇題)

分析:當自變量x→0時，分子f(x)=sinx→0、分母g(x)=x→0，極限為“”型且含有三角函數(shù)，符合“”型極限中的情形2。

解:=·sinx=·sinx=1×sin0=0。

例6:已知f′(x)=1，求。(2006年選擇題)

分析:當自變量h→0時，分子f(x+2h)-f(x)→0、分母h→0，極限為“”型，符合情形3，可用羅必達法則求解。

解:===2f′(x)=2。

三、“”型極限及其解法

對極限，若自變量x→∞時，分子f(x)→∞、分母g(x)→∞，則稱極限為“”型。例如極限，當自變量x→∞時，分子f(x)=2x+x-1→∞、分母g(x)=4x-x+3→∞，所以極限為“”型?！啊毙蜆O限常用的解法是分子分母同時除以它們中“最大的變量”。

例7:求極限。(2003年解答題)

分析:因為自變量x→∞時，分子f(x)=x+2→∞、分母g(x)=3x-4sinx→∞，極限是“”型，需分子分母同除以它們中“最大的變量x”。

解:==。

例8:求極限。(2004年解答題)

分析:極限是“”型，需分子分母同除以它們中“最大的變量x”。

解:==。

四、“1”型極限及其解法

對極限lim(1+)，若在給定自變量的變化趨勢下，(1+)，即底數(shù)部分(1+)→∞、指數(shù)部分W→∞，則極限俗稱為“1”型。如極限(1-)中，當自變量x→∞時，底數(shù)部分(1-)→1、指數(shù)部分x→∞，因此極限是“1”型?！?”型極限(1+)=e需用重要極限求解，通常可分為兩個步驟:

第一步:通過變形或代換的方式，將所給極限化成(1+)形式;

第二步:根據重要極限(1+)=e，可求得(1+)=e。

例9:求極限(1+x)。(2009年填空題)

分析:因為自變量x→0時，底數(shù)部分1+x→1、指數(shù)部分-→ ∞ ，所以極限為“1”型。

解:(1+x)=(1+)[(1+)]=e。(其中:作代換t=)

例10:求極限(1-)。(2005年填空題)

解:(1-)=[(1+)]=e。

五、“有界函數(shù)×無窮小”型極限及其解法

對極限f(x)g(x)=0(△表示x或∞)，若f(x) =0且|g(x)|≤M，則稱極限為“有界函數(shù)×無窮小”型，其解為:f(x)g(x)=0。

例10:求極限。(2009年選擇題)

分析:因為=·sin2x，而=0，且|sin2x|≤1，極限為“有界函數(shù)×無窮小”型。

解:=·sin2x=0。

從以上分析可以看到，近年專升本考試中常見的極限類型有“f(x)=f(x)”型、“”型、“”型、“1”型和“有界函數(shù)×無窮小”型等。解答題中以“”型極限較為多見，須注意羅必達法則的應用。選擇和填空題中，重點關注兩個重要極限=1與(1+)=e的應用。在計算極限題時，一定要先通過觀察法判定極限的類型，然后按照各類型極限的解題方法進行計算。