中學數學應用問題與數學建模的差異

一、什么是數學建模

數學建模是對于現實世界的一個特定的對象，為了一個特定的目的，根據特有的內在規律，作出一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。從廣義上說，數學模型是從現實世界抽象出來的，是對客觀事物的某些屬性的一個近似反映。例如:數學中的各種概念、公式、方程式、理論體系與算法系統等，因為它們都是現實世界的原型抽象出來的，因而都是現實世界的數學模型。從狹義上說，只有反映特定問題或特定的具體事物系統的數學結構才叫數學模型。在應用數學中，數學模型一般指狹義的理解，目的在于解決具體的實際問題。

二、建模的方法

數學的方法很多，但從理論上講，主要有以下兩種方法:機理建模方法:利用物理、化學、生物學、經濟學、社會學原理建立起數學模型的方法。系統辨識建模方法:直接利用觀察數據，根據一定的優良性準則在模型集中找出與數據擬合得最好的模型。這種方法在建立過程控制模型中是常用的。

三、數學建模的一般步驟

數學建模乍一聽似乎很高深，但實際上并非如此。例如，在中學的數學課程中，我們在做應用題而列出的數學式子就是簡單的數學模型，而做題的過程就是在進行簡單的數學建模。下面我們用一道代數應用題求解過程來說明數學建模的步驟。例題:一個籠子里裝有雞和兔若干只，已知它們共有8個頭和22只腳，問該籠子中有多少只雞和多少只兔?

解:設籠中有雞x只，有兔y只，由已知條件有:

x+y=82x+4y=22。

求解如上二元方程組后，解得x=5，y=3，即該籠子中有雞5只，有兔3只。將此結果代入原題進行驗證可知:所求結果正確。根據例題可以得出如下的數學建模步驟。

1.建模準備。要求建模者深刻了解實際問題的背景，明確建模的目的，進行深入細微的調查研究，盡量掌握建模對象的各種信息和數據，找尋實際問題的內在規律。

2.作假設。現實問題涉及面廣，數學模型不能面面俱到，應該把實際問題適當地簡單化或理想化。這就必須作一定的假設，注意假設應該符合實際背景。

3.建立模型。根據問題的要求和假設，利用恰當的數學方法建立各種量之間的數學關系。建立數學模型時應使用何種方法，應視實際問題而定。

4.模型求解。包括求解各種類型的方程，大多數模型求解需要利用計算機計算，求解還包括畫圖、列表和證明定理，以及制作計算機軟件，等等。

5.討論和驗證。根據模型的特點和模型求解結果，進行分析討論，如算法的穩定性、精度影響。根據計算結果對問題作出解答、預測或提供最優決策和控制方案，最后將模型的結果與實際情況相比較，檢驗模型是否合理，說明模型的使用范圍及注意事項。

6.模型的應用。把得到的數學模型應用到實際問題中去。建立模型是一個過程，不是一種死板的步驟，如果在討論和驗證時發現模型確實合理，當然可將模型投入應用，如果發現模型不合理，那就必須修改，重新建模，重新求解，再作驗證，這一過程可以循環往復，直到獲得滿意的結果為止。

四、中學數學應用問題與數學建模的差異

中學數學應用問題與數學建模都是為了培養學生應用數學解決實際問題的能力，從步驟上看也有許多相似之處，然而兩者都有著層次上的差別，存在著質的差異。

1.中學數學應用問題是數學專家和命題者經過精心加工提煉出來的，問題比較明確，問題中給出的條件一般是充分的。而數學建模的問題直接來自實際，問題中的條件往往是不充分的，有時甚至要求學生自己動手來收集數據。

2.在數學建模過程中為了使問題更明確，作一定的假設是必須的，然而在解決中學數學應用題時，一般不需要假設。

3.數學建模的討論與論證，比解中學數學應用問題的驗證要復雜得多。不僅要驗證是否有增根或不符題意的根，而且要考查他們與假設是否矛盾，與實際情況是否吻合等。

4.中學數學應用問題只要求寫出答案，而數學建模需要寫一篇報告文章來總結。

5.數學建模比中學數學應用問題更能貼近日常生活和生產實際，具有更高的科研價值。有這樣一個例子:一池塘兩端有A、B兩點，要測量AB的長有什么辦法?首先我讓大家思考，想辦法。有的說用尺子量，有的說坐在船上把尺子牽到對岸，等等。首先，我對他們的回答作出了肯定，但又指出其不足。我問:“如果尺子沒有這么長，池塘中怎么能用船?還有沒有其他更好的方法呢?”學生又積極思考，積極討論。我又進一步提示:“要是能將AB這條線段移到岸上就好了。該怎么移呢?可以用什么知識呢?”此時，反應快的學生馬上想到了三角形全等……于是，我一步步地將學生從實踐問題引入到數學知識。我們可以在岸邊任取一點O，在連接AO，并延長到C，使AO=CO，連接BO，并延長到D，使BO=DO，然后連接CD，那么CD的長就是AB的長。你能知道為什么嗎?這樣建立了數學模型以后，絕大部分學生都已找到了結論，然后利用某一個實踐，讓學生親自體驗一下，嘗一嘗數學的樂趣，而且數學建模的思想、實踐能力都得到了進一步的提高，調動了學生的非智力因素，潛移默化地培養了學生的學習積極性。

五、中學數學應用問題與數學建模的差異給我們的反思

中學數學應用問題與數學建模的教學影響是深遠的，隨著中學數學應用問題與數學建模的教學的逐步實施，數學知識應用競賽的逐年開展，其深刻影響將逐步顯現出來。

1.中學數學應用問題與數學建模的教學推動了數學教學改革。過去那種封閉式的題海教學方法將受到越來越大的沖擊，數學建模教學給中學數學應用問題教學指明了方向。數學建模教學要求學生掌握觀察事物、歸結數學問題的能力。這種能力的培養是與21世紀的科技發展相適應的，而且是必需的。一些滲透數學建模思想的試題也在各類升學考試中出現，推動了數學教材教法的改革。

2.中學數學應用問題與數學建模的教學是一種素質教育。相當多的學生對用數學解決實際問題，比做純粹的數學題更有興趣、更有積極性。數學建模競賽要求學生具有協作精神，能互相配合、克服困難，這正是現代科學研究中要求和提倡的團隊精神。中學數學應用問題與數學建模的教學還能逐步培養學生做學問，善于思考的品質。中學數學應用問題的教學與數學建模正好是學數學、做數學、用數學的過程，它體現了學和用的統一。

3.中學數學應用問題與數學建模所涉及的問題都是與日常生活或科學技術相關的問題，是對學生數學、語文、外語、計算機運用能力的全面考核，這樣打破了學科界限，為共同研究問題開了先河，對中學各科教學起了不可替代的作用，促進了學生的全面發展。