阿瑪蒂亞 .森對阿羅不可能定理的發展

摘要：阿羅不可能定理問世以來，在經濟學界產生了深遠影響。它的悲觀性結論很長一段時間在社會選擇乃至福利經濟學的發展中似乎成為不可逾越的障礙。1998年諾貝爾經濟學獎得主印度籍經濟學家阿瑪蒂亞·森對阿羅不可能定理進行了卓有成效的突破和發展。森的貢獻主要體現在兩個方面：一是放松阿羅的某些條件，使多數規則成為合理的決策機制；二是通過豐富阿羅框架的信息基礎，找到了羅爾斯最大最小化原則和效用主義原則兩種滿足阿羅所有條件的社會選擇規則。

關鍵詞：阿羅不可能定理；價值限制定理；社會福利函數

中圖分類號：F019 文獻標志碼：Ａ文章編號：１６７３－２９１Ｘ（２０10）32－０017－03

一、阿羅不可能定理及其意義

為了進行最優社會福利判斷，阿羅提出了一般的社會福利函數，用它來描述社會偏好順序與任何可能的個人偏好順序集之間的關系。假設用X、Y、Z等表示可供選擇的方案，Ri表示個人i的偏好關系，可以寫出個人偏好順序為（R1，R2，…Rn），這是一個n維數組，或稱之為一個剖面。令社會偏好順序為R，如果建立一個函數關系使得個人偏好順序集（R1，R2，… Rn）的每一個剖面都能轉換成一個社會偏好順序R，即R＝f（R1，R2，… Rn）。那么這個轉換函數就是阿羅的社會福利函數（簡稱SWF）。顯然，如果能夠建立起這樣的社會福利函數，并使其滿足某些合理的條件（諸如非限制域、帕累托原則等），就能進行最優社會福利判斷。不幸的是，阿羅發現沒有一個社會福利函數能夠同時滿足這些合理的條件。①這個發現便是著名的“阿羅不可能定理”[1]。

阿羅不可能定理表明，試圖通過某一合理程序把所有個人偏好次序加總為社會偏好次序，從而根據社會偏好確定最大社會福利是不可能的。這一消極結果激發了人們不斷地尋找避開不可能結果的途徑。不難發現，阿羅不可能定理框架中，充分尊重個人的價值判斷，只根據個人的偏好次序推引社會偏好次序，而各公理性條件又都是社會充分反映民主的一種保證，放棄其中任一條件都意味著民主受到一定傷害。但是完全民主的決策從來都是不存在的。何不退而求其次，尋求最大限度體現民主的決策機制？另外，在阿羅不可能定理框架中，沒有任何價值判斷，因而最優社會福利即使存在，并無實質內容。因此，要尋求最優社會福利，必須引入社會價值判斷，而要遵循某種價值判斷，只依賴個人序數不可比的效用信息是不夠的，必須要豐富有關個人福利的信息。是否可以考慮從豐富阿羅不可能定理的信息基礎角度進行研究？阿瑪蒂亞·森正是從上述兩個方面分別進行研究，從而對阿羅不可能定理進行挑戰，進而扭轉了社會選擇乃至整個福利經濟學長期以來的悲觀局面。

二、森對阿羅不可能定理的突破和發展

（一）放松某些條件，使多數規則成為合理的社會決策機制

現實中進行社會選擇最常用的辦法就是投票，而投票程序通常遵循少數服從多數的原則（簡稱多數原則）。然而這種多數原則可能產生不一致的結果，最早發現這一問題的是法國社會學者康多塞特。他發現，如果有三個人，偏好次序如表1所示，讓三個人分別對（A，B），（B，C），（A，C）三組方案分別進行投票，按多數規則，結果分別為：A>B，B>C，C>A，顯然隨著投票順序的改變，投票的最終結果將在A、B、C三個方案中出現循環。這一發現被稱之為“康多塞特悖論”或“投票悖論”。

一般認為，阿羅不可能定理是對投票悖論問題的一般化。按阿羅的諸條件來看，多數原則滿足條件U、I、P、D及集體理性中的反身性和完備性，只違背了傳遞性，從而產生不一致的結果。這種非傳遞性的產生是由于人們的偏好次序不協調造成的，因此，只要放松條件U，對人們的偏好進行某種限制即可。

