數(shù)學有效命題的幾種方法

摘 要: 數(shù)學教師怎樣編制教學一體案、導學稿才能把握既定的教學目的，怎樣在題海中“去粗取精、去偽存真”，從而更有效地達成教學目標，本文從命題的過程方法、有效途徑等方面作了有益的探索。

關鍵詞: 數(shù)學教學 有效命題 方法

隨著課程改革的不斷深入，不少學校都依據(jù)自己學校的特色編制了“教學一體案”、“導學稿”、“課堂活動方案”等多種形式的教學案。但在使用過程中不少教師教學中發(fā)現(xiàn)有些習題并不能實現(xiàn)既定的教學目的，因此編制有效的數(shù)學命題，對于每一個數(shù)學教師，特別是畢業(yè)班的數(shù)學教師尤為重要。下面我根據(jù)在平時教學中作的幾點嘗試，談談有效命題的幾種方法。

一、注重變式，深化對知識本質(zhì)的理解

知識的遷移能力或者說運用知識的能力與對知識本質(zhì)理解的深度密切相關，教師應加強對已有題目的變式，尤其是課本的例、習題，有意識地把知識的本質(zhì)融入到靈活多樣的情境之中，從而較好地誘發(fā)認知沖突，誘導學生在螺旋式的反復訓練中“去粗取精、去偽存真”，對知識本質(zhì)進行正確而富有個性地理解和把握。

例如，對于“方程的解”這個概念，在常規(guī)題型的基礎上，不妨進行如下變式:

(1)請你寫出一個解為2的一元一次方程: 。

(2)請你寫出一個解大于3且小于4的一元二次方程:。(變封閉性問題為開放性問題)

(3)當m=時，關于x的一元二次方程x+x+m=0的一個解為-5。(變順向思維為逆向思維)

(4)如果關于y的方程ky-2y+3=0有實數(shù)根，求k的取值范圍。(變粗放型問題為分類討論問題)

(5)下列各點中，在y=x+1的函數(shù)圖像上的是()。(變純代數(shù)問題為數(shù)形結(jié)合問題)

A.(0，2)B.(1，3)C.(-1，0)D.(-2，3)

(6)若實數(shù)a、b分別滿足條件a-3a+1=0，b-3b+1=0，試求代數(shù)式+的值。(變直接條件為隱含條件問題)

教師在平時教學中加強變式訓練，不僅有利于引領學生追求對知識本質(zhì)的深刻理解，而且有利于培養(yǎng)學生思維的深刻性、批評性、創(chuàng)造性，培養(yǎng)學生處變不驚的心理素質(zhì)。

二、返璞歸真，注重數(shù)學思想方法立意

數(shù)學思想方法是從數(shù)學內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學學科的精髓，是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括，它源于數(shù)學發(fā)展本身，發(fā)展于數(shù)學應用實踐之中，是將數(shù)學知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學能力的橋梁。所謂數(shù)學思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系反映到人的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對數(shù)學事實與數(shù)學理論的本質(zhì)認識。所謂數(shù)學方法，是指人們在某一數(shù)學活動中，為了達到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式。它具有過程性、層次性和可操作性等特點。初中數(shù)學所涉及的數(shù)學思想大致可歸納為以下十種:化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、整體思想、類比思想、逆向思維思想、方程思想、函數(shù)思想、統(tǒng)計思想、特殊化思想;數(shù)學方法大致可歸納為以下六種:數(shù)形結(jié)合法、分類討論法、配方法、換元法、待定系數(shù)法、等量代換法。因此，在命題過程中教師應對教材深鉆細研，深入挖掘知識體系中所蘊含的思想方法，編選習題時要返璞歸真，凸顯思想方法。

例如，(1)如圖1，⊙O是半徑為1的單位圓，P為⊙O上一點且∠xOP=150°，那么點P的坐標是 (融合平面直角坐標系和解直角三角形知識，滲透數(shù)形結(jié)合思想方法);

