《復數的概念》說課稿

一、教材分析

(一)地位與作用。

復數的概念是復數的第一課時，在實數的基礎上;進一步研究X=-1而得到復數系。

復數在近、現代科學中發揮著極其重要的作用。如，流體力學、熱力學、機翼理論的應用;滲透到代數學、數論、微分方程等數學分支。復數在理論物理、彈性力學、天體力學等方面得到了廣泛應用，是現代人才必備的基礎知識之一。

復數在高考中的地位逐漸下降:題量減少，難度降低。通常就考一題，或者是客觀題，或者是主觀題，均為中低檔難度題。復數的概念與代數的運算是本章的基礎知識，也是高考的必考內容。

(二)教學目標。

1.知識要求。

(1)了解引入復數的必要性，理解復數的有關概念。

(2)使學生初步體會i=-1的合理性。

(3)使學生會對復數系進行簡單的分類。

2.能力要求。

在培養學生類比、轉化的數學思想方法的過程中，提高學生學習能力。

3.育人因素。

培養學生科學探索精神和辯證唯物主義思想。

(三)教學重、難點。

1.重點。

復數的有關概念。

2.難點。

對i和復數定義的理解。

二、學生分析

由于復數是從實數的基礎上進一步擴充數系。因此，學生對學習復數的概念存在有不同于實數概念的差異。學生在教師的引導下能基本掌握本節知識。

本班學生層次為理科基礎班、基礎較差，所以講解過程不宜較多展開，要簡明扼要地讓學生掌握復數的概念，特別是i的規定。

三、教學法

(一)教法。

目標教學法、討論法;學法:歸納—討論—練習。

(二)教學手段。

多媒體電腦與投影機。

四、教學過程

(一)引入部分。

1.教師引入內容:因生產和科學發展的需要數集在逐步擴充，數集的每一次擴充，對數學學科本身來說，也解決了在原有數集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾，分數解決了在整數集中不能整除的矛盾，負數解決了在正有理數集中不夠減的矛盾，無理數解決了開方開不盡的矛盾。但是，數集擴到實數集R以后，像x=-1這樣的方程還是無解的，因為沒有一個實數的平方等于-1。由于解方程的需要，人們引入了一個新數i，叫做虛數單位，并由此產生的了復數。

由意大利米蘭學者卡當在十六世紀首次引入，經過達朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數學家所接受。復數有多種表示法，諸如向量表示、三角表示、指數表示等。它滿足四則運算等性質。它是復變函數論、解析數論、傅里葉分析、分形、流體力學、相對論、量子力學等學科中最基礎的對象和工具。

2.學生對此部分內容在了解的基礎上要能夠產生學習復數的興趣和好奇心。

(二)概念講解部分(此過程應按部就班，層層遞進)。

1.虛數單位i。

(1)它的平方等于-1，即i=-1。

(2)實數可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立。如:ai+bi=(a+b)i，ai-bi=(a-b)i，aibi=abi=-ab，ai/bi=a/b(b≠0)。

2.與-1的關系。

i就是-1的一個平方根，即方程x=-1的一個根，方程x=-1的另一個根是-i。

3.i的周期性。

i=i，i=-1，i=-i，i=1。此部分由學生發現得到。

4.復數的定義。

形如a+bi(a，b∈R)的數叫復數，a叫復數的實部，b叫復數的虛部全體復數所成的集合叫做復數集，用字母C表示。

5.復數的代數形式。

復數通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，把復數表示成a+bi的形式，叫做復數的代數形式。

6.復數與實數、虛數、純虛數，以及0的關系。

對于復數a+bi(a，b∈R)，當且僅當b=0時，復數a+bi(a、b∈R)是實數a;當b≠0時，復數z=a+bi叫做虛數;當a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數;當且僅當a=b=0時，z就是實數0。

7.復數集與其它數集之間的關系(由學生討論得到)。

N?芴Z?芴Q?芴R?芴C.

8.兩個復數相等的定義。

如果兩個復數的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數相等。

這就是說，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?圳a=c，b=d。

復數相等的定義是求復數值，在復數集中解方程的重要依據。一般的，兩個復數只能說相等或不相等，而不能比較大小。如3+5i與4+3i不能比較大小。

現有一個命題:“任何兩個復數都不能比較大小”對嗎?不對如果兩個復數都是實數，就可以比較大小只有當兩個復數不全是實數時才不能比較大小。如3+5i與4+3i不能比較大小。

復數不能比較大小的一種解釋:例如:i與0能不能比較大小?

(1)如果i>0，那么i#8226;i>0#8226;i，即-1>0。

(2)如果i<0，那么-i>0，(-i)>0#8226;(-i)，即-1>0。

(三)典例剖析(重引導，由學生比較概念得到結論)。

例1.請說出復數2+3i，-3+i，-i，--i的實部和虛部，有沒有純虛數?

答:它們都是虛數，它們的實部分別是2，-3，0，-;虛部分別是3，，-，-;-i是純虛數。

例2:實數m取什么值時，復數z=m+1+(m-1)i是:(1)實數;(2)虛數;(3)純虛數。

解:(1)當m-1=0，即m=1時，復數z是實數;

(2)當m-1≠0，即m≠1時，復數z是虛數;

(3)當m+1=0，且m-1≠0時，即m=-1時，復數z是純虛數。

例3:已知(2x-1)+i=y-(3-y)i，其中x，y∈R，求x與y。

解:根據復數相等的定義，得方程組2x-1=y，1=-(3-y)，所以x=，y=4。

(四)練習(達標)。

課后練習1、2。

(五)小結。

這節課我們學習了虛數單位i及它的兩條性質，復數的定義、實部、虛部，以及有關分類問題，復數相等的充要條件，等等。基本思想是:利用復數的概念，聯系以前學過的實數的性質，對復數的知識有較完整的認識，以及利用轉化的思想將復數問題轉化為實數問題。

五、課后反思的三個方面

(一)學生對概念的掌握。

(二)數的發展和完善過程給學生的啟示。

(三)學生對類比、轉化的數學思想的掌握。