1．放松條件U，提出價值限制定理

森首先把一個方案的價值定義為：在包括該方案的三種方案的個人偏好排序集中，該方案具有的最好、最差或居中這三種可能的特征[2] 。如在表1中，對甲而言，A方案具有一個價值，即最好。顯然如果個人對所有方案的排序是無差異的，這時某種方案可能同時具有三個價值，而這種無差異性并不影響社會偏好排序，因而森把那些持無差異偏好的個人作為不予考慮的人（unconcerned individual）排除在外，把剩下的人稱為需關注的人（concerned individual）[2]。這樣，對于需關注的人來說，每種方案最多能有兩種價值。接著，森提出了價值限制假定：對于每一組被選方案中的任何三種方案，根據個人偏好排序集合，總能找到一個對所有人而言，都不具有某種價值的方案[2]。顯然，表1中甲、乙、丙的偏好排序集合不滿足價值偏好假定，而只要對其中任何一個人的偏好排序稍加改變即可。如把甲的偏好排序改為B>A>C，那么，對甲、乙、丙而言，A方案就是一個不具有“最好”價值的方案。在價值限制假定的基礎上，森提出了“價值限制定理”。其內容是：對于一組被選方案，若對其中任何三種方案，需關注的個人偏好排序都滿足價值限制偏好的要求，且需關注的個人人數為奇數，此時，多數規則可以產生均衡的投票結果[2]。如把甲的偏好排序改為B>A>C后，讓三個人分別對（A，B），（B，C），（A，C）三組方案分別進行投票，按多數規則，結果分別為：B>A，B>C，C>A，沒有投票悖論產生，最終B方案將被通過。

盡管價值限制偏好是多數規則獲得一致性決策的重要保證，但應該指出的是，它是以需關注的個人人數為奇數為前提的，否則，投票悖論仍然存在。例如，有四個人對X、Y、Z的偏好排序依次為：X>Y>Z、X>Y>Z、Y>Z>X和Z>Y>X。按照多數規則，對（X、Y），（Y、Z），（Z、X）三組方案分別進行投票的結果為：X=Y，Y>Z和X=Z 。而若對投票人數進行限制，顯然是過于苛刻了。接下來，森就致力于消除多數規則下對投票人數的限制。

2.傳遞性弱化為準傳遞性，把社會福利函數（SWF）拓展為社會決策函數（SDF）

準傳遞性不要求無差異性偏好具有傳遞性，只要非無差異偏好（嚴格偏好）具有傳遞性。即若x>y 和y>z同時存在，必有x>z。由于社會選擇的最終目的往往是找出最優社會偏好，運用多數規則往往是確定最優方案或最佳候選人，基于這一思想，森引入了選擇集和選擇函數兩種工具。選擇集是對于滿足偏好關系R的一組方案集s中最優方案的集合。選擇函數是確保對于所有方案集x的每一個非空子集s的選擇集為非空的一種函數[3]。顯然，若對于所有備選方案的集合x，選擇函數存在，那么對于x的任意非空子集s，都存在最優社會偏好。而選擇函數存在的條件是什么呢？森提出了選擇函數存在定理：若x包含有限個方案，只要偏好關系R具有反身性、完備性和準傳遞性，那么關于x的選擇函數C（s，R）存在[3]。

至此，森已經通過把傳遞性弱化為準傳遞性，從而把阿羅的完全排序（滿足反身性、完備性、傳遞性的社會偏好排序）弱化為選擇函數。和阿羅的社會福利函數（SWF）相對應，森引入了社會決策函數（SDF）[3] 。SDF的表示方式可以與SWF相同，都是R＝f（R1，R2，…Rn），但對R的要求不同：SWF要求R是完全排序，而SDF則要求每一個R能產生一個選擇函數。回到前面提到的四人投票的例子上來，森的選擇集為：C[（x，y）， R]=[x，y]；C[（x，z），R]=[x，z]；C[（y，z），R]=[ y]；C [（x， y， z），R]=[x，y]。顯然，選擇函數是存在的。對x、y、z這三種方案進行投票，不管投票順序如何，按照多數規則，得到的結果都是x或y當選。

