用函數(shù)的思想解有關(guān)不等式恒成立的問題

不等式是現(xiàn)實世界中同類量不等關(guān)系在數(shù)學(xué)上的反映，是等式方程函數(shù)等數(shù)學(xué)內(nèi)容的引申。它是高中數(shù)學(xué)的一個難點。有關(guān)不等式恒成立的一些問題常常會使一些學(xué)生感到無從下手。我就結(jié)合一道上海高考題來談?wù)勥@類問題的解法。

引例:

(2006上海卷)三個同學(xué)對問題“關(guān)于x的不等式x+25|x-5x|≥ax在x∈[1，12]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍”提出各自的解題思路。

甲說:“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值?！?/p>

乙說:“把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值。”

丙說:“把不等式兩邊看成關(guān)于x的函數(shù)，作出函數(shù)圖像?！?/p>

參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問題的正確結(jié)論，即a的取值范圍是?搖?搖?搖?搖。

題中三位同學(xué)的發(fā)言都是應(yīng)用了函數(shù)的思想，把不等式恒成立的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題加以解決，從而使問題簡單。而這類問題大多數(shù)都是用這三種思路去解。

方法1:轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，分別求兩邊的最值，使不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值，或者使不等式左邊的最大值不大于右邊的最小值。

f(x)≥g(y)恒成立?圳f(x)≥g(y)。

例1:設(shè)f(x)=，求證:對于任意的實數(shù)a、b，恒有f(a)

證明:∵f(a)===，

而2+≥2=4(當(dāng)且僅當(dāng)2=即2=2時等號成立)，

∴f(a)≤=。

∴f(a)=。

又∵b-3b+3=(b-)+≥，

∴(b-3b+3)=。

故對于任意的實數(shù)a，b，恒有f(a)

方法2:把不等式變形為一邊含變量的函數(shù)，另一邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值。

例2:(2006陜西卷)已知不等式(x+y)(+)≥9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為()。

A.2B.4C.6D.8

解析:不等式(x+y)(+)≥9對任意正實數(shù)x，y恒成立，

∴[(x+y)(+)]≥9，(x+y)(+)=1+a++≥a+2+1，a+2+1≥9，

∴≥2或≤-4(舍去)，

所以正實數(shù)a的最小值為4，選B。

例3:引例

解:由x+25+|x-5x|≥ax，(1≤x≤12)得:a≤x++|x-5x|，

而x+≥2=10，當(dāng)且僅當(dāng)x=5∈[1，12]時等號成立;且x=5時，|x-5x|正好取最小值0;[x++|x-5x|]=10所以a≤[x++|x-5x|]=10，當(dāng)且僅當(dāng)x=5∈[1，12]時等號成立;故a∈(-∞，10]。

例4:定義在(-∞，3]上的減函數(shù)f(x)使得f(a-sinx)≤f(a+1+cosx)對一切x∈R成立，求實數(shù)a的取值范圍。

解:∵f(x)是定義在(-∞，3]上的減函數(shù)，

且f(a-sinx)≤f(a+1+cosx)對一切x∈R成立，

∴a-sinx≤3a+1+cosx≤3a-sinx≥a+1+cosx對x∈R恒成立

即a≤3+sinxa≤2-cosxa-a≥cosx+sinx+1對x∈R恒成立

∵x∈R，

∴(3+sinx)=2，

(2-cosx)=1。

而cosx+sinx+1=-sinx+sinx+2=-(sinx-)+，

∴(cosx+sinx+1)=。

∴a≤2a≤1a-a≥，

∴-≤a≤a≤1a≥或a≤，

∴-≤a≤。

∴a的取值范圍是-≤a≤。

方法3:把不等式兩邊看成關(guān)于x的函數(shù)，作出函數(shù)圖像。

f(x)≥g(x)恒成立?圳y=f(x)的圖像位于y=g(x)的圖像的上方;

f(x)≤g(x)恒成立?圳y=f(x)的圖像位于y=g(x)的圖像的下方;

特別地g(x)=0時，g(x)=0的圖像就是x軸;

f(x)≥0恒成立?圳y=f(x)的圖像位于x軸的上方;

f(x)≤0恒成立?圳y=f(x)的圖像位于x軸的下方。

例5:若對于任意的x∈(0，1)，恒有2x+(a+1)x-a(a-1)<0成立，求a的取值范圍。

解:設(shè)f(x)=2x+(a+1)x-a(a-1)，

則f(x)=2x+(a+1)x-a(a-1)在x∈(0，1)的圖像在x軸的下方，其圖像如圖所示:

則f(0)≤0f(1)≤0，即-a(a-1)≤02+(a+1)-a(a-1)≤0 。

∴a-a≥0a-2a-3≥0，

∴a≤0或a≥1a≤-1或a≥3，

∴a≤-1或a≥3。

例6:已知不等式x+|x-2c|>1恒成立，求c的取值范圍。

解:x+|x-2c|>1恒成立?圯|x-2c|>1-x恒成立，

y=|x-2c|的圖像應(yīng)位于y=1-x的圖像的上方，如圖:

∴2c>1，∴c>。

另解:用思路二。

設(shè)y=x+|x-2c|，

則y=x+|x-2c|=2x-2c(x≥2c)2c(x<2c)。

∴當(dāng)x≥2c時，y=2c，

當(dāng)x<2c時，y=2c，

∴y=2c，∴2c>1，∴c>。

總之，解決有關(guān)不等式恒成立的實際問題時，我們首先應(yīng)認(rèn)真閱讀題目、理解題目的意義，注意題目中的關(guān)鍵詞和有關(guān)信息，根據(jù)上面介紹的方法，應(yīng)用函數(shù)的有關(guān)知識加以解決。