例談分類討論思想在解初中數學題中的應用

摘 要: 分類討論思想是初中數學的一種重要思想方法。本文首先強調了分類思想的重要性與運用時的注意點，然后分別從絕對值、方程和不等式、函數、幾何圖形，以及數學應用題等方面舉例講述了怎樣用分類討論思想解初中數學題。

關鍵詞: 分類討論 初中 數學 應用

“物以類聚，人以群分”。日常生活中人們習慣于把各種事物進行分類，以簡化問題、解決問題。我們在平時解決數學問題時，經常會碰到這樣的情況:當問題解到某一步后，我們所研究的對象，需要按一定的標準分成若干個子問題來討論，這種處理問題的方法實際上就是分類討論的思想方法，它是中學數學一種常用的數學思想方法。

在近幾年的中考中，有關分類討論的試題也不少，其主要是為了考查學生分析問題和解決問題的能力。然而，許多學生因分類討論的意識不強等原因，導致結果不完整，失分比較多。我認為，運用分類討論思想處理數學問題時首先要審清題意，認真分析可能產生不同影響的因素，明確討論對象。其次還要確定分類標準，每一次討論只能按一個標準來分類，分類不重不漏。另外還要逐一討論，認真解答。

下面我就結合平時的教學實踐，用具體的例子來談一談分類討論思想在解初中數學題中的應用，供大家參考。

一、絕對值的分類討論

(一)數的絕對值的定義:|x|=x(x>0)0(x=0)-x(x<0)。

這個定義本身就要分類討論，因此處理含有絕對值的代數式時分類討論是關鍵。

(二)若|x|=a ，則|x-a|=?搖?搖?搖?搖。

導析:由|x|=a可知，a≥0，則x=±a ，將其代入|x-a|可得結果。

(三)若|a|=3，|b|=2 ，|a+b|=?搖?搖?搖?搖。

導析:由|a|=3， |b|=2可知，a=±3，b=±2 ，所以|a+b|的值有四種情況，兩個結果，是5或1。

二、方程、不等式中的分類討論

(一)對含有字母系數的方程，經常要根據字母系數的符號進行分類討論。

1.ax=b的解a≠0時，x=a=0時b=0時解為任意數b≠0時無解?搖。

2.ax+bx+c=0(a≠0)的解兩個不相等的實數根(Δ>0)兩個相等的實數根(Δ=0)無實數根(Δ<0)。

3.ax>b的解(a≠0)a>0時的解集為x>a<0時的解集為x<。

(二)如果關于x的方程(m-2)x-2x+1=0有實數根，求m的取值范圍。

導析:本題未說明方程是關于x的一次方程還是二次方程，方程有解可能有一解、兩解，故應對二次項的系數m-2分類討論，當m-2=0時和當m-2≠0是分別怎樣。

解:①當m-2=0，即m=2時，方程-2x+1=0有一個實數根，∴x=。

②當m-2≠0即m≠2時，原方程是關于x的一元二次方程。

△=-4m+12，當△≥0時，原方程有兩個實數根，此時-4m+12≥0，m≤3。

綜上所述:當m≤3時方程總有實數根。

三、函數中的分類討論

(一)一次函數y=kx+b(k≠0)圖像經過的象限有以下情況。

k>0，b>0 經過一、二、三象限;

k>0，b<0 經過一、三、四象限;

k<0，b>0 經過一、二、四象限;

k<0，b<0 經過二、三、四象限。

二次函數y=ax+bx+c與x軸的交點情況:

有兩個交點，b-4ac>0;

有唯一交點，b-4ac=0;

無交點，b-4ac<0。

(二)求函數y=(-k)x+(k-3)x+的圖像與x軸的交點。

導析:函數y=(-k)x+(k-3)x+可能是一次函數也可能是二次函數。當-k=0時，函數是一次函數，與x軸只有一個交點;當-k≠0時，是二次函數，△>0時有兩個交點，△=0時有一個交點，△<0時沒有交點。綜上所分的情況，當k=或k=2時，函數圖像與x軸有一個交點，當k≠和k≠2時，函數與x軸的交點有兩個。

四、幾何圖形中的分類討論

(一)以圖形的不同形狀為標準來分類。

等腰三角形一腰上的高與腰長之比為1∶2，則等腰三角形的頂角為()。

A.30°B.60°C.150°D.30°或60°

導析:等腰三角形的頂角可能是鈍角、直角、銳角，腰上的高就分別在三角形外，一腰為另一腰的高或三角形內，因此要分三種情況討論。答案選D。

(二)以圖形的位置關系為標準分類。

一次函數y=x+4分別交x軸、y軸于A、B兩點，C為x軸上的一點，且△ABC為等腰三角形，求點C的坐標。

導析:△ABC為等腰三角形，其頂角頂點可以是點A、點B、點C，所以需按三種情況來討論。

解:點A(-3，0)，點B(0，4)

在△ABC中，①當AB=AC時，點C坐標為(2，0)(-8，0)，

②當BA=BC時，點C坐標為(3，0)，

③當CA=CB時，設C(x，0)則x+3=解之得:x=。

∴點C坐標為(，0)。

故C點的坐標為(-8，0)(2，0)(3，0)或(，0)。

(三)數學應用題中的分類討論。

某批商品，一個月僅能月初進貨一次，如月初售出可獲利潤1000元，再將成本和利潤一起投資，月末可得0.5%回報，如月末售出可獲利1100元，但需付50元保管費，問這批貨物是月初還是月末售出好?

導析:應用題中的分類討論都是在解題過程中的討論，這時應有分類討論的意識，需認真分析產生不同影響的因素，明確討論對象，使題目解答完整。由本題意可知，此商品若月末出售，利潤是一定值1050元，而月初售出，利潤與成本有關，若設成本為x元，則利潤為1000+(1000+x)×0.5%，即1005+0.5%x;因此有必要對成本進行討論，當成本x=9000元時，兩者均可，當成本x>9000元時，月初出售好，當成本x<9000元時，月末售出好。

初中數學中的分類討論是一種重要的數學思想，在平時的教學和學習中教師通過加強訓練，十分有利于提高學生學習數學的興趣，增強學生思維的條理性、縝密性和科學性。所以教師在制定教學目標和采用這種方法時應有意識地突出，并且遵循靈活多變和循序漸進的方法，使學生從小養成優良的思維品質，這對學生的未來必將產生深刻而久遠的影響。

參考文獻:

[1]彭林，刁衛東.中考數學命題熱點與規律探析.中小學數學，2001專刊.

[2]華國棟.教育科研方法.南京大學出版社，2000.5.

[3]李再湘.中學理科教師科研論文導學.湖南師范大學出版社，2000.7.