在圓錐曲線教學中培養學生創新意識探究

摘 要: 隨著新課程改革在全國全面展開，在數學教學中如何培養學生的創新意識就顯得特別重要。本文作者在圓錐曲線教學中，從抓基礎、重閱讀理解等四個方面對培養學生創新意識作了初步探討，試圖使圓錐曲線教學更適合新“課改”的理念。

關鍵詞: 圓錐曲線 教學 培養 創新意識

創新意識是指人們根據社會和個體生活發展的需要，引起創造前所未有的事物或觀念的動機，并在創造活動中表現出的意向、愿望和設想。

近幾年的全國高考數學考試大綱提出，考試內容中能力要求之一是創新意識，即對新穎的信息、情境和設問，選擇有效的方法和手段分析信息，綜合與靈活地應用所學的數學知識、思想和方法，進行獨立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創造性地解決問題。這對高中學生數學創新意識的培養提出了較高的要求。在圓錐曲線教學中如何培養高中生的數學創新意識呢?我從以下幾方面進行探討。

1.牢固掌握數學基礎知識是培養學生數學創新意識的前提

所謂“推陳出新”是指有“陳”才有“新”。在數學教學中的“陳”很大一部分包括的是數學基礎知識。

在近年的普通高中全國統一高考試題中基礎題占80%，這體現了掌握基礎知識的重要性，只有牢固掌握數學基礎知識，才能對數學有較深的理解，在數學上有所創新。

案例1.已知橢圓C:+=1，直線l:y=ax+b。

(1)請你具體給出a，b的一組值，使直線l和橢圓C相交。

(2)直線和橢圓C相交時，a，b應滿足什么關系?

(3)若a+b=1，試判定直線l和橢圓C的位置關系。

問題(1)是個開放題，此題設計使學生從形和數這兩個角度思考后極易說出符合題意的的值(結果不唯一)。問題(1)讓學生直觀感受直線l和橢圓C相交的情形。

問題(2)則旨在讓學生探求直線和橢圓相交時的一般情形，是對問題(1)的提升。

問題(3)的提出，是對問題(1)(2)的呼應。它可以從“直線l過定點(1，1)”的幾何角度去解，也可以利用(2)的結果這個代數角度去解決。旨在引導學生領悟:處理直線和圓錐曲線的位置關系的方法，有代數方法與幾何方法。

這3個問題是層層躍進，讓學生“感受”了“從特殊到一般”再“從一般到特殊”的思維歷程。在此過程中，有的學生開始思考，提出了下列問題。

變式一:已知a+b=1，直線l:y=ax+b和橢圓C:+=1交于A，B兩點，?搖?搖?搖?搖?搖 ?搖(請你添加條件)，求直線l的方程。

變式二:已知直線l:y=ax+b和橢圓C:+=1相切，若=(a+1，b+2)與=(1，k)共線，求k的取值范圍。

此題涉及到的知識有韋達定理、弦長公式、中點坐標公式、兩直線互相垂直的充要條件、點到直線的距離，等等。只有掌握這些基礎知識，學生的思維才能得到充分的鍛煉。

2.提高學生數學閱讀理解能力是培養學生創新意識的關鍵

學生有了較強的數學閱讀理解能力，就能正確理解題意，也就能產生創新思維，創新能力得到培養。

案例2:(2009年高考北京理科卷，選擇題第8題)點P在直線l:y=x-1上，若存在過P的直線交拋物線y=x于A，B兩點，且 |PA|=|AB|，則稱點P為“點”，那么下列結論中正確的是(A)

A.直線l上的所有點都是“點”

B.直線l上僅有有限個點是“點”

C.直線l上的所有點都不是“點”

D.直線l上有無窮多個點(點不是所有的點)是“點”

此題主要考查學生對“點”的理解，考查了學生的閱讀理解能力，學生的學習潛力，學生分析問題和解決問題的能力，培養了學生的創新能力。

3.在圓錐曲線的教學中注重學生信息遷移的訓練

數學知識的信息遷移是培養學生創新意識的主要途徑。

3.1概念的創新

根據拋物線通徑的定義，可對圓錐曲線的通徑定義如下:

通過圓錐曲線的焦點，引軸的垂線，交圓錐曲線于P、Q兩點，則線段PQ叫圓錐曲線的通徑。

此概念主要是抓住了拋物線通徑定義中的過焦點，引軸的垂線進行的創新。

3.2性質的創新

如上定義，我們可得出橢圓的又一性質。

性質:過橢圓+=1(a>b>0)的焦點F垂直于長軸的直線l，l交橢圓于P、Q兩點，過點P作關于直線l對稱的直線l，l分別交橢圓于另外兩點M、N，則直線MN平行于橢圓在Q點處的切線。

此性質是在圓錐曲線通徑定義的基礎上得出的，也是學生創新意識的體現。

4.在圓錐曲線的教學中結合學生生活實際培養學生數學創新意識

數學知識來源于生活，讓學生從生活中去發現數學，體驗數學，對數學知識加以創新，這是數學教育工作者的重任。

案例3:(以下是教師與學生關于圓錐曲線的一段對話)

師:你知道什么是圓錐曲線嗎?

生:圓、橢圓、拋物線、雙曲線是圓錐曲線。(也有人回答:到一個定點和一條定直線距離之比為定值的點的軌跡稱為圓錐曲線。)

師:它們既然叫圓錐曲線，總應當與圓錐有關系吧。不然為什么叫做“圓錐”曲線而不叫“雞蛋曲線”或者“正方體曲線”呢?

生:哦……想起來了，圓錐曲線可以由平面去截圓錐得出來。從不同的角度去截，分別得到圓，橢圓，拋物線，雙曲線。

師:你面前的桌子上有一個茶杯，里面有水。請觀察，水面的邊緣是什么形狀?

生:是圓。

師:請把茶杯端起來，稍微傾斜，現在水面的邊緣是什么形狀?

生:好像是橢圓。

師:真是橢圓嗎?請說明理由。

生:這個杯子是圓柱形嗎?

師:請自己觀察。杯子的上下是一樣粗嗎?

生:不一樣粗，而是上面粗下面細。不是圓柱，是圓臺?！虼耍娴倪吘壊粦撌菣E圓，應當是一頭尖一頭平的曲線，像雞蛋一樣。……(感到奇怪)但是看起來怎么還是像橢圓呢?

師:只有上下一樣粗的圓柱被平面截才能得到橢圓嗎?你剛才不是說過橢圓也是圓錐曲線嗎，能不能用平面截圓錐得到?

生:哦……將杯子側面向下面延伸就是圓錐，所以水面邊緣還是由平面截圓錐得到的，應當是橢圓。

師:很好!謝謝。

在以上對話中，學生對圓錐曲線的概念有了深刻的理解，并能在生活中正確運用，培養了創新能力。

在全國即將全面實施新教材，進行新課程改革的今天，培養學生的創新意識被提到了一定的高度，創新意識的培養也是數學“新課改”的要求。在圓錐曲線教學中注重創新意識的培養是教師不能忽視的問題。

參考文獻:

[1]2009年普通高等學校招生全國統一考試大綱(數學(理))(必修+選修Ⅱ).

[2]2009年普通高等學校招生全國統一考試(北京卷)數學(理工農醫類).

[3]王宏梅#8226;蔡明星.圓錐曲線又一統一性質.數學通訊，2010，(02下)，20.