(2)點P(a，b)在第二象限，則直線y=ax+b不經(jīng)過第 象限(融合平面直角坐標系和一次函數(shù)的圖像知識，滲透數(shù)形結(jié)合法和特殊化思想方法);

(3)已知二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖像如圖2，那么下列判斷中錯誤的是()。

A.a<0B.b<0C.c<0D.>0

(以二次函數(shù)的圖像知識為載體，滲透數(shù)形結(jié)合思想方法和待定系數(shù)法)

(4)反比例函數(shù)y=的圖像上一點A是直線y=x和y=-x+4的交點，求k的值(融合反比例和一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，滲透數(shù)形結(jié)合思想方法和待定系數(shù)法)。

三、重視“過程方法”立意

新一輪數(shù)學課改把“過程”與方法作為一條重要的理念，新課標把“過程與方法”列為“三維目標”之一，近年來中考試題中運用“過程與方法”立意的試題已屢見不鮮，且備受專家學者們的關注和肯定。下面是一道“平行四邊形、矩形、菱形、正方形”的知識為載體的試題。

根據(jù)課本習題知:過平行四邊形紙片的一個頂點，作一條線段，沿這條線段剪下這個三角形紙片，將它平移到右邊的位置，平移距離等于平行四邊形的底邊長a，可得到一個矩形(如圖3)。

(1)在圖4的紙片中，按上述方法，你能使得所得的四邊形是菱形嗎?如果能，畫出這條線段及平移后的三角形(用陰影部分表示);如果不能，請說明理由。

(2)什么樣的平行四邊形紙片按上述方法能得到正方形?畫出這個平行四邊形，并說明理由。

對本題的幾點思考:

(1)本題以動態(tài)方式出現(xiàn)，呈現(xiàn)方式新穎，圖形簡潔優(yōu)美，從操作的角度入手，把平行四邊形通過簡單的變換自然地過度到矩形，培養(yǎng)學生從運動的觀點去思考圖形的基本性質(zhì)，符合課標強化過程性評價的要求。

(2)本題作為“矩形、正方形”這一節(jié)課內(nèi)容的輔助習題，較好地體現(xiàn)了學生對平行四邊形、矩形的核心知識掌握情況的考查。

(3)本題以平行四邊形為母本，垂線段為基點，巧妙地構(gòu)造出直角三角形，以陰影形式表示平移前后的位置關系，更直觀，更易理解。

(4)結(jié)合階段性期末檢測的要求，本題給我們留下了豐富的想象空間:

①垂線段能否一般化(即能否是過頂點的任一條線段)?

②平移后的四邊形能否是菱形?如果能，應滿足什么樣的條件?

③平移后的四邊形能否是正方形?如果能，應滿足什么樣的條件?

④能否通過本題的改編對本章的幾種特殊四邊形作綜合考查呢?

⑤能否通過本題的改編對學生在數(shù)學探索中的過程性目標作較好的考查呢?

解答:①如圖5，作AE=AD=a，將△ABE平移至△DCF的位置，則四邊形AEFD是菱形。

②當平行四邊形的一邊長等于這邊上的高時，如圖6中的a=h，則按上述方法得到的四邊形是正方形。

說理如下:作高AE，由條件知AE=AD=a，按上述方法，將△ABE平移至△DCF的位置，得四邊形AEFD是矩形，又因為AE=AD，所以四邊形AEFD是正方形。

“數(shù)學活動過程”考查的主要方面包括:數(shù)學活動過程中所表現(xiàn)出來的思維方式、思維水平，對活動對象、相關知識與方法理解的深度;進行探究與交流的意識、能力和信心等;能否通過觀察、實驗、歸納、類比等活動獲得數(shù)學猜想，并證明猜想的合理性;能否使用恰當?shù)臄?shù)學語言有條理地表達自己的數(shù)學思考過程。

