利用概率方法證明數(shù)學(xué)命題

摘要:概率方法的應(yīng)用已成為概率論的一個(gè)很新穎的方向。下文利用概率方法證明了其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一些數(shù)學(xué)命題，例如代數(shù)恒等式、組合恒等式和積分不等式等等。

關(guān)鍵詞:概率方法;數(shù)學(xué)證明;隨機(jī)模型

20世紀(jì)以來，起源于機(jī)會(huì)游戲的概率論飛速發(fā)展，已經(jīng)成為一門理論嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)科學(xué)。其內(nèi)容豐富，結(jié)論深刻，趣味性濃厚，有獨(dú)特的思想和方法。并且概率論的應(yīng)用很廣泛，其中運(yùn)用概率論的思想方法來解決其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問題已成為概率論的一個(gè)很新穎的方向。下文將利用概率方法證明其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一些數(shù)學(xué)命題。例如利用概率方法證明代數(shù)恒等式、組合恒等式和積分不等式等。利用概率方法的關(guān)鍵，是根據(jù)不同的數(shù)學(xué)問題，巧妙建立隨機(jī)模型，然后利用概率論中的相關(guān)知識(shí)來解決該數(shù)學(xué)問題。

一、 利用概率方法證明一些代數(shù)恒等式

例1:求證:1+++#8226;#8226;#8226;+=.證明:建立隨機(jī)模型，假設(shè)口袋中有N個(gè)球，其中m個(gè)為白球，從中每次取出一球，不放回。令A(yù)=“遲早取到白球”，則有P(A)=1。令 A=“前i次取球，只有第i次取出的球?yàn)榘浊颉保琲=1，2，3#8226;#8226;#8226;N+m-1，則有P(A)=P(A)=P(A)==+++#8226;#8226;#8226;+.故++#8226;#8226;#8226;+=1.所以，1+++#8226;#8226;#8226;+=.

二、 利用概率方法證明一些組合恒等式

例2 :求證CCC=C，s=0，1，2，#8226;#8226;#8226;，n+n+n.證明:建立隨機(jī)模型:設(shè)~b(n，p)，i=1，2，3且，，相互獨(dú)立，記1-p=q，則有P(++=s)=P(=k，=k，=s-k-k)=P(=k)P(=k)P(=s-k-k) =CpqCpqCpq=CCCpq，s=0，1，2，#8226;#8226;#8226;，n+n+n.另一方面，可以認(rèn)為是n+n+n重貝努里試驗(yàn)中前n次試驗(yàn)中成功次數(shù)，是第n+1次到n+n次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，為從第n+n+1次到n+n+n次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，所以，++~b(n+n+n，p).故P(++=s)=Cpq，s=0，1，2，#8226;#8226;#8226;，n+n+n所以CCC=C，s=0，1，2，#8226;#8226;#8226;，n+n+n

三、 利用概率方法求級(jí)數(shù)的和

例3 :求證:e=. 證明:建立隨機(jī)模型:設(shè)#8226;#8226;#8226;為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且P(=k)=e，即~P(1). 根據(jù)泊松分布的可加性，所以，~P(n)則 P(=k)=e，k=0，1，2，#8226;#8226;#8226;.而E()=n，D()=n.由中心極限定理，得P≤0=P≤0=P≤n=P(=k)=e=edt=.

例4 :求證:=1.證明:建立隨機(jī)模型:令E是只有兩個(gè)基本事件A與的隨機(jī)試驗(yàn)，試驗(yàn)E獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行可列無限多次，在第n次試驗(yàn)中，A出現(xiàn)的概率為，不出現(xiàn)的概率為1-=.設(shè)B=“A首次出現(xiàn)在第n次試驗(yàn)中”，則=“A在所用試驗(yàn)中都沒發(fā)生”.P(B)=#8226;#8226;#8226;#8226;#8226;#8226;=，P===0.故 P(B)=P(B)==1.

四、 利用概率方法證明積分不等式

例5: 設(shè)?漬(x)，p(x)在(a，b)上可積，且?漬(x)有界，p(x)>0，g(x)是(a，b)上的凹函數(shù)，證明:g()≤.證明:建立隨機(jī)模型:設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量的密度函數(shù)為f(x)=，x∈(a，b).顯然f(x)滿足f(x)dx=1， 且f(x)非負(fù).又設(shè)?濁=?漬()，所以E(?漬())=?漬(x)f(x)dx=?漬(x)dx=.而E(g(?漬()))=g(?漬(x))f(x)dx=g(?漬(x))dx=.因?yàn)間(x)是(a，b)上的凹函數(shù)，由Jessen不等式得，g(E(?漬(x)))≤E(g(?漬()))，故g()≤.

五、 利用概率方法證明積分的極限

例6:設(shè)G=(x，x，x，#8226;#8226;#8226;，x):x+x+#8226;#8226;#8226;+x≤，0≤x，x，x，#8226;#8226;#8226;，x≤1.

證明:?驀∫dxdx#8226;#8226;#8226;dx=1.證明:建立隨機(jī)模型:設(shè)隨機(jī)變量(n=1，2…)在[0，1]上服從均勻分布，且相互獨(dú)立，則有E()=，E()=，(n=1，2…).?驀∫dxdx#8226;#8226;#8226;dx=P((，，…，)∈G)=P(++…+≤)=P((++…+)≤)=P((++…+)-E()≤)≥P(-E()≤).由于，，…，，#8226;#8226;#8226;獨(dú)立同分布，所以，，#8226;#8226;#8226;，，#8226;#8226;#8226;也獨(dú)立同分布.由辛欽大數(shù)定律，得P(-E()≤)=1.由于1≥?驀 ∫dxdx…dx≥P(-E()≤)=1，所以?驀∫dxdx#8226;#8226;#8226;dx=1.

六、 利用概率方法證明數(shù)學(xué)中的一些重要定理

例7: 設(shè)a≥0(i=1，2，3，…，n)，則 a≤a.證明:建立隨機(jī)模型:設(shè)隨機(jī)變量的分布列為P(=a)=，(i=1，2，3，…，n).由Jessen不等式得 E (ln)≤ln(E).則lna≤ln，即a≤a.

參考文獻(xiàn):

[1]茆詩(shī)松.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京:高等教育出版社，2004.

[2]嚴(yán)士健.測(cè)度與概率[M].北京:北京師范大學(xué)出版社，2003.

(1.臺(tái)前縣第一高級(jí)中學(xué)，2.安陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院)