學(xué)好幾何的關(guān)鍵是理解概念

許多學(xué)生常常發(fā)出這樣的感嘆:“幾何，幾何，老師難教，學(xué)生難學(xué)。”其實(shí)幾何并不難學(xué)，它是一門很有趣味的數(shù)學(xué)分科。為什么有的學(xué)生會(huì)感到如此“難”呢?其根本原因是學(xué)生沒(méi)有學(xué)好幾何的基本概念。

幾何學(xué)是一座建立在一系列的概念和公理、定理之上的“高樓大廈”。課本的開頭部分概念很多，掌握好這些概念就像給這座大廈打好地基一樣重要。學(xué)習(xí)幾何概念要注意理解它的實(shí)質(zhì)，千萬(wàn)不要只是死記硬背，理解其意。具體地說(shuō)，學(xué)習(xí)的每一個(gè)概念都應(yīng)該做到以下幾個(gè)方面。

一、要會(huì)描述

學(xué)生要先弄清概念的三個(gè)方面:①定義——對(duì)概念的判斷;②圖形——對(duì)定義的直觀形象描繪;③表達(dá)方法——對(duì)定義本質(zhì)屬性的反映。學(xué)生要注意概念間的聯(lián)系和區(qū)別，在理解的基礎(chǔ)上記住公理、定理、法則、性質(zhì)。就是能正確地?cái)⑹龈拍畹亩x。幾何概念是幾何圖形本質(zhì)屬性的思維形式。概念和詞語(yǔ)是密切聯(lián)系著的，詞語(yǔ)是概念的語(yǔ)言形式，概念是詞語(yǔ)的思想內(nèi)容，兩者緊密聯(lián)系、不可分割，但是，概念和詞語(yǔ)之間并不是一一對(duì)應(yīng)的。這是因?yàn)椴皇撬械脑~語(yǔ)都能表達(dá)概念的(如虛詞);同一個(gè)概念可以用不同的詞語(yǔ)表達(dá)(如“等邊三角形”和“正三角形”表示的是同一個(gè)概念)。我們要在掌握概念本質(zhì)含義的前提下，去對(duì)它下定義、去表達(dá)它，切不可死記硬背書本上或老師給出的敘述性語(yǔ)句，而應(yīng)該用我們自己的語(yǔ)言去準(zhǔn)確地表述。當(dāng)然，課本上所給出的定義，通常是準(zhǔn)確而簡(jiǎn)潔的，對(duì)這些內(nèi)容要努力將其吸收轉(zhuǎn)化成自己的語(yǔ)言。

二、會(huì)畫圖

學(xué)生要學(xué)好幾何語(yǔ)言。幾何語(yǔ)言又分為文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言，幾何語(yǔ)言總是和圖形相聯(lián)系。如文字語(yǔ)言:∠1和∠2互為補(bǔ)角，符號(hào)語(yǔ)言:∠1+∠2=180°或∠1=180°-∠2，或∠2=180°-∠1。就是能畫出表示概念的圖形(包括變式圖形)，熟練地掌握概念的標(biāo)注和讀法，平面幾何是研究平面圖形的科學(xué)，學(xué)習(xí)平面幾何當(dāng)然離不開幾何圖形。所畫的圖形應(yīng)十分準(zhǔn)確，才能客觀地反映概念所揭示的本質(zhì)含義，才便于我們?nèi)ヌ剿髡撟C。對(duì)概念的標(biāo)注的讀法，要規(guī)范。一些約定俗成的“規(guī)矩”，我們必須嚴(yán)格遵循(如標(biāo)注點(diǎn)，要用大寫的英文字母，等等)。

三、會(huì)識(shí)圖

因?yàn)椤翱础笔俏罢f(shuō)”是表達(dá)，看是說(shuō)的基礎(chǔ)，只有看得清楚，才會(huì)理解得透，看懂已知條件和結(jié)論的關(guān)系。幾何的證明重在根據(jù)圖形的特點(diǎn)結(jié)合已知條件和要達(dá)到的目的進(jìn)行推理。學(xué)生通過(guò)直觀思維，可以根據(jù)書上的圖形，動(dòng)手動(dòng)腦用硬紙板、竹片等做些圖形，詳細(xì)進(jìn)行觀察分析。這樣既可幫助學(xué)生加深對(duì)書本定理、性質(zhì)的理解，進(jìn)行直觀思維，又可逐步培養(yǎng)觀察力，能在復(fù)雜圖形中正確地識(shí)別表示某個(gè)概念的那部分基本圖形，也能把幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形組合成一個(gè)較復(fù)雜的圖形。