本題的解答需要學生經(jīng)歷觀察、思考、操作、歸納、類比等思維活動，問題②是對題干中的垂線段一般化和平行四邊形的特殊化，其求解過程依賴學生對問題的分析與提煉過程，對課標提倡的“過程方法性目標”考查到位，是考查“過程方法”的一道好題。

四、深研課本，就地取材

“源與教材，高于教材”是多年來備受命題者推崇的命題理念，我們在命題時不宜舍本逐末、舍近求遠，而應就地取材，注重應用新課程理念，對課本例、習題進行“再創(chuàng)造”，推陳出新。下面先以蘇科版《數(shù)學》八年級(下)P109習題10.5中的第5題為例進行說明。

題目:如圖1，在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的頂點P、N分別在AB、AC上，QM在邊BC上。若BC=a，AD=h，且PN=2PQ，求矩形PQMN的長和寬(用含a、h的代數(shù)式表示)。

解析:本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，由矩形的對邊平行可得PN∥BC，從而有△APN∽△ABC，再用“相似三角形對應高的比等于相似比”，即AE∶AD=PN∶BC，設MN=DE=x，則PN=2x，由此得(h-x)∶h=2x∶a，解得x=。故該矩形長為，寬為。

評析:本題由“矩形對邊平行”聯(lián)想到相似的“預備定理”，再利用“相似三角形對應高的比等于相似比”這一性質(zhì)達到目的。

下面是幾種對例題進行“再創(chuàng)造”的方法。

1.在原題的條件下，挖掘所求的結(jié)論。

在題目條件不變的情況下，可設置多個問題。

例1:如上圖1，一塊鐵皮呈銳角三角形，它的邊BC=80cm，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的長、寬之比為2∶1，并且矩形長的一邊位于BC上，另兩個頂點分別在邊AB、AC上。求:(1)這個矩形的周長;(2)這個矩形的面積;(3)△APN的面積。

解析:這兩個問題只是改變問法，其解題思路、方法與原題完全一致。

2.在改變原題的條件下，充分挖掘所求結(jié)論。

由于原題中△ABC的形狀不確定，不妨把△ABC設為直角三角形，令∠BAC=90°，于是有:

例2:如圖2，一塊鐵皮呈直角三角形，∠BAC=90°，要把它加工成矩形零件，使矩形長的一邊位于BC上，另兩個頂點分別在邊AB、AC上。試問:PQ、BQ、CM之間有何關系?為什么?

解析:由∠B與∠1互余，∠B與∠C互余，可知∠1=∠C，又有∠PQB=∠CMN=90°，所以△PBQ∽△CNM，則有PQ∶CM=BQ∶MN，而PQ=MN，故PQ=BQ·CM。

若將原題中的“PN=2PQ”去掉，于是有:

例3:如圖3，一塊鐵皮呈銳角三角形，它的邊BC=80cm，高AD=60cm，要把它加工成矩形零件，矩形的一邊位于BC上，另兩個頂點分別在邊AB、AC上。求這個矩形面積的最大值。

解析:由題可知△APN∽△ABC，得AE∶AD=PN∶BC，設MN=DE=x，則PN=y，則有(60-x)∶60=y∶80，所以，y=，S=xy==(x-60x+900-900)=-(x-30)+1200。

由此可得，當寬x=30時，矩形面積的最大值為1200cm。

若從內(nèi)接矩形和原三角形面積之間的關系考慮，不妨設△APN的面積與矩形PQMN面積相等，于是有:

例4:如圖4，△ABC中，點P、N分別在AB、AC上，Q、M在BC上，四邊形PQMN是矩形，若△APN的面積與矩形PQMN面積相等，求PN∶BC的值。

解析:由△APN的面積與矩形PQMN面積相等，得PN·AE=PN·MN。而MN=DE，則有AE∶DE=2∶1，所以AE∶AD=2∶3，再由△APN∽△ABC得AE∶AD=PN∶BC，故PN∶BC=2∶3。

若將例4所求結(jié)論與條件調(diào)換，于是有:

