在數學教學中培養學生的思維品質

摘 要: 數學教學目的就是培養學生的思維能力，而思維品質的形成又直接關系到學生數學思想的形成。本文作者通過對思維的廣闊性、思維的深刻性、思維的敏捷性的培養分析，提出了自己在培養學生思維品質方面的一些見解，以求達到不斷優化學生思維品質的目的，起到提高教學效果的作用。

關鍵詞: 數學教學 思維品質 能力培養

學生思維品質的培養是中學數學教學的重要任務之一，因為思維品質的培養既是提高學生思維能力的重要手段，也是衡量教師在課堂教學中能否正確把握數學思想的重要途徑。因此在數學教學中，教師應重視學生良好的思維品質的形成，以提高學生靈活多變的思維方法和解題技巧。

一、多方渠道聯想、培養思維的廣闊性

思維的廣闊性是指思維活動作用范圍的廣泛和全面的程度，它表現為能全面地分析問題，作出廣泛的聯想，從而能用各種不同的方法去處理和解決問題。

1.加強聯想訓練

加強訓練就是要強化學生的聯想意識，拓寬學生的思維視野，在數學教學中，聯想訓練的方法很多，可以從定義、定理、公式等出發進行聯想，也可以從已有的知識、技能出發進行聯想。

例1:設f(x)=，求f()+f()+…+f()的值。

分析:仔細觀察自變量的值，就能發現:，，…，是一等差數列，而等差數列的一個性質就是“與首末兩端等距離的項和相等”，于是我們聯想到f(x)、f(1-x)是否也具有f(x)+f(1-x)為某一常數的這一特征，通過分析易得f(x)+f(1-x)=1。于是可得原式的值為500。

2.注意一題多解一法多用的訓練

一題多解、一法多用的訓練關鍵是要教會學生如何抓住數學問題的實質，找出或發現具有數學意義的關系與特征，從所給數學題材的形式和結構中辨認出或分離出某些對解決問題有效的成分與有數字意義的結構。

例2:解方程+=10。

分析:用通常的辦法，需要兩次平方才能將原方程化為有理方程。我們注意到原方程就是+=10聯想解析幾何中橢圓的定義，我們可以令1=y，有+=10，這是以F(-3，0)，F(3，0)為焦點，長軸長為10(短軸長8)的橢圓方程的最初形式，化簡后即+=1，上面問題就是在橢圓方程中當y=1時的x的值，易知x=±。

二、多方總結、培養思維深刻性

思維的深刻性是指思維活動的抽象和邏輯水平，它表現于善于使用抽象和概括。能抓住問題的實質，在問題得到解決以后能夠總結規律和方法，把獲得的知識和方法遷移應用于解決其它問題。

1.引導學生題后總結

在數學教學中，教師要引導學生做題后總結。從這些已解決的問題出發深入觀察命題的圖形結構和命題的已知結條件、結論。深刻認識命題所反映的數量關系和空間形式，把它們有機地結合起來，運用類比、探索命題的內聯系和一般規律。

例3:已知tan(+α)=2，求的值。

解:因為tan(+α)=2，所以=2。

所以tanα=，cosα≠0，將待求式化為齊次式，則:

====。

總結:將分式變形后是一個關于正、余弦的齊次式，因此繼續變形后可利用tanα的值求解。由此想到先通過對已知條件tan(+α)=2變形求出tanα的值，然后進行解答。類似的有下面問題。

已知6sinα+sinαcosα-2cosα=0，α∈(，π)，求sin(2α+)的值。

2.注意對隱含條件的發掘

在數學命題中有很多命題的數量關系與空間形式都隱藏在已知條件和結論中，往往需要對問題的深入分析和深刻理解才能發現，因此對隱藏條件的發掘同樣也是培養學生思維深刻性的一種手段。

例4:已知定義域為正實數集的函數f(x)為遞減函數，且滿足(1)f()=1，(2)f(xy)=f(x)+f(y)。求不等式f(-x)+f(3-x)≥-2的解集。

仔細觀察和分析已知條件，就會發現隱含條件f(1)=0和 f(x)=-f()，由隱含條件得出f(4)=-f()=-f()+f()=-2，再根據題設知-x>0，且3-x>0，可得f(-x)+f(3-x)≥f(4)，從而又有:f[-x(3-x)]≥f(4)，再由函數的遞減性結合-x>0，很快得出解集{x|-1≤x<0}。

三、強化訓練、培養思維的敏捷性

思維敏捷性是指思維活動的反應速度和熟練程度，它表現為思考問題的敏銳快捷反應程度。

1.思維定向訓練

思維定向訓練，就是要訓練學生在遇到問題時善于識別各類問題的特征，準確地將其歸結于某種數學模型，以便盡快形成明確的解題思路。因此在教學中，教師應注意對知識及解題經驗的積累和總結，要重視對通用思想方法的理解和掌握。

例如在解排列組合問題時，我們常常遇到各種不同對象的排列問題，如不同顏色的球、演出節目、課表等，雖然它們的具體形式不一樣，但問題的實質是一樣的。因此，我們學習時往往先對具體問題進行直觀分析，然后在此基礎上進行抽象，建立問題的解答模型。又如在解多元方程時，雖有不同的方法，但其實質就是消元法。再如在解高次不等式時，其常用方法就是“穿線法”，等等。

2.數學技能訓練

訓練學生的數學技能，就是訓練學生在緊扣題意的條件下，善于觀察問題的特點、結構，善于從多種方法中進行取舍、分析、組合、變異，從而找出解決問題的最佳方法。

例如在解選擇題時有直接法、篩選法、特例法、數形結合法、驗證法、估算法、特征分析法等。在教學時，教師就必須讓學生對以上各法都進行充分訓練，以便學生在解題時能根據題目的特點進行迅速的分析與取舍。又如在向量作圖運算時，應充分對向量加法作圖法則中的平行四邊形法則、三角形法則，以及減法作圖法則中的三角形法則進行獨立訓練，以求學生熟練掌握，只有這樣，學生才能在各類向量問題的作圖與證明中通過分析、組合、變異，敏捷地找到解決問題的正確方法。

3.數學思想方法教學

數學教學不僅要教給學生以數學知識，而且要教給學生獲得這些知識的方法和過程，掌握并熟練應用數學思想方法解決問題是思維敏捷的一種重要表現形式，重視數學思想方法的教學就是要增強學生的數形轉換、分類討論、建模等意識，通過數學思想方法的應用以提高學生的思維效率。

數形結合是數學中廣為運用的十分重要的思維方法，利用數形結合解決問題能起到由難化易，由繁化簡的目的。

例如:設a、b、c都是正數，a+b=c，求的最大值。

分析:把a、b、c看作是Rt△的三邊，且設a=csinα，b=ccosα，C=90°，則求的最大值就轉化為求sinA+cosB的最大值，這樣問題就迎刃而解。

以上幾方面的品質僅是思維品質的一部分，思維廣闊性的培養是對學生進行思維訓練的基礎與前提，思維深刻性培養是對學生思維訓練的深入，思維敏捷性的培養是對學生思維訓練的發展。只有想得多，才能用得活;只有想得深，才能用得準;只有想得巧，才能用得妙。所以思維品質的培養對學生數學學習具有極其重要的作用。