雙管齊下,知其所以然

勻變速直線運動的規律是運動學的基礎，剛接觸高中物理的學生感覺公式很多，疲于死記公式，亂套公式的現象時有發生，導致不能正確創設物理情景，物理思維能力得不到提升。針對追及和相遇問題當中涉及勻減速運動的問題，我在教學中探索、研究，總結了勻減速直線運動中一類常見的錯誤，并通過物理情景分析法和數學二次函數解析法，雙管齊下，讓學生不僅能知其然，更能知其所以然。

一、追及問題

例1:在鐵軌上有甲、乙兩列列車，甲車在前，乙車在后，分別以速度v=15m/s，v=40m/s做同向勻速運動，當甲、乙間距為1500m時，乙車開始剎車做勻減速運動，加速度大小為0.2m/s，問:乙車能否追上甲車?

解析:對于此類追及問題，首先應找到乙車追上甲車的臨界條件。我通過多年教學發現，很多學生不假思索，首先計算乙車勻減速至停止，行進的距離x=v/(2a)=40/(2×0.2)=4000m。

而這段時間t為v/a=200s，在這段時間內，甲車前進的距離x為vt=3000m，又因為甲、乙開始相距1500m，故很多學生認為(3000+1500)m>4000m，所以未能追上。

此解是一個典型的錯解，原因是未能找準追及的臨界條件。分析:乙車在后，乙車的速度大于甲車，二者之間距離逐漸變小。但當乙車的速度減至于甲車一樣為15m/s時，若此時還未追上就再也不能追上，故能否追上的條件應是速度相等時比較位移的情況。

正確的解法應是:當乙車速度變為15m/s時，經歷時間為(v-v)/a=125s。在125s內，x=(v-v)/2a=3437.5m，x=vt=1875m。由于3437.5>1875+1500，因而乙車能追上甲車。

為何計算乙車從開始到停下的這段距離，卻又未追上呢?

那是因為乙車在減速到零的過程中，有一段從15m/s減至0的過程，這個過程內乙車的位移是沒有甲車大的，故算上這一段的話，乙車就可能追不上甲車了。而實際上在前一段距離上已經追上，即乙車先追上甲車，而后甲車又超過乙車。從此題可見物理情境分析的重要性。

此題亦可以用時間t的一元二次方程來求解。假設經過t時間后兩車相遇。則在位移的關系上應該有:x=x+1500，而x=vt-at，x甲=vt代入數據整理可得:0.1t-250t+1500=0。

此二次函數有解且有兩解，t=100s或t=150s。

數學二次函數解析法為何解出兩個解呢?

通過上面詳細的分析，不難看出，實際上乙車應在t=100s時追上甲車，并接著超過了甲車(假設兩車在兩條并排的路上行駛)。后是甲車去追及乙車，由于t=150s<200s，故在t=150s時，乙車再被甲車追上。

最后，讀者可以思考這樣的問題，若題干中的乙車減速時加速大小為m/s，能否求出兩車相遇的時間(假設兩車在兩條并排的路上行駛)?提示:車輛剎車做勻減速運動，一旦停下便不會再回過頭做反向勻加速了。

二、相遇問題

例2:一輛長為l=5m的汽車以v=15m/s的速度行駛，在離鐵路與公路交叉點S=175m處，汽車司機突然發現離交叉點S=200m處有一列長L=300m的列車以V=20m/s的速度行駛過來，為了避免事故的發生，汽車司機應采取什么措施?(設汽車運動為勻變速且不考慮司機的反應時間;不考慮汽車和火車的寬度)

解析:若兩車勻速前進，列車通過交叉點的時間在=10s到=25s之間。而汽車通過交叉點的時間在=s到=12s之間。故兩車肯定在交叉點相遇，發生事故。因此汽車司機可以通過加速或減速的措施來避免事故的發生。

若采用加速措施，汽車至少要在火車到來交叉點前通過交叉點。故汽車應在10s內前進175m+5m=180m。對汽車:根據勻加速直線運動位移時間公式x=vt+at，代入數據可得a=0.6m/s。即:若加速，加速度至少為0.6m/s。

若采用減速措施，在此，有不少學生就會認為汽車在交叉點時停下，位移為175m，所用時間為25s。根據x=vt+at，求得a=-0.64m/s，認為減速時，加速度大小至少為0.64m/s。乍一看，此解好像沒什么問題。

無需多解釋，我們可以用數學二次函數解析法，反推一下，看看會得到什么樣的結論呢?

若汽車減速時的加速度的大小為0.64m/s，我們將這個加速度代入位移時間公式x=vt+at，求解一元二次方程，得到時間t有兩個解，其中t=25s，t==21.875s。

物理情景分析:汽車做勻減速運動，位移是175m，為什么對應的時間有兩個呢，而且其中一個剛好是25s，而另一個還要比25s小。比25s小意味著什么呢?分析可知:原來汽車在21.875s時的位移已經為175m了，后來汽車通過交叉點，減速至零又反向做勻加速運動，在t=25s時又重新回到交叉點，顯然這不符合實際情況。可見汽車必須在交叉點前停下。正確解答為:汽車以某一最小加速度減速，剛好到交叉點前停下，根據位移速度公式v-v=2ax且v=0，解得:a=-m/s。即:若減速，加速度大小至少為m/s。

從以上兩例分析來看，物理情景分析法可以培養學生分析問題的能力，養成良好的物理思維方式。而同時配合數學函數解析法，使問題更加清晰明朗。在平時學習中，學生切不可生搬硬套公式，把物理問題當成純粹的數學問題來求解。而要兩種方法互相補充，注重問題情境的分析，對結果進行討論，切實提高解決問題的能力。

為方便讀者更進一步體會其中的道理，有一道很好的練習題，供大家參考。

練習:

甲、乙兩質點同時開始在彼此平行且靠近的兩水平軌道上同向運動，甲在前，乙在后，相距s，甲初速度為零，加速度為a，做勻加速直線運動;乙以速度v做勻速運動，關于兩質點在相遇前的運動。某同學作如下分析:設兩質點相遇前，它們之間的距離為Δs，則Δs=at+s-vt，當t=時，兩質點間距離△s有最小值，也就是兩質點速度相等時，兩質點之間距離最近。你覺得他的分析是否正確?如果認為是正確的，請求出它們的最小距離;如果認為是不正確的，請說明理由并作出正確分析。

答案:不正確。

在兩質點相遇之前，它們之間的距離Δs也可能不斷減小，直至Δs=0(相遇)，而不存在變小后變大的情況，這完全取決于兩質點之間的初始距離s與v、a之間的大小關系。

由s=vt-at可解得:t=。

可見，若v=2as，即s=，則t=。

當t≤時，甲乙之前的距離始終在減小，直至相遇(最小距離Δs=0)，

當v<2as，即s>時，甲與乙不可能相遇，在t<時，兩質點距離會出現先變小后變大的情況，當t=時，兩質點之間的距離最近，Δs=s-。