抽象函數(shù)問題持“熱”不“冷”

摘 要: 抽象函數(shù)課本上沒有專門研究，今后新課標(biāo)高考對函數(shù)知識的考查有可能進(jìn)一步抽象化、深刻化，重視對抽象函數(shù)的考查，故在復(fù)習(xí)中要予以重視。近幾年來圍繞抽象函數(shù)命題，大題、小題均有出現(xiàn)，考查的熱點(diǎn)是函數(shù)的定義域、奇偶性、周期性、賦值法，以及抽象函數(shù)背景的綜合問題等方面，本文為大家分析高考命題趨勢，幫助復(fù)習(xí)抽象函數(shù)有關(guān)問題。

關(guān)鍵詞: 新課標(biāo) 抽象函數(shù) 考查

所謂抽象函數(shù)是指未給出表示函數(shù)關(guān)系的具體表達(dá)式，而僅用記號f()表示的一類函數(shù)，課本上沒有專門研究，而目前的高考越來越加大素質(zhì)能力的考查，故今后新課標(biāo)高考對函數(shù)知識的考查有可能進(jìn)一步抽象化、深刻化，從數(shù)學(xué)具有高度抽象性的特點(diǎn)出發(fā)，也要重視對抽象函數(shù)的考查，故在復(fù)習(xí)中要予以重視。近幾年來圍繞抽象函數(shù)命題，大題、小題均有出現(xiàn)，而以小題形式出現(xiàn)居多，來考查函數(shù)概念及有關(guān)性質(zhì)，考查的熱點(diǎn)是函數(shù)的定義域、奇偶性、周期性、賦值法，以及抽象函數(shù)背景的綜合問題等方面。下面以近兩年高考中小題為例，幫助大家復(fù)習(xí)抽象函數(shù)有關(guān)問題。

1.考查函數(shù)的定義域

例1.(2008江西卷文3)若函數(shù)y=f(x)的定義域是[0，2]，則函數(shù)g(x)=的定義域是()。

A.[0，1]B.[0，1)C.[0，1)∪(1，4]D.(0，1)

解析:因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閇0，2]，所以對g(x)有0≤2x≤2但x≠1，所以x∈[0，1)，故答案選B。

點(diǎn)評:函數(shù)的定義域及其求法是近幾年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一。解決本題的關(guān)鍵是如何利用已知函數(shù)y=f(x)的定義域是[0，2]來求函數(shù)y=f(2x)的定義域。還可以思考若已知函數(shù)y=f(2x)的定義域是[0，2]如何來求函數(shù)y=f(x)的定義域。

2.考查函數(shù)的值域

例2.(2008江西卷3)若函數(shù)y=f(x)的值域是[，3]，則函數(shù)F(x)=f(x)+的值域是()。

A.[，3]B.[2，]C.[，] D.[3，]

解析:令t=f(x)，y=t+在(0，1)上遞減，(1，+∞)上遞增，故在[，1]上遞減，[1，3]上遞增，而f()=，f(1)=2，f(3)=，所以值域是[2，]，故答案選B。

點(diǎn)評:通過換元化抽象為具體，利用解決具體問題達(dá)到解決問題的目的。

3.考查函數(shù)的奇偶性

例3.(2009全國卷Ⅰ理11)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，則()。

(A)f(x)是偶函數(shù) (B)f(x)是奇函數(shù)

(C)f(x)=f(x+2)(D)f(x+3)是奇函數(shù)

解析:∵f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，∴f(-x+1)=-f(x+1)，f(-x-1)=-f(x-1)，∴函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(1，0)及點(diǎn)(-1，0)對稱，函數(shù)f(x)是周期T=2[1-(-1)]=4的周期函數(shù)。∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4)，f(-x+3)=-f(x+3)，即f(x+3)是奇函數(shù)。故選D。

點(diǎn)評:對于抽象函數(shù)的奇偶性判定一般是用定義法，有時(shí)候可以選取特殊函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。如:(2007年全國卷理I)f(x)，g(x)是定義在R上的函數(shù)，h(x)=f(x)+g(x)，則“f(x)，g(x)均為偶函數(shù)”是“h(x)為偶函數(shù)”的條件。(答案:充分且不必要。可以選取兩個(gè)特殊函數(shù)h(x)=x，f(x)=x，g(x)=x-x，進(jìn)行驗(yàn)證。)

4.考查函數(shù)的周期性

例4.(2008四川卷文9)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)·f(x+2)=13，若f(1)=2，則f(99)=( )。

(A)13 (B) 2 (C) (D)