四、會(huì)翻譯

學(xué)生要富于想象。有的問(wèn)題既要憑借圖形，又要進(jìn)行抽象思維。比如，幾何中的“點(diǎn)”沒(méi)有大小，只有位置。現(xiàn)實(shí)生活中的點(diǎn)和實(shí)際畫出來(lái)的點(diǎn)就有大小。所以說(shuō)，幾何中的“點(diǎn)”只存在于大腦思維中。“直線”也是如此，直線可以無(wú)限延伸，誰(shuí)能把直線畫到火星、再畫到銀河系、再畫到廣闊的宇宙中去呢?直線也只存在于人們的大腦思維中就是能對(duì)概念的文字語(yǔ)言與結(jié)合圖形的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行互譯，幾何語(yǔ)言非常精煉、嚴(yán)謹(jǐn)，邏輯性很強(qiáng)，每一句話都有相應(yīng)的“圖”與“式”，語(yǔ)、圖、式三者之間要根據(jù)需要相互轉(zhuǎn)化。

五、會(huì)應(yīng)用

學(xué)生要邊學(xué)習(xí)、邊總結(jié)、邊提高。幾何較之其他學(xué)科，系統(tǒng)性更強(qiáng)，學(xué)生要把自己學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行歸納、整理、概括、總結(jié)。比如證明兩條直線平行，除了利用定義證明外，還有哪些證明方法?兩條直線平行后，又具備什么性質(zhì)?在現(xiàn)實(shí)生活中，哪些地方利用了平行線?只要細(xì)心觀察，不難發(fā)現(xiàn)，教室墻壁兩邊邊緣，門框、桌、凳、玻璃板、書頁(yè)、火柴盒，大部分包裝盒……處處存在著平行線。學(xué)生要能運(yùn)用概念進(jìn)行簡(jiǎn)單的判斷、推理和計(jì)算。要牢固地掌握概念，一靠理解，二靠運(yùn)用。要在運(yùn)用中強(qiáng)化和鞏固概念，進(jìn)而形成概念系統(tǒng)。

例如，解答“已知一個(gè)等腰三角形兩條邊的長(zhǎng)分別是5和8，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)”這一問(wèn)題時(shí)，學(xué)生首先要明確“有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形”這一概念，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行分類:當(dāng)腰長(zhǎng)為5，底為8時(shí)三角形的周長(zhǎng)為5×2+8=18;當(dāng)腰長(zhǎng)為8，底為5時(shí)三角形的周長(zhǎng)為8×2+5=21。學(xué)生通過(guò)這樣的運(yùn)用，不僅能牢固掌握概念，而且能豐富和完善想象，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。又如，我們要證明兩條線段相等，可以歸納出來(lái)以下途徑:(1)利用全等三角形;(2)利用等腰三角形的性質(zhì);(3)利用平行線等分線段定理的推論;(4)利用直角三角形斜邊中點(diǎn)的性質(zhì);(5)利用垂直平分線上的點(diǎn)的性質(zhì);(6)角平分線的性質(zhì);(7)利用平行四邊形、矩形、菱形、正方形等性質(zhì)的運(yùn)用。

只要學(xué)生認(rèn)真學(xué)習(xí)，注意聽講，勤于思考，獨(dú)立完成作業(yè)，在學(xué)習(xí)過(guò)程發(fā)揮自己的主動(dòng)性，敢于發(fā)表自己的意見，感于標(biāo)新立異，追跟問(wèn)底，就一定能由愿學(xué)、樂(lè)學(xué)、學(xué)會(huì)到會(huì)學(xué)，思維能力得到提高，開發(fā)了創(chuàng)造潛能，使自己真正成為學(xué)習(xí)上的主人。