綜上所述，森通過放松條件U及傳遞性，把SWF變為SDF，從而找到一條避開阿羅不可能結果的有效途徑，并為現實中普遍采用的多數規則奠定了堅實的理論基礎。

（二）豐富阿羅不可能定理框架的信息內容，對其進行了全新的突破和發展

多數規則作為社會選擇的規則，存在不可克服的弱點。它只適用于像委員會決策這類判斷的加總，而不適用于涉及收入分配的利益加總。因為對于前者，只要求以某種公平民主的方式對各成員的偏好加以綜合，得到某種一致性選擇即可；而對于后者，不僅要對人們的偏好，還要對人們的福利水平、福利得失進行加總，其目的是尋找最優的社會福利。若把多數規則應用到利益加總，可能產生令人不安的結果。例如，考察在兩種不同情況下，把給定數量的蛋糕在三個人之間進行分配的問題。在情況A中，甲很富有，而乙、丙都很窮。而在情況B中，甲很窮，乙、丙都很富有。若有一個再分配方案：減少甲的蛋糕份額，把這部分蛋糕平分給乙、丙。顯然乙、丙都偏好這種再分配方案，而甲不偏好。按照多數規則，不論處于哪種情況，該方案應通過。而若處于B情況，結果會令人不安。但是在阿羅社會福利函數（或社會決策函數）框架下，我們不能得出該方案在A情況下比在B情況下更公正的結論。因為若上述結論成立，依據應該是在B情況下，甲比乙、丙要差，而在A情況下，甲比乙、丙要好。這種“好”或“差”，要么指效用高低，要么指貧富。而在阿羅的社會福利函數框架下，沒有效用人際比較和非效用信息，這兩種說法都不成立，因而無法對A、B兩種情況加以區分，也得不出較合理的社會福利判斷。由于多數規則的局限性與其所依賴的信息有關，要探求避開阿羅不可能結果的另外出路，可考慮從阿羅SWF的信息基礎入手。

1.森的社會福利函數SWFL

由于阿羅的社會福利函數框架中效用信息缺乏，也無法容納更多的效用信息，森引入了一個能容納更多效用信息的社會福利函數（Social Welfare Functional，簡稱SWFL）。森的SWFL是能把任意一組關于所有社會狀態的個人福利函數轉換為一種關于各社會狀態的社會福利排序的函數[1]。若用Wi表示第i個人關于社會狀態集X的個人實值福利函數，而若能建立一種函數關系，使得每一個n維數組（W1，W2，…Wn）都能轉換成唯一的社會福利排序R，這種轉換函數就是森的SWFL。森的SWFL不僅能容納效用的各種測度方法，還能包容各種類型的效用人際比較。最基本的效用人際比較有兩種：水平比較和單位比較。前者是指不同個人之間福利絕對水平可以比較；后者則是指可以比較不同人在不同社會狀態下的效用差額[4]。根據效用測度、比較的不同假定，有以下幾種基本的效用信息假定：（1）序數水平可比較；（2）基數單位可比較；（3）基數不可比； （4）序數不可比。

對應阿羅SWF的條件U、I、P、D， 森的SWFL應滿足條件U'、I'、P'、D'。森把阿羅的SWF拓展為SWFL后，條件U、P、D相應地變成了條件U'、I'、D'，只是把個人偏好排序組合變為個人福利函數組合，而條件I變成條件I'，社會對任意一對狀態（X，Y）的排序，不只是依賴與所有成員對X、Y排序，而且依賴于所有成員對X、Y的個人福利函數值。由于森的SWFL包括各種效用信息假定，阿羅研究的是序數效用不可比的情況，滿足U'、I'、P'、D'及ONC的SWFL與滿足U、I、P、D的SWF是等價的，因此，阿羅的SWF可視為森的SWFL的一個特例。