解析:由f(x)·f(x+2)=13，得f(x+2)·f(x+4)=13，所以f(x)=f(x+4)，則f(x)是以4為周期的函數(shù)，所以f(99)=f(3)，又由已知f(x)·f(x+2)=13，令x=1，得f(3)==，故答案選C。

點(diǎn)評:對于抽象函數(shù)的周期性判定一般也是用定義法。類似的如(2006年安徽卷)函數(shù)f(x)對于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f(x+2)=，若f(1)=-5，則f(f(5))=。(答案:-)

5.考查函數(shù)的圖像

例5.(2008福建卷理12)已知函數(shù)y=f(x)，y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如下圖，那么y=f(x)，y=g(x)的圖像可能是( )。

解析:從導(dǎo)函數(shù)的圖像可知兩個(gè)函數(shù)在x處斜率相同，可以排除B答案，再者導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值反映的是原函數(shù)的斜率大小，可明顯看出y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的值在減小，所以原函數(shù)應(yīng)該斜率慢慢變小，排除AC，最后就只有答案D了，可以驗(yàn)證y=g(x)。故選D。

6.考查賦值法

例6.(2008陜西卷理11)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x，y∈R)，f(1)=2，則f(-3)等于()。

A.2B.3C.6D.9

解析:由f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，得f(2)=f(1)+f(1)+2=6，

f(4)=f(2)+f(2)+8=20，f(1)=f(-3+4)=f(-3)+f(4)+2×(-3)×4，

得f(-3)=f(1)-f(4)-2×(-3)×4=6。故答案選C。

點(diǎn)評:賦值法是處理抽象函數(shù)的問題的常用手段。

7.考查抽象函數(shù)背景的綜合問題

例7.(2008全國一理9)設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(1)=0，則不等式<0的解集為( )。

A.(-1，0)∪(1，+∞)B.(-∞，-1)∪(0，1)

C.(-∞，-1)∪(1，+∞) D.(-1，0)∪(0，1)

解析:由奇函數(shù)f(x)可知=<0，而f(1)=8，則f(-1)=-f(1)=0，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0=f(1);當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0=f(-1)，又f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，則奇函數(shù)f(x)在(-∞，0)上為增函數(shù)，所以有0

點(diǎn)評:本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)，運(yùn)用化歸的數(shù)學(xué)思想和數(shù)形結(jié)合的思想解答問題。函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣。要深刻理解奇偶性和單調(diào)性的定義，掌握其判定方法，正確認(rèn)識單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖像，并學(xué)會利用其來解題。再如:

1.(2009山東卷文)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x-4)=-f(x)，且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，則()。

A.f(-25)

C.f(11)

解析:因?yàn)閒(x)滿足f(x-4)=-f(x)，所以f(x-8)=f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(-25)=f(-1)，f(80)=f(0)，f(11)=f(3)，又因?yàn)閒(x)在R上是奇函數(shù)，f(0)=0，得f(80)=f(0)=0，f(-25)=f(-1)=-f(1)，而由f(x-4)=-f(x)得f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1)，又因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，所以f(1)>f(0)=0，所以-f(1)<0，即f(-25)

2.(2008遼寧卷理12)設(shè)f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)f(x)是單調(diào)函數(shù)，則滿足f(x)=f的所有x之和為()。

A.-3B.3C.-8D.8

解析:由題意可知，x=，或x=-，即x+3x-3=0，或x+5x+3=0，不妨設(shè)這兩個(gè)二次方程的根分別為x，x，x，x，則有x+x=-3，x+x=-5，故x+x+x+x=-8。故答案選C。

例8.(2009山東卷理)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x-4)=-f(x)，且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間[-8，8]上有四個(gè)不同的根x，x，x，x，則x+x+x+x=。

解析:因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿足f(x-4)=-f(x)，所以f(x-4)=f(-x)，所以，由f(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖像關(guān)于直線x=2對稱且f(0)=0，由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，又因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[-2，0]上也是增函數(shù)。如圖所示，那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間[-8，8]上有四個(gè)不同的根x，x，x，x，不妨設(shè)x

點(diǎn)評:本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性，以及由函數(shù)圖像解決方程問題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解決問題。

另外，值得注意的是在解有關(guān)抽象函數(shù)問題時(shí)，我們可以根據(jù)題中的抽象函數(shù)關(guān)系式“類比”與某些函數(shù)相應(yīng)，并在這一猜想的思路引導(dǎo)下建模，可以使解題方向明確，從而少走彎路。如:①f(x+y)=f(x)+f(y)，可對應(yīng)正比例函數(shù)f(x)=kx(k為常數(shù))。②f(x+y)=f(x)f(y)，可對應(yīng)指數(shù)函數(shù)f(x)=a(a>0且a≠1)。