例5:如圖4，△ABC中，點P、N分別在AB、AC上，Q、M在BC上，四邊形PQMN是矩形，若PN∶BC=2∶3，求△APN的面積與矩形PQMN面積的比值。

解析:由題可知△APN∽△ABC，得AE∶AD=PN∶BC=2∶3，可得AE∶DE=2∶1。

由MN=DE，所以===1。

評注:例4與例5兩題培養(yǎng)了學生的逆向思維能力。

3.在原題的基礎上，適當改變條件和結(jié)論，將題型設置為探究性問題。

例6:如圖5，一塊鐵皮呈銳角三角形，它的邊BC=12cm，高AD=8cm，要把它加工成矩形零件，矩形的一邊在BC上，另兩個頂點分別在邊AB、AC上。

(1)試問:這個三角形能否加工成一個周長為20cm的矩形零件?理由是什么?

(2)在(1)的結(jié)論下，能否用余下的材料再拼成一個與原矩形大小一樣的矩形?若能，試給出一種拼法;若不能，說明理由。

解析:(1)由△APN∽△ABC得AE∶AD=PN∶BC，設PQ=ED=x，則PN=10-x，(8-x)∶8=(10-x)∶12，解得x=4，所以PQ=4cm，PN=6cm，故此矩形周長為20cm，即這個三角形能加工成所需要的零件;

(2)因為S-2S=×12×8-2×6×4=0，所以恰好能拼成一個與原矩形大小一樣的矩形。拼法如圖6所示。由題意知PN是△ABC的中位線，過點A作BC的平行線，交QP、MN的延長線與G、H，將△PBQ、△MCN剪下拼接到△PAG、△NAH的位置即可。

評注:將原題型設置為探究性問題，提高了題目的難度，學生要學會用類比、聯(lián)想的方法來解決問題，培養(yǎng)了學生的分析能力、動手能力和探究能力。

例7:如圖7，一塊鐵皮呈銳角三角形，它的邊BC=12cm，高AD=8cm，要把它加工成矩形零件，矩形的一邊在BC上，另兩個頂點分別在邊AB、AC上。

(1)試問:這個三角形能否加工成一個面積為24cm的矩形零件?能否加工成一個面積為32cm的矩形零件?理由是什么?

(2)從(1)的結(jié)論中，試猜想這個三角形內(nèi)接矩形的面積與原三角形面積有何關系?不需要說明理由。

解析:(1)設MN=ED=x，PN=y，由題可知△APN∽△ABC，得AE∶AD=PN∶BC，即(8-x)∶8=y∶12，由此可得y=(8-x)，所以S=xy=x(8-x)=-(x-4)+24，當x=4時，y=24，由此可知，這個三角形可以加工成面積為24cm的矩形，但不能加工成一個面積為32cm的矩形;

(2)猜想:內(nèi)接的矩形面積不能超過原三角形面積的一半。

評注:學生通過對第(1)問的探究，猜想第(2)問，這個過程培養(yǎng)了學生的觀察、比較、推理、歸納、概括等方面的能力。

下面我們再來看一題。

原題:如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分線CF與F，求證:AE=EF。

變式一:可以將題中的“點E是邊BC的中點”，改為“E是為線段BC(直線BC)上任意一點”，其他條件不變(如圖2，以點E在線段BC上為例，在直線BC上時仿照證明即可)。求證:AE=EF。

方法1:如圖2，過點F作FH⊥BC交BC延長線于點G，構(gòu)造全等三角形來證明。但AB=EH的由來需要通過計算獲得，復習了相似、三角函數(shù)的知識以及方程的思想。

方法2:如圖3，在線段AB上取一點M，使得BM=BE，連結(jié)EM，仍然構(gòu)造全等三角形，在AB上截取一條線段，使得BM=BE，方法巧妙，證明過程也較為簡單。

方法3:如圖4，連AC，過E作EH⊥AC，垂足為H;過E作EN⊥CF交FC的延長線于N，構(gòu)造兩個直角三角形全等。復習了角平分線的性質(zhì)，拓展了解題思路。

