這種解題方法很“另類”

摘 要: 學生在高考中運用數學知識解決物理問題的能力受到重視。因此，在教學中教師應注意培養學生的這種能力。

關鍵詞: 數學知識 物理問題 解題方法 “另類”

近幾年，學生運用數學知識解決物理問題的能力在高考中受到更多的重視。教師常用這種方法解題，會提高學生的這種能力。在多年的物理教學中，每當講到這種解題方法時，我發現很多學生感到很新鮮，甚至驚訝。

例題1:A、B兩位同學在某游覽區的同一個站點分乘甲、乙兩輛車去不同的景點游玩。A乘坐的甲車先出發，當后出發的乙車已經以速度v勻速行駛時，乙車上的B發現自己和A互相錯拿了雙方外型相同的旅行包。正欲與A聯系時，B看到了因途中停車的甲車恰在同一條路上的前方離乙車x處向前啟動，于是打算與A相遇時交換旅行包。若甲車啟動后先以加速度a做勻加速直線運動，待速度達到v后做勻速直線運動，且假定出發站點和兩景點站都在同一條平直公路上，出發站點離兩景點都足夠遠，兩車只要相遇兩位同學就可以交換旅行包。已知x<，請你分析兩位同學在途中能否交換旅行包?(車身長度不考慮)

某同學是這樣分析的:設甲車啟動后經時間t兩車相距△x，則△x=at+x-vt=a(t-)+x-，只有當x-=0且t-=0時，△x=0，此時兩車才可能相遇，但x<，所以兩位同學在途中不能交換旅行包。

你覺得他的分析是否正確?如認為是正確的，求出兩車相距的最近距離;若認為是不正確的，則說明理由，并求出從甲車開始啟動到兩同學交換旅行包的時間。

這是一道運動學中的追擊問題，很多同學看到這個題的分析部分就懵了，這個解題方法很不符合他們平時的解決追擊問題的思路。

常用的解這道題的方法是:

設甲車速度由零增加到v用時為t，則有:v=at，

t時間內甲車的位移為s=，乙車的位移為s=vt=

∵x<

∴s>s+x

兩車可以相遇，兩位同學在途中能交換旅行包。

這道題沒有按這種思路去分析，而是將題目所述的物理過程抽象為數學方程，進而解方程的結果，然后分析結果的合理性。只是本題的數學解析過程出了錯誤。正確解析如下:

因為對于△x=at+x-vt，并不需要x-=0與t-=0同時成立時，才有△x=0。

對△x=at+x-vt，若令△x=0則有△x=at+x-vt=0，解得

t==±。

因為x<，即4v-8ax>0，故t有解，所以兩位同學在途中能交換旅行包;又因為只有當甲車達到速度v前兩車才可能相遇故t<，所以從甲車開始啟動到兩同學交換旅行包的時間為:t=-。

通過上題，我發現同學們將“物理過程直接抽象為數學方程”的能力有待提高。同樣的問題還出現在下一題，當我用這種方法解題時，同學們的眼珠子全瞪圓了。

例題2:一條寬度為L的河，水流速度為v，已知船在靜水中的航速為v，那么，若v>v，怎樣渡河船漂下的距離最短?

常用解法:如果水流速度大于船在靜水中的航行速度，則不論船的航向如何，總是被水沖向下游。怎樣才能使漂下的距離最短呢?如圖1所示，設船頭v與河岸成θ角，合速度v與河岸成α角。可以看出:α角越大，船漂下的距離x越短，那么，在什么條件下α角最大呢?以v的矢尖為圓心，以v為半徑畫圓，當v與圓相切時，α角最大，根據cosθ=v/v，船頭與河岸的夾角應為:θ=arccos。

船漂下的最短距離為:x=(v-vcosθ)。此時渡河的最短位移為:s==L。

另類解法:如圖2所示，將船速v分解得垂直河岸得分速度v和平行河岸的分速度v，則有v=vsinθ，v=vcosθ。

垂直河岸:L= vsinθ·t

平行河岸:s′=(v- vcosθ)t(設沿河岸方向位移為s′)

船的位移s==

上式中最小時，s最小。

令=y、cosθ=p，則=y。

這是關于p的一元二次方程，△≥0，得y有最小值，此時θ=arccos，船的最短位移s=L。

此種方法的數學運算一般較繁瑣，但不“另類”，只是很多同學不善應用而已。