關(guān)于一道中考試題的評(píng)析及另解

一年一度的中考又臨近了，回想起參加2009年安徽省中考望江縣考點(diǎn)的數(shù)學(xué)閱卷工作，感覺仍在眼前，當(dāng)時(shí)我評(píng)閱的是第22題，印象中該題得分普遍不高，尤其是第(2)小題得分更低。現(xiàn)將該題加以簡(jiǎn)單點(diǎn)評(píng)，并給出第(2)小題的另一種解法，供讀者參考。

試題:如圖，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G。

(1)寫出圖中兩對(duì)相似三角形，并證明其中的一對(duì);

(2)請(qǐng)連結(jié)FG，如果α=45°，AB=4，AF=3，求FG的長(zhǎng)。

此題主要考查相似三角形的知識(shí)。其中第(1)小題要求學(xué)生寫出相似三角形，并進(jìn)行證明，這樣的過程是一個(gè)經(jīng)歷觀察、猜想、歸納、證明的過程，既有合情推理又有演繹推理的過程，符合《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》指出的學(xué)生通過義務(wù)教育階段的學(xué)習(xí)，“經(jīng)歷觀察、猜想、歸納、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力”這一要求。盡管只要求寫出兩對(duì)(事實(shí)有三對(duì))，但由于有的考生對(duì)相似三角形的判定定理理解不透，想當(dāng)然地寫出不是相似的兩個(gè)三角形，例如△MDG∽△MEF，△DCF∽△ECG，等等。第(2)小題是在第(1)小題的基礎(chǔ)上利用△AMF∽△BGM來解決的圖形計(jì)算題的，但很多考生不會(huì)利用第(1)小題搭建的這一“腳手架”，從而導(dǎo)致失分。這主要是由于圖形中共有三對(duì)相似三角形，而第(1)小題只要求寫出兩對(duì)，許多考生沒有寫出△AMF∽△BGM這一對(duì)有關(guān)，這也是命題專家的一個(gè)高明之處:通過搭建腳手架，讓考生“跳一跳，夠得著”，而不是讓他們一伸手就輕意地摘走勝利的果實(shí)。《2009年安徽省中考數(shù)學(xué)試題及答案》提供的第(2)小題解答如下:

解:(2)當(dāng)α=45°時(shí)，可得AC⊥BC且AC=BC，

∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，

∴AM=BM=2。

又∵△AMF∽△BGM，

∴=，

∴BG===。

又AC=BC=4cos45°=4，

∴CG=4-=，CF=4-3=1，

∴FG===。

以上解答簡(jiǎn)便、直接，體現(xiàn)了義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)性、普及性，但如果不會(huì)直接利用△AMF∽△BGM這一結(jié)論就會(huì)失分，由此，我想:該題有無其它解法?不利用第(1)小題的結(jié)論可行?經(jīng)過認(rèn)真思考，我認(rèn)為不利用第(1)小題的結(jié)論，利用三角形全等也能解決問題，具體解答如下:

如圖，連接MC，

∵∠A=∠B=45°，

∴AC=BC，且∠ACB=90°。

∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，

∴∠AMC=BMC=90°。

在BG上取點(diǎn)H，使∠GMH=GMF=45°，連接MH，則∠FMH=90°，

∴∠FMC=∠HMB=90°-∠CMH。

又∠B=∠ACM=45°，MB=MC，

∴△MFC≌△MHB(ASA)，

∴MF=MH。

又∵M(jìn)G=MG，∠FMG=∠HMG，

∴△FMG≌△HMG(SAS)，

∴FG=HG。

設(shè)GC=x，由AC=BC=4cos45°=4得FC=AC-AF=1，

∴FG==HC-GC=AF-GC=3-x，

∴1+x=x-6x+9，

∴x=，

∴FG==。

上述解題過程盡管有點(diǎn)繁瑣，但不失為一種方法。因此，在中考臨近之際，我建議中考命題專家在提供試題答案時(shí)盡可能多地提供解題方法，以免閱卷老師誤判。

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