《角的概念的擴(kuò)展》教學(xué)實(shí)錄(1課時(shí))

教學(xué)目標(biāo)

1.知道任意角的概念，會(huì)判斷角所在的象限。

2.知道“象限角”“終邊相同的角”的含義，并會(huì)用集合表示終邊相同的角。

教學(xué)重點(diǎn)任意角的概念；判斷角所在的象限；“終邊相同的角”的含義及表示方法。

教學(xué)難點(diǎn)任意角的概念；“終邊相同的角”的含義。

內(nèi)容設(shè)計(jì)

1.新課導(dǎo)入

角可以看做是一條射線繞著它的端點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)而形成的，如圖，一條射線由位置OA，繞著它的端點(diǎn)O，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成∠a，射線旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的位置OA叫做∠a的始邊，旋轉(zhuǎn)終止時(shí)的位置OB叫做∠a的終邊，射線的端點(diǎn)O叫做∠a的頂點(diǎn)，(強(qiáng)調(diào)角包括三個(gè)要素：始邊、終邊和頂點(diǎn))

在初中我們研究了0°～360°之間的角，但是在實(shí)際生活中，常常會(huì)碰到大于360°的角和方向不同的角，比如，工人師傅在維修的時(shí)候，需要把出了故障的器件取下來(lái)。這往往需要用扳手?jǐn)Q松螺母(多媒體演示，應(yīng)指出螺母相當(dāng)于角的頂點(diǎn)，扳手柄旋轉(zhuǎn)開始前的位置相當(dāng)于角的始邊，終邊是旋轉(zhuǎn)停止時(shí)的位置，強(qiáng)調(diào)是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，而且往往要旋轉(zhuǎn)多周才能把螺母擰下來(lái))，維修好之后，又需要把器件裝上去，這時(shí)要用扳手把螺母擰緊(多媒體演示，強(qiáng)調(diào)是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，也往往要旋轉(zhuǎn)多周才能把螺母擰緊，讓學(xué)生體會(huì)到角不僅有大小，還有方向)，為了全面描述角的各種形態(tài)，我們把角的概念進(jìn)行了推廣，引入了正角、負(fù)角和零角的概念。

2.講授內(nèi)容

一條射線繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角是正角；按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角是負(fù)角；當(dāng)一條射線沒有旋轉(zhuǎn)時(shí)，所形成的角是零角，記作0°(強(qiáng)調(diào)正角、負(fù)角是由旋轉(zhuǎn)方向定義的)。

為了更方便地研究角，我們把角放在直角坐標(biāo)系內(nèi)來(lái)討論，怎樣把角放在直角坐標(biāo)系內(nèi)呢?規(guī)定：把角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，把角的始邊與x軸的正半軸重合(強(qiáng)調(diào)所有角放在直角坐標(biāo)系內(nèi)時(shí)，頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊都和x軸的正半軸重合，提問(wèn)：怎樣區(qū)別不同的角呢?如果學(xué)生猶豫，提示角的三要素是什么，這時(shí)學(xué)生都能答出是終邊的位置，再問(wèn)：終邊可以在哪些位置呢?學(xué)生回答可以在四個(gè)象限以及坐標(biāo)軸上。順勢(shì)引出象限角和軸線角的概念)，當(dāng)角的終邊落在四個(gè)象限時(shí)，這樣的角稱為象限角，并且規(guī)定：角的終邊落在第幾象限就稱角為第幾象限的角，接著設(shè)置練習(xí)鞏固概念：

在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出下列各角，并判斷各角所在的象限：30°，120°，-60°，390°，-330°。

設(shè)置本題讓學(xué)生體會(huì)正角、負(fù)角的概念；學(xué)會(huì)正角、負(fù)角以及大于360°或小于-360°角的作法，并學(xué)會(huì)判斷角所在的象限。

多媒體演示作角的過(guò)程，注意強(qiáng)調(diào)角的頂點(diǎn)，始邊的位置，正角、負(fù)角的旋轉(zhuǎn)方向，作390°是先逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周得到360°，再繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到的，學(xué)生會(huì)注意到390°和30°終邊相同。

教師：為什么30°，390°和-330°大小不同，終邊相同?

大多數(shù)學(xué)生可以理解原因，但是表達(dá)上不一定準(zhǔn)確，提示學(xué)生是因?yàn)楫?dāng)旋轉(zhuǎn)整數(shù)周時(shí)，始邊和終邊重合。

教師：與30°終邊相同的角除了390°，-330°之外還有沒有其他角?有的話，有多少個(gè)?如何描述出來(lái)?

