利用判別式求函數值域常見錯誤例析

〔關鍵詞〕 判別式；函數；值域；錯誤

〔中圖分類號〕 G633.62

〔文獻標識碼〕 Ａ

〔文章編號〕 1004—0463（2010）12（A）—004３—01

判別式法是求函數值域的重要方法之一，它主要適用于分式型二次函數，或可通過換元法轉化為二次函數的一些函數的值域問題.判別式法的理論依據是：任何一個函數的定義域應是非空數集，故將原函數看成關于x的方程應有實數解，故判別式≥0，即得到關于y的不等式，從而求出y的取值范圍.此法雖然簡單易行，卻極易產生錯誤.本文就對解決此類問題時出現的幾類錯誤進行列舉，并對錯因加以剖析.

一、要對二次項系數加以討論，確保轉化后的方程為二次方程

例1：求函數y=的值域.

錯解：將原函數轉化為關于x的一元二次方程（y-2）x2+（y-2）x+y-3=0，由=（y-2）2-4（y-2）（y-3）≥0得2≤y≤，所以原函數的值域為［2，］.

正解：原函數的定義域為R，將原函數轉化為關于x的一元二次方程（y-2）x2+（y-2）x+y-3=0 *.

（1）當y=2時，就有-1=0，所以當x取任何值時，y都不等于2；

（2）當y≠2時，*式為x的一元二次方程式，由=（y-2）2-4（y-2）（y-3）≥0，得2≤y≤.

所以，原函數的值域為（2，].

反思：忽視對二次項系數的討論，丟掉第一種情況，直接用判別式求解，就得到錯解[2，].

二、將原函數轉化為整式方程時要確保是同解變形

例2：求函數y=x-的值域.

錯解：將原函數式兩邊分別平方后可轉化為x2-（2y-1）x+y2-1=0，由=（2y-1）2-4（y2-1）≥0得y≤，即原函數的值域為（-∞，].

正解：原函數的定義域為（-∞，1]，令t=≥0，則x=1-t2，原函數變形為y=1-t-t2（t≥0）.該函數在[0，+∞）是單調遞減函數，所以有ymax=f（0）=1，即原函數的值域是（-∞，1].

反思：因為將原函數轉化為關于x的一元二次方程的變形不是同解變形，故不能運用判別式法求解.

三、用換元法轉化要確保新舊變量的取值范圍等價

例3：求函數y=的值域.

錯解：令t=，則y=，于是有yt2-t+y=0，由=1-4y2≥0及y＞0得原函數的值域為（0，].

正解：原函數的定義域是R.令t=（t≥2），則原函數變形為y==，令f（t）=t+，因為f（t）在[2，+∞）單調遞減，所以，fmin（x）=f（2）=，所以y≤.又因為y＞0，故原函數的值域為（0，].

反思：忽視了t≥2這一條件，這時轉化前后的變量的取值范圍就不一致了，從而導致錯誤.

綜上所述，利用判別式求函數的值域時，在變形過程中出現不可逆的步驟會改變原函數的定義域和值域.因此，利用判別式求函數值域時，只有在確保轉化后的方程中二次項系數不為零和原函數的定義域是R的前提下，方可直接運用判別式法求解，其余情況都必須經等價轉化后，用其他方法求解.