數學對應思想及其對解題的指導

“對應”是現代數學中重要的基本概念之一，它所反映的是兩個集合的元素間的關系。對應思想是許多數學概念與數學方法的基礎。“對應”是一個不加定義的概念。其實，古代數學中對應的概念已有萌芽，但不明確，主要源于測量或度量。在測量幾何的度量問題時，我們用有刻度的尺，量多少就是多少，刻度尺從某種意義上講，就蘊涵了“數與點的對應”思想。求多邊形的面積，其實質是在多邊形的集合與實數集之間建立對應。但它不是一一對應。因為兩個不同的多邊形的面積可能相等。在數學史上，量長度是在直線上取0為原點，1為單位長，我們就可以在直線上點出2，3，…，還有“幾分之幾”，這實質上是對直線進行坐標化，點與數一一對應起來，這個理論一直到費馬與笛卡爾時代才真正發揮作用，由此建立了解析幾何。

對于兩個集合M與N，它們的構成一般不同，我們忽略它們的構成，而考慮一個自然的問題:這兩個集合的元素的數量哪個多哪個少?

如果集合M是有限的，那么它的元素的數量可以由某個自然數(即其元素的數目)來表達。在這種情形之下，為了比較集合M與N的數量，只要計算一下M與N的元素的個數，然后比較一下所得到的這兩個數目大小就可以了。同樣，假若集合M與N中，一個是有限的，另一個是無限的，那么很自然地可以認為無限集合包含著比有限集合更多的元素。然而，如果兩個集合M與N都是無限集合，那么用簡單地計算元素的個數的方法是什么也得不到的，所以立刻引起這樣的問題，即是否所有的無限集合的元素的數量都是一樣的，或者是否存在元素數量互相不同的無限集合?假如后者是正確的，那么用什么方法可以比較無限集合的元素數量呢?這就需要“一一對應”的思想。

數學中還有一類非常重要的對應，那就是映射。集合A到集合B的一個映射是A到B的滿足下列條件的一個對應:對于A中每一個元素，B中都有唯一一個元素與之對應。特別地，如果A中不同的元素對應于B中的元素也不同，就稱為單射，如果B中每一個元素都有A中一個元素對應之，則稱滿射。同時具備兩點的映射稱為一一映射。映射是現代數學中一個基本的概念。數學中的映射主要有以下幾種:

①數集到數集里的映射。函數就是這類映射。

②數集到點集的映射。實數集到數軸上的點集的映射，復數集到平面點集的映射。它是我們實現代數、幾何問題互化的理論根基。

③幾何圖形集合到數集里的映射。在幾何測量中，圖形集合中每一個圖形與一個非負實數—這圖形的測度相對應。

④點集到點集里的映射。幾何變換就是這種映射。

數(數組)與形的映射對應導致數形結合思想。數和形(或者說數量關系和空間形式)都是數學的研究對象，并且由數學中不同的分支學科來研究。17世紀以后，由于建立了實數集與直線上點集的一一對應、有序實數對(x，y)的集合與坐標平面上點集的一一對應，從而在二元方程f(x，y)=0的集合與平面曲線集合之間建立了對應關系，實現了數與形的結合，導致解析幾何學的產生，數量關系可以轉化為圖形性質，圖形性質可以轉化為數量關系，幾何問題能用代數方法來研究，代數由于運用幾何模型而具有鮮明的直觀性。正如戈丁所說:“解析幾何是下面的事實的系統應用:在實數與直線上的點之間，在實數與平面上的點之間，以及在實數三元組與空間中的點之間，都存在著自然的對應。于是數的計算可以用幾何的方式來解釋，而幾何問題可以重新表述為代數問題。”例如，常常用線段圖使數量關系形象化，其實質就是用線段的長短表示數量的大小，借助線段長度的和、差、倍、分關系表示數量關系。由于蘊涵在題意中的數量關系直觀地表示出來了，因而能調動學生的形象思維，以支持他們的邏輯思維活動，這樣就有利于分析題意，從而找到解題途徑。數形結合對于初步認識分數幾乎是不可缺少的，可讓學生對分數有直觀感受。

形與形的映射對應導致變換思想。變換思想主要有數的變換、式的變換、名數的變換與形的變換等。例如，分數與小數、百分數的互化，假分數與帶分數或整數的互化，都是數的變換。式的變換的目的是為了簡便計算，它是以運算律、運算性質作為變換的依據。名數的變換反映了用不同的計量單位量同一個量時得到的形式上不同的結果。形的變換有分割、拼合、對稱、旋轉、平移等。

利用對應思想可以實現轉換而有效解決一些看上去不易解決的問題。

例1:有40支乒乓球隊參加比賽。比賽采用淘汰制，最后產生冠軍隊。共需賽多少場?

分析:每賽一場淘汰一支球隊，每淘汰一支球隊就得賽一場。這樣，就可以在安排的賽場集合和被淘汰的球隊集合之間建立一一對應。因此，這兩個有限集的元素個數相等。為了產生1個冠軍隊，40支球隊需要淘汰40-1=39支球隊。因此，也就需要安排39場比賽。

在這里，由于我們發現了兩個有限集之間的一一對應關系，使得我們有可能將求一個有限集的元素個數問題轉化為求與之對等的另一個有限集元素的個數。

例2:如圖1，是一個城區的街道示意圖，問從A到B最近路線有幾種走法?

分析:所謂的最近走法，就是只按兩個方向走:向下(記作|)、向左(記作—)。顯然一種走法就對應著“— — — — | | | |”的一個排列，而它們的一個排列也同樣對應著一種走法，是一個一一對應。而排列的條件是8個位置選出4個(不區分)位置放“—”，剩下的安排“|”，共C種。

例3:集合S={1，2，…，16}的五元子集S1={a，a，a，a，a}中，任何兩元素之差不為1，這樣的子集S有多少個?

分析:由于S中的每個元素都在S中且任兩個之差不為1，不妨設a，a，a，a，a為上升排列，作子集S′={a，a-1，a-2，a-3，a-4}，則S′與S一一對應，而S′是{1，2，…，12}的五元子集，故共有C個。

實際上，此問題等價于:有16名學生，其中女生5名，要排成一排，其中任何兩名女生不得相鄰，問共有多少種不同的排法?

對應是人的思維對兩個集合間聯系的把握，對應將各種類別、各種層次的對象聯系起來，呈現出它們之間某些相似或相同的屬性，使各種數學對象能夠相互結合、轉化。學生學習數學應該掌握對應思想。

參考文獻:

[1]邵光華.作為教育任務的數學思想與方法[M].上海教育出版社，2009.