最大值原理在開放式捕魚中的應用

摘 要: 本文建立并分析了捕魚收獲模型，得到了正平衡點全局穩定的條件，給出了以最大可持續均衡收獲為目標的最優捕獲策略.將最優控制與生態學結合起來，把最大值原理運用于開放式捕魚的最優控制中，推導出了魚群的最優種群密度x和最優收獲率h。

關鍵詞: 開放式捕魚 最優種群密度 最優收獲率 龐特里亞金最大值原理

所謂開放式捕魚是指任何漁船都可以任意捕撈。當然，要使捕漁業有長期利潤，這需要考慮怎樣控制每年的捕魚量才能有利于魚的繁殖，使得在一定時間內魚的產量最高，也就是使捕漁業賺得的經濟收人總數為最大。為了討論這個問題，我們首先建立如下數學模型。

設F(x)表示一個給定單種群魚群的自然增長率，用h(t)表示收獲率，x為魚群的種群密度，t為時間，常數r>0稱為種群的內稟增長率，反映了物種內在的特性，k(k>0)反映了資源豐富的程度。當x=k時，種群的規模不再增大，因而k表示環境能容納此種群個體的最大規模，稱為環境容納量。

則魚群的增長函數為:=F(x)-h(t)(t≥0)(1)

賺得的經濟收人總數為:J=?蘩e[p-C(x)]dt(2)

其中，δ為經濟效益指標(折扣率)，p為所捕魚的單位價格，c(x)為單位成本函數。

所以原問題是要求一個最優收獲率h(t)來使經濟收總數J最大。用歐拉方程求解最優收獲率h(t)。設?準=e[p-C(x)][F(x)-x′]，那么由歐拉方程:

=·則可得到方程:F′(x)-=δ(3)

應用分析:

下面以H.S.Mohring近年來提出的太平洋大比目魚群的參數:r=0.68，K=78.3×10kg對Schaefer模型使用本文提出的最大值原理方法來研究一下關于捕魚的最優收獲問題。在最優控制問題中只有某些簡單的情況可以獲得解析解，而絕大多數情況都只能獲得數值解。在此為了能得出x和h的解析式以便具體分析問題，不妨假設每單位重量所賺錢為常數α>0，即P-C(x)=α。以下為所給的狀態系統。

狀態方程:

x′=rx(1-)-h(t)=0.68x(1-)-h(t)

=x(78.3×10-x)-h(t)，

目標函數J=?蘩αeh(t)dt。

解:設λ(t)為伴隨向量，則哈密頓函數為:

H=αeh(t)+λ(t)[]x(78.3×10-x)-h(t)]，

協態方程為:

λ′=-=-λ[](78.3×10-x)-x]

=[x-0.68]λ，

必要條件為:=αe-λ=0?圯λ=αe。

由于這是一個奇異控制問題，則要想使目標函數取最大值，還應滿足Legendre-Clebsch條件(此條件僅為必要條件)。

()=-αδe-λ′=αδe-[x-0.68]λ=0(10)

[()]=0，

()=αδe-x′λ-[x-0.68]λ′

=αδe-×αe[x(78.3×10-x)-h(t)]-[x-0.68]×αe=0，(11)

[()]=×αe>0。

由(9)式和(10)式可知:

-αδe-[x-0.68]×αe=0?圯x=。(12)

由(11)式可知:

h=×78.3×10。(13)

由(12)式可以看出，當δ=0時，產生一個最優種群密度x=39.15×10kg，且產生了最大經濟產量h=13.311×10kg。隨著δ的上升，最優種群密度x下降，當δ>0.68，即折扣率δ大于內稟生長率r時，那么最優種群密度x=0，在這種情況下，最優收獲策略會使資源種群快速滅絕。所以，要使捕漁業獲得長期利潤，折扣率必須滿足0<δ<0.68。

參考文獻:

[1]龐特里雅金等著.陳祖浩等譯.最佳過程的數學理論.上海:上海科學技術出版社，1965.

[2]陳蘭蓀.數學生態模型與研究方法[M].北京:科學出版社，1988.