2.在SWFL框架下，存在兩種滿足阿羅所有條件的社會選擇規則

羅爾斯在研究有關制度類型的選擇時， 提出了最大最小化標準，即追求最差人的福利水平最大化。森把這一標準運用到社會選擇中來，根據個人在某社會狀態下的福利水平， 對它們進行排序，找出最差的人， 再把各狀態下的最差的人福利水平進行比較， 從而找到使最差人福利最大化的社會排序[5]。只要每個人都具有完全排序，且存在人際間進行福利水平比較的方法， 就可以得到一個完全的社會排序。若對x、y 進行社會排序：在x下最差人是i ，福利水平為 Wi（x），而在y下最差人是j， 福利水平為 Wj（y）， 且 Wi（x） ≥ Wj（y）， 則有社會排序x至少和y一樣好。不難看出， 只要在序數效用下， 引入效用水平人際比較， 羅爾斯的最大最小化規則是滿足U'、I'、P'、D'的SWFL。

如果把序數效用變為基數效用， 水平比較改為單位比較，還可以找到另一種社會選擇規則——古典的效用主義規則。該規則為：對于任意兩種社會狀態（x 、y）， 只有在 x 下所有成員的福利總和大于在 y 下的福利總和， 社會排序才有 x 勝于 y。顯然， 效用主義規則對于任意一組函數組合， 都可以產生一種滿足U'、I'、P'、D'的完全社會排序R 。

三、森對阿羅不可能定理進行發展過程中的若干特點

（一）把判斷加總和利益加總區別對待

阿羅定理主要探討個人偏好加總問題。而阿羅的偏好是個很寬泛的概念，可能與個人切身利益關系不大或完全無關， 也可能與個人利益息息相關。 森把前者視為與個人判斷相關的偏好， 而把后者視為與個人利益相關的偏好。相應的加總問題， 分別是判斷加總和利益加總， 加總的結果分別為社會決策（ 主要指委員會決策 ）和社會福利判斷。對社會決策而言， 只尋求一種公平的方式處理個人判斷偏好， 以達到某種社會可接受的選則即可， 而不管這種選擇從社會福利角度來看是不是最優的。而對于社會福利判斷而言， 則必須關注個人的各方面福利信息， 尋求最優的社會福利判斷。基于上述思想， 森把阿羅定理試圖解決的問題， 區分為尋求合理的社會決策機制和最優社會福利判斷兩個方面，分別進行探討， 并取得了突破性的進展。

（二）強調社會選擇的規范性

為解決投票悖論問題， 森提出了價值限制定理， 從而把那些不符合價值限制要求的個人偏好排除在外， 而這種價值限制要求應是某種社會價值判斷要求的一種體現。在尋求最優的社會福利判斷方面， 森引入了效用或福利的人際比較， 要么不同個人對一組社會狀態的偏好強度可以比較， 要么不同個人在同一社會狀態下的福利水平可以比較。不論哪種情況的人際比較， 都是以一定社會價值判斷為基礎的。從這個意義上看，森是在增加社會選擇的規范性內涵的基礎上， 對阿羅不可能定理進行發展的。

（三）在效率與平等兩者中， 偏重平等

森認為，帕累托標準的一個重要缺陷是忽視了收入分配問題， 也忽視了人與人之間的不平等問題， 而要討論平等或不平等這一問題， 首要的前提就是人與人之間的福利是可以進行比較的。因此， 森提出了人際間效用或福利可以比較的各種假定。森偏重平等的思想還突出表現在他推崇羅爾斯的最大最小化規則， 顯然，如果苛守這一規則， 最差人福利的較小提高， 可能會造成其他人福利的更大損失， 從而導致效率的一定損失。

參考文獻：

[1] Sen Amartya K. Collective Choice and Social Welfare[M]. San Francisco， CA： Holden-day. 1970：89 -129.

[2] Sen Amartya K. A Possibility Theorem on Majority Decisions [J]. Econometrica. April. 1966：491-509.

[3] Sen Amartya K. Quasi-Transitivity， Rational Choice and Collective Decisions[J]. Review of Economic Studies. July 1969. 36（3）：381-393.

[4] Sen Amartya K. Personal Utilities and Public Judgment： or what wrong with welfare Economics[J]. Economic Journal. September， 1979：537-538.

[5] Sen Amartya K. On Weights and Measures： Informational Constraints in Social Welfare Analysis[J]. Econometrica . October， 1977：1539-1572.