《諾亞舟學習機在課堂教學中的設計案例》一次函數(shù)與二元一次方程(組)教學設計

一、 教材分析

(1)教材的地位和作用。函數(shù)、方程和不等式都是人們刻畫現(xiàn)實世界的重要數(shù)學模型。用函數(shù)的觀點看方程(組)與不等式，使學生不僅能加深對方程(組)、不等式的理解，提高認識問題的水平，而且能從函數(shù)的角度將三者統(tǒng)一起來，感受數(shù)學的統(tǒng)一美。本節(jié)課是學生學習完一次函數(shù)、一元一次方程及一元一次不等式的聯(lián)系后對一次函數(shù)和二元一次方程(組)關系的探究，學生在探索過程中體驗數(shù)形結(jié)合的思想方法和數(shù)學模型的應用價值，這對今后的學習有著十分重要的意義。

(2)教學重難點。重點:一次函數(shù)與二元一次方程(組)關系的探索。難點:綜合運用方程(組)、不等式和函數(shù)的知識解決實際問題。

(3)教學目標。知識技能:理解一次函數(shù)與二元一次方程(組)的關系，會用圖像法解二元一次方程組。數(shù)學思考:經(jīng)歷一次函數(shù)與二元一次方程(組)關系的探索及相關實際問題的解決過程，學會用函數(shù)的觀點去認識問題。解決問題:能綜合應用一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程(組)解決相關實際問題。情感態(tài)度:在探究活動中培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和勇于探索的科學精神，在師生、生生的交流活動中，學會與人合作，學會傾聽、欣賞和感悟，體驗數(shù)學的價值，建立自信心。

二、 教法說明

對于認知主體——學生來說，他們已經(jīng)具備了初步探究問題的能力，但是對知識的主動遷移能力較弱，為使學生更好地構(gòu)建新的認知結(jié)構(gòu)，促進學生的發(fā)展，我將在教學中采用探究式教學法。以學生為中心，使其在“生動活潑、民主開放、主動探索”的氛圍中愉快地學習。

三、 教學過程

(1)創(chuàng)境導入。多媒體播放一段發(fā)生在電信公司里的情景:一顧客準備辦理上網(wǎng)業(yè)務，發(fā)現(xiàn)有兩種收費方式:方式A以每分鐘0.1元的價格按上網(wǎng)時間計費;方式B除收月基費20元外再以每分鐘0.05元的價格按上網(wǎng)時間計費。顧客說他每月上網(wǎng)的費用按這兩種收費方式計算都是一樣多。求這位顧客打算每月上網(wǎng)多長時間?多少費用?學生已經(jīng)學習過列方程(組)解應用題，因此可能列出一元一次方程或二元一次方程組，用方程模型解決問題。結(jié)合前面對一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式之間關系的探究，我自然地提出問題:“一次函數(shù)與二元一次方程之間是否也有聯(lián)系呢?”從而揭示課題。[設計意圖]在實際情境中學習可以激發(fā)學生的學習興趣。因此，用“上網(wǎng)收費”這一生活實際創(chuàng)設情境，并用問題啟發(fā)學生去思、鼓勵學生去探、激勵學生去說，努力給學生造成“心求通而未能得，口欲言而不能說”的情勢，從而喚起學生強烈的求知欲，使他們以躍躍欲試的姿態(tài)投入到探索活動中來。

(2)自主探究。

A. 探究一次函數(shù)與二元一次方程的關系。填空:二元一次方程3x+t6=8可以轉(zhuǎn)化為y=( )。猜想:直線y=-x+上任意一點(x，y)一定是方程3x+5y=8的解嗎?是否任意的二元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為這種一次函數(shù)的形式?是否直線上任意一點的坐標都是它所對應的二元一次方程的解?請利用學習機探索，并驗證上面的猜想(圖1)。[設計意圖]用一連串的問題引導學生發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)與二元一次方程在數(shù)與形兩個方面的關系，為探索二元一次方程組的解與直線交點坐標的關系作好鋪墊。

