“轉化與化歸思想”在初中數學的應用

在中學數學中，很多要解決的數學問題，直接求解較為困難。若通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，選擇運用恰當的數學方法進行變換，將原問題轉化為一個新問題(或者說，轉化為比較熟悉的問題)，通過新問題的求解，從而解決了原問題，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉化的思想方法”。

化歸與轉化思想的實質是揭示聯系、實現轉化。除極簡單的數學問題外，每個數學問題的解決都是通過轉化為已知的問題實現的。從這個意義上講，解決數學問題就是從未知向已知轉化的過程。化歸與轉化的思想是解決數學問題的根本思想，解題的過程實際上就是一步步轉化的過程。數學中的轉化比比皆是，如未知向已知轉化，復雜問題向簡單問題轉化，新知識向舊知識的轉化，數與形的轉化，多元向一元轉化，函數與方程的轉化等，都是轉化思想的體現。

1.復雜向簡單的轉化

將比較復雜的問題化歸為比較簡單的問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據，即簡單化原則。

例1:如圖1，在高2米，坡角為30°的樓梯表面鋪上地毯，地毯至少需要多少米長?

解:連結AB，

在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=2。

∴AC=BC·ctg30°=2

∴地毯的長度至少需要(2+2)米。

分析:若先求鋪在各級臺階上的地毯的長度，再求和，不知道每級臺階的寬度和高度，好像非明智之舉。現在有很多含30°角的小直角三角形，且樓梯的高度已知，大膽猜測:能否把這些小直角三角形轉化成一個大的直角三角形。通過再思考后發現，利用平移的方法，從整體上考慮，各臺階的寬度之和等于AC的長，各臺階的高度之和等于BC的長，所以只需求出AC+BC的長度就確定了地毯的最小長度。

本題中題目的條件及需要解決的對象比較分散，難以進行研究，我們可經過大膽的猜測后，把分散的問題轉化為整體形式加以研究，達到事半功倍之效。

例2:如圖2，AB為半圓O的直徑，C為AO的中點，CD⊥AB交半圓于點D，以C為圓心，CD為半徑畫弧交AB于點E，若。

∵AB為半圓O的直徑，AB=8cm，

OA=OD=OB=4cm，

又∵C為AO中點，

∴OC=2cm。

∵CD⊥AB，

∴∠OCD=90°。

分析:這里要求的陰影部分是個不規則的圖形，不妨大膽嘗試，想辦法把不規則圖形化歸為規則圖形，然后求其面積的和或差。

本題圖形比較復雜，我們經過猜測、嘗試后可以把它化歸成幾個比較簡單的小問題去逐個擊破，化復雜為簡單，從而達到解決問題的功效。

2.未知向已知的轉化

將未知的問題轉化為已知的問題，有利于我們用熟知的知識、經驗來解決問題，即熟悉化原則。

分析:題目的條件中所含的是字母x的一次式，而所求的結論中是x的四次式，因次我們可以通過降次，由未知向已知轉化;當然，本題也可通過升次，由已知向未知轉化，讀者不妨自己試試。

解:方程兩邊同乘以最簡公分母(x-5)(x+5)，

得:x+5=10，

解得:x=5。

檢驗:將x=5代入x-25的值都為0，相應分式無意義。所以x=5不是原分式方程的解。

分析:在學習解分式方程時，我們是把要學習的新知識轉化為熟悉的解整式方程的問題來解決。

3.抽象向直觀的轉化

將比較抽象的問題轉化為比較直觀的問題解決。利用“形”的直觀來研究較為抽象的數之間的關系，即直觀化原則。

解:方法一:

則x=3k，y=-4k，z=7k，代入原式，

分析:消去未知數是解題的常見思路，常見的方法有代入消元和加減消元，本問題可采用“設k法”，表面上看似增加了未知數的個數，實際上找到了新的等量關系，如x=3k等，設參與消參的轉化達到了化多元為一元的目的，使問題順利求解。

4.函數與方程的轉化

函數與方程的相互轉化思想就是將數學中的函數問題轉化為方程或方程組問題，通過解方程(或方程組)或者運用方程的性質來分析、轉化問題，使問題得以解決。

解:當m+6=0即m=-6時，

方程化為-14x=5是一元一次方程，必有實數根，即函數的圖像與x軸有交點。

當m=6≠0，即m≠-6時，方程為一元一次方程。

分析:這是一個函數問題，可以根據函數與方程的聯系，把它轉化為:已知關于x的方程(m+6)x2(m-1)x+(m+1)=0總有實數根，即可求出m的取值范圍。

轉化化歸的思想是數學中最基本的思想方式。在中學階段，幾乎每一個題目都要用到這一思想方法。通過自己的教學實踐，我深深體會到:任何一種方法都滲透數學的轉化思想，解決眾多數學問題轉化思想都起著其它思想不能代替的作用。知識轉化的過程，就是學生思維能力得到培養的過程。學生的能力會伴隨知識的相互轉移，自覺或不自覺地得到提高。在教學中，我們不僅從宏觀上要給予注意，而且要把這種思想貫穿于始終。在用化歸思想解題的過程中，大膽而合理的假設往往能幫助我們發現化歸的目標，找到解決問題的途徑，做到讓學生數學地思維，從而更好地培養學生的創造性思維能力。不管學生將來從事什么工作，數學的轉化思想方法都會深深地銘刻在頭腦中，并在長遠的學習、工作、生活中發揮積極作用，使他們終生受益。

參考文獻:

[1]彭光明著.數學教學方法思考與探究[M].北京大學出版社，2008.

[2]虞關壽.運用化歸思想解題應把握的幾個基本原則[J].數學教學通訊，2005.12.