方法4:如圖5，連AF、AC，借助了圓的性質(zhì)，利用了“同弧所對圓周角相等”完成了角的轉(zhuǎn)化，得到證明，可以說解法既漂亮又完美。

變式二:如圖6，已知菱形ABCD中，∠BAD=120°，動點P在直線BC上移動，作∠APQ=60°，且直線PQ與直線CD相交于點Q，Q點到直線BC的距離為QH。

(1)如圖6，若P點在線段BC上移動，求證:AP=PQ;

(2)如圖6，若P點在線段BC上移動，求證:CP=DQ;

(3)若P點在直線BC上移動，探求線段AC、CP、CH之間的一個數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論。

分析:(1)而對于證明PA=PQ的方法，可以用上述證法中的任何一種。先選其中一種證明如下，如圖7，過點P作PE⊥AC，垂足為E，過點P作PF⊥DC，交DC的延長線于F。容易證明PE=PF，然后證明Rt△PEA≌Rt△PFQ，即得PA=PQ。

分析:(2)中要證明CP=DQ，可以構(gòu)造全等三角形來證明，即證明△APC≌△AQD，因為由(1)可知PA=PQ，而∠APQ=60°，所以△APQ為等邊三角形，又因為△ACD也是等邊三角形，因此△APC≌△AQD。

分析:(3)由CH在Rt△CHQ中可以得出CQ=2CH，又BP=CQ，從而猜想AC=2CH+PC(此時P在線段BC上)，當P在BC的延長線時，結(jié)論是AC=2CH-PC，當P在CB的延長線時，結(jié)論是AC=PC-2CH。(證明略)

本題大刀闊斧地改變了典型題目的條件，在新的情景下使用了典型題目的多種證法，可以說是對題目的一種變式。從某種角度上說明了掌握解題方法的重要性。其實題目可以有問題:(4)若P點在直線BC上移動，菱形ABCD的邊長為2，AQ=，求QH的長。(解題過程略，答案:。)

變式三:如圖8，在平行四邊形ABCD中，AB=12，∠B=45°，BC=24，點E在線段BC上移動(點E可以和點B重合，不與點C重合)，過點E作EF⊥AE交CD直線于F。

(1)連AF，判斷△AEF的形狀，并說明理由。

(2)當EB=x時，△ECF的面積為y，寫出y與x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍。

分析:(1)容易猜想△AEF是等腰直角三角形，如何證明AE=FE呢?根據(jù)題目條件，連AC，可以得到△ABC、△ACD都是等腰直角三角形，分別取BC的中點G，AD的中點H，連AG、CH，可以證明四邊形AGCH是正方形，使此題現(xiàn)出了“原形”，可以利用典型題目的證法來證明AE=EF了。對問題(2)要注意分類討論。大家可以試試求得結(jié)論。

總之，一題多解，一題多變，萬變不離其宗，平凡中蘊涵著精彩，對教材中典型習題的改造也是一種創(chuàng)新。可見，教師合理利用教材資源，引導學生多觀察、多思考、多猜想，久而久之可以使學生的探索解題能力有質(zhì)的飛躍。

五、博采眾長、把握方向

全國影響力較大的數(shù)學教學期刊在一些欄目中會經(jīng)常刊發(fā)一些參與命題的總結(jié)與反思，或?qū)χ锌荚囶}的評價和研究，或?qū)χ锌荚囶}亮點的掃描分析，或?qū)γ}趨勢的設想，等等，我們經(jīng)常細心研讀這類文章，仔細推敲這些試卷，可以在編制習題時礎潤而雨、開門造車。尤其是在按知識體系復習之后，模擬考試之前，不妨根據(jù)新課標理念結(jié)合中考命題趨勢編制一些專題訓練，一要把握代表性;二要把握難度;三要有新意。在各個專題教學開始前舉一到兩個范例，最后組織學生交流解題啟示，揭示解決此類問題的一般方法。