B. 探究一次函數(shù)與二元一次方程組的關系。其一，在同一坐標系中畫出一次函數(shù)y=-x+和y=2x-1的圖像，觀察兩直線的交點坐標是不是方程組3x+5y=82x-y=1的解?請利用學習機探索:是否任意兩個一次函數(shù)的交點坐標都是它們所對應的二元一次方程組的解?此時，教師留給學生充分探索交流的時間與空間，對學生可能出現(xiàn)的疑問給予幫助，師生共同歸納出:從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標(圖2)。作圖關鍵步驟:通過滑桿設置系數(shù)a、 b、 c 、d(圖3);作出函數(shù)圖像(圖4);選擇移動工具，點擊移動點，拖動點A、B、C、D，可得到任意兩直線相交的圖像。選擇交點工具，分別點擊兩條直線得交點，選擇垂線段工具過交點分別做橫軸與縱軸的垂線，垂足出所標的數(shù)據(jù)，即是方程組的解。選擇移動工具，點擊移動點，拖動點A、B、C、D，可得任意方程組的解(圖5)。其二，當自變量x取何值時，函數(shù)y=-x+與y=2x-1的值相等?這個函數(shù)值是什么?這一問題與解方程組3x+5y=82x-y=1是同一問題嗎?進一步歸納出:從“數(shù)”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這個函數(shù)值是何值。[設計意圖] 學生經(jīng)過自主探索、合作交流，依靠學習機從數(shù)和形兩個角度認識一次函數(shù)與二元一次方程組的關系，真正掌握本節(jié)課的重點知識，從而在頭腦中再現(xiàn)知識的形成過程，避免單純記憶，使學習過程成為一種再創(chuàng)造的過程。此時教師及時對學生進行鼓勵，充分肯定學生的探究成果，關注學生的情感體驗。

(3)鞏固訓練。我市一家電信公司給顧客提供兩種上網(wǎng)收費方式:方式A以每分0.1元的價格按上網(wǎng)時間計費，方式B除收月基費20元外再以每分鐘0.05元的價格按上網(wǎng)時間計費。如何選擇收費方式能使上網(wǎng)者更合算?解法1:設上網(wǎng)時間為x分，若按方式A則收y=0.1x元;若按方式B則收y=0.05x+20元。然后在同一坐標系中分別畫出這兩個函數(shù)的圖像，計算出交點坐標(400，40)，結(jié)合圖像，利用直線上點位置的高低直觀地比較函數(shù)值的大小，得到當一個月內(nèi)上網(wǎng)時間少于400分時，選擇方式A省錢;當上網(wǎng)時間等于400分時，選擇方式A、B沒有區(qū)別;當上網(wǎng)時間多于400分時，選擇方式B省錢。解法2:設上網(wǎng)時間為x分，方式B與方式A兩種計費的差額為y元，得到一次函數(shù):y=(0.05x+20)-0.1x，即y=-0.05x+20，然后畫出函數(shù)的圖像，計算出直線與x軸的交點坐標，類似地用點位置的高低直觀地找到答案。注意:所畫的函數(shù)圖像都是射線。[設計意圖]為培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和規(guī)范解題的習慣，引導學生將上網(wǎng)問題延伸為例題，并用問題“你家選擇的上網(wǎng)收費方式好嗎”再一次激起學生強烈的求知欲望和主人翁的學習姿態(tài)。通過此問題的探究，使學生有效地理解本節(jié)課的難點，體會數(shù)形結(jié)合這一思想方法的應用。

(4)體驗成功。A.搶答題。a.以方程3x-y=2的解為坐標的所有點都在一次函數(shù)y=()的圖像上。b.方程組x+y=1x-y=1的解是

()，由此可知，一次函數(shù)y=-x+1與y=x-1的圖像必有一個交點，且交點坐標是()。b.旅游問題。某紀念館門票標價20元/張，近期正在進行優(yōu)惠活動，購買時有兩種方式:方式A是團隊中每位游客按8折購買;方式B是團隊中除5張按標價購買外，其余按7折購買。如果你是團隊的負責人，你會如何選擇購買方式使整個團隊更合算?[設計意圖]抓住學生對競爭充滿興趣的心理特征，用搶答題使學生的眼、耳、腦、口得到充分調(diào)動，并在搶答中品味成功的快樂，提高思維的速度。在學生感興趣的旅游問題中，進一步培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識，更好地促進學生對本節(jié)課難點的理解和應用，幫助學生不斷完善新的認知結(jié)構(gòu)。

(5)分享收獲。在課堂臨近尾聲時，向?qū)W生提問:通過今天的學習，你有什么收獲?你印象最深的是什么?[設計意圖]培養(yǎng)學生歸納和語言表達能力，鼓勵學生從數(shù)學知識、數(shù)學方法和數(shù)學情感等方面進行自我評價。

(東營市勝利第四中學)