這時(shí)可以讓學(xué)生給出結(jié)論，教師總結(jié)。

與角30°終邊相同的角有無(wú)窮多個(gè)，可以用一般形式k·360°+30°(k∈z)來(lái)表示，對(duì)于任意角a，與它終邊相同的角也有無(wú)窮多個(gè)，它們彼此相差360°的整數(shù)倍，可以用一般形式k·360°+a(k∈z)來(lái)表示，用集合表示就是｜β｜β=k·360°+a，k∈z｜。

要強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：(1)a為任意角；(2)k每取一個(gè)值，可得一個(gè)具體的角，k·360°+a(k∈z)表示了所有與角a終邊相同的角。

例1 寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并判斷角所在的象限：

(1)45°；(2)-120°；(3)2200°。

通過(guò)講授判斷2200°=360°×6+40°所在象限的方法，強(qiáng)調(diào)對(duì)于絕對(duì)值較大的角，要先把它寫成360°的整數(shù)倍加上一個(gè)絕對(duì)值較小的角的形式，該角所在的象限和絕對(duì)值較小的角所在象限相同。

練習(xí)1寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并判斷角所在的象限：

(1)610°；(2)-1700°

本題鞏固判斷絕對(duì)值大于360°的角所在象限的方法。

例2在360°到720°間，找出與下列各角終邊相同的角的集合，并判斷角所在的象限：

(1)-45°；(2)760°

讓學(xué)生比較例1和例2的聯(lián)系和區(qū)別，得出例1是寫出所有與已知角終邊相同的角，例2需要在所有與已知角終邊相同的角中找出在-360。到720°間的角，還要注意講清兩點(diǎn)：①角因k的取值不同而不同，由于角的取值范圍既有正角也有負(fù)角，因此k應(yīng)在0的兩邊取值；②在每一個(gè)周角內(nèi)都有一個(gè)與已知角終邊相同的角，因此在－360°到720°間與已知角終邊相同的角應(yīng)有三個(gè)。

練習(xí)2在360°到360°間，找出與下列各角終邊相同的角的集合，并判斷角所在的象限：

(1)870°；(2)-75°

教師：前面我們把角放在坐標(biāo)系內(nèi)時(shí)，發(fā)現(xiàn)角的終邊既可能在四個(gè)象限，也可能在坐標(biāo)軸上，在四個(gè)象限時(shí)是我們已經(jīng)討論過(guò)的象限角，在坐標(biāo)軸上時(shí)就是我們下面要討論的軸線角，多媒體給出直角坐標(biāo)系。

教師：請(qǐng)找出在0°到360°內(nèi)的終邊落在x軸的正半軸、y軸的正半軸、x軸的負(fù)半軸、y軸的負(fù)半軸上的角，

學(xué)生：在0°到360°內(nèi)的終邊落在x軸的正半軸上的角是0°，終邊落在y軸的正半軸上的角是90°，終邊落在x軸的負(fù)半軸上的角是180°，終邊落在y軸的負(fù)半軸上的角是270°。

教師：落在x軸的正半軸、y軸的正半軸、x軸的負(fù)半軸、y軸的負(fù)半軸上的所有角怎么表達(dá)呢?

學(xué)生：只要在0°，90°，180°，270°上分別加上k·360°，k∈Z就行了。

教師：k·360°，(k∈z)與k·360°+180°，k∈z是否可以寫成一個(gè)式子呢?

學(xué)生思考后發(fā)現(xiàn)可以寫成k·180°，k∈z，當(dāng)k取偶數(shù)時(shí)，終邊落在x軸的正半軸，當(dāng)k取奇數(shù)時(shí)，終邊落在x軸的負(fù)半軸，因此，終邊落在x軸上的角的集合為｜β｜β=k·180°，k∈z｜，讓學(xué)生課后推導(dǎo)終邊落在y軸上的角的集合。

3.課后小結(jié)

多媒體顯示內(nèi)容設(shè)計(jì)圖，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)整堂課的知識(shí)點(diǎn)以及知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯聯(lián)系形成整體認(rèn)識(shí)，這堂課主要從兩個(gè)方面研究了角：一方面從旋轉(zhuǎn)的方向重新定義了角，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)為正角，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)角，不旋轉(zhuǎn)為零角；另一方面把角放在直角坐標(biāo)系內(nèi)來(lái)討論，根據(jù)角的終邊在坐標(biāo)系中位置的不同，先后研究了象限角、軸線角，在研究這兩種角的過(guò)程中我們又發(fā)現(xiàn)和討論了終邊相同的角的概念以及表示方法。

教學(xué)反思 《三角函數(shù)》一章是歷年學(xué)生認(rèn)為最難學(xué)的章節(jié)之一，不僅因?yàn)檫@章公式眾多，而且因?yàn)楦鱾€(gè)知識(shí)點(diǎn)之間邏輯聯(lián)系緊密，前后知識(shí)環(huán)環(huán)相扣，因此從開始學(xué)習(xí)第一節(jié)的時(shí)候就要注意讓學(xué)生打好基礎(chǔ)，在確保理解每一個(gè)概念，掌握每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)教師講課中的邏輯讓學(xué)生對(duì)整個(gè)內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系心中有數(shù)，以便將來(lái)對(duì)整章內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系也清楚明白。