關于一道中考試題的評析及另解

一年一度的中考又臨近了，回想起參加2009年安徽省中考望江縣考點的數學閱卷工作，感覺仍在眼前，當時我評閱的是第22題，印象中該題得分普遍不高，尤其是第(2)小題得分更低。現將該題加以簡單點評，并給出第(2)小題的另一種解法，供讀者參考。

試題:如圖，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G。

(1)寫出圖中兩對相似三角形，并證明其中的一對;

(2)請連結FG，如果α=45°，AB=4，AF=3，求FG的長。

此題主要考查相似三角形的知識。其中第(1)小題要求學生寫出相似三角形，并進行證明，這樣的過程是一個經歷觀察、猜想、歸納、證明的過程，既有合情推理又有演繹推理的過程，符合《全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)》指出的學生通過義務教育階段的學習，“經歷觀察、猜想、歸納、證明等數學活動，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力”這一要求。盡管只要求寫出兩對(事實有三對)，但由于有的考生對相似三角形的判定定理理解不透，想當然地寫出不是相似的兩個三角形，例如△MDG∽△MEF，△DCF∽△ECG，等等。第(2)小題是在第(1)小題的基礎上利用△AMF∽△BGM來解決的圖形計算題的，但很多考生不會利用第(1)小題搭建的這一“腳手架”，從而導致失分。這主要是由于圖形中共有三對相似三角形，而第(1)小題只要求寫出兩對，許多考生沒有寫出△AMF∽△BGM這一對有關，這也是命題專家的一個高明之處:通過搭建腳手架，讓考生“跳一跳，夠得著”，而不是讓他們一伸手就輕意地摘走勝利的果實。《2009年安徽省中考數學試題及答案》提供的第(2)小題解答如下:

解:(2)當α=45°時，可得AC⊥BC且AC=BC，

∵M為AB的中點，

∴AM=BM=2。

又∵△AMF∽△BGM，

∴=，

∴BG===。

又AC=BC=4cos45°=4，

∴CG=4-=，CF=4-3=1，

∴FG===。

以上解答簡便、直接，體現了義務教育階段數學課程的基礎性、普及性，但如果不會直接利用△AMF∽△BGM這一結論就會失分，由此，我想:該題有無其它解法?不利用第(1)小題的結論可行?經過認真思考，我認為不利用第(1)小題的結論，利用三角形全等也能解決問題，具體解答如下:

如圖，連接MC，

∵∠A=∠B=45°，

∴AC=BC，且∠ACB=90°。

∵M為AB中點，

∴∠AMC=BMC=90°。

在BG上取點H，使∠GMH=GMF=45°，連接MH，則∠FMH=90°，

∴∠FMC=∠HMB=90°-∠CMH。

又∠B=∠ACM=45°，MB=MC，

∴△MFC≌△MHB(ASA)，

∴MF=MH。

又∵MG=MG，∠FMG=∠HMG，

∴△FMG≌△HMG(SAS)，

∴FG=HG。

設GC=x，由AC=BC=4cos45°=4得FC=AC-AF=1，

∴FG==HC-GC=AF-GC=3-x，

∴1+x=x-6x+9，

∴x=，

∴FG==。

上述解題過程盡管有點繁瑣，但不失為一種方法。因此，在中考臨近之際，我建議中考命題專家在提供試題答案時盡可能多地提供解題方法，以免閱卷老師誤判。

參考文獻:

[1]讓生態式教育走進數學課堂.考試周刊，2009，(5).

[2]談創造性閱讀在數學學習中的運用.科教文匯，2009.7，(中旬).

[3]開放探索性問題的解法.中學教學參考，2009，(8)，(中旬).

[4]把握數學課堂有效教學的起點.中學教學參考，2010，(1)，(中旬).