三種語言的熟練轉換與解題的關系

摘 要:現在想想，光用“數形結合”的思想來分析和解題還不夠，還得用“數與文字語言結合”和“文字語言與圖表語言結合”等思想來分析和解題，這樣更有助于問題的解決。

關鍵詞:文字語言;符號語言;圖表語言

問題一:如下圖，一個等邊三角形的邊長與和它的一邊相切的圓的周長相等，當這個圓按箭頭方向從某一位置沿等邊三角形的三邊做無滑動旋轉，直至回到原出發位置時，問該圓轉了幾圈? 該題是選擇題，有3、3.5、4、5四個答案，所有同學都選擇了第一個，3圈，但這是錯的，正確的是4圈。這說明所有同學都不能正確看懂這個圖，圖表語言不能說明，都被生活中的輪子旋轉方式所定向思維。

問題二:說出兩個可以用(a+b)÷2表示結果的實際問題。代數式a(1+x%)可以表示什么?試舉一個實際例子，并說明當a=3600，x=-10時代數式的值的具體意義?這樣的問題，一開始，幾乎所有同學都不會做。這說明用字母表示的代數式的數學意義和實際意義學生不能理解，數學的符號語言沒有真正讀懂。

問題三:已知，拋物線y= x2-2x-3與x軸交A、B兩點，A點在B點的左側，直線l與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標是2，點G是拋物線上的動點，問在x軸是否存在點F，使A、C、F、G這四點組成的四邊形是平行四邊形?若存在，求出所有F點坐標;若不存在，說明理由。這類題目，大多數學生不能根據題意畫出所有符合條件的圖形，所以做不好，還經常漏答案。

問題四:翻開《錯題集》，對于有些作業中易錯的題目，發現許多學生總是犯同樣的錯誤，犯重復的錯誤。如有關絕對值的題目、平方根的題目、求單項式的系數和次數的題目，就是這樣，屢教不改，一錯再錯，弄得教師自己非常生氣。前些天，進行了期中考試，批改后，進行了質量分析，對每個題目的得分人數進行了統計，發現以前易錯的題目，現在還是錯，得分率很低。更想不到的是，前一天復習時，曾講到過的一個新類型題目，是關于計算機程序的題目，輸入一個數，通過計算，判斷是否大于某數，否則輸回重新計算，到大于某數后才輸出。而第二天，差不多的題目又來了。當時我估計每班十幾個人是會做對的，但出乎意料，每班只有二三個人做對。這說明，所學的知識點一知半解，特別是對數學符號和圖表的理解更弱，沒有真正搞懂掌握。

這四個問題，對我影響很深很大，不得不引我思考，不得不引我分析其中的原因。通過分析，我發現主要原因有三條:其一，課本中的知識點沒有搞懂和掌握，具體來說，對于定義、法則、定理和數學方法等知識點，三種語言轉換不熟練;其二，題目意思搞不懂或搞不準，題目中的圖表看不懂，根據題意又畫不出圖，審題還常受習慣思維影響;其三，對于題目中的問題和課本中的知識點不能有效聯系起來，做題目是沒有根據地做，掌握知識點是沒有理解地掌握，這樣才會一錯再錯，屢教不改。后來，我通過進一步分析，這三條原因都是因為三種語言的轉換不會或不熟練導致的，這三種語言的轉換就是數學語言中的文字語言、符號語言和圖表語言的轉換。如完全平方公式，文字語言為:兩數和或差的平方等于這兩數的平方和再加上或減去這兩數積的兩倍;符號語言為:公式;圖表語言為:畫出一個正方形，在相鄰兩邊各取兩點，都分為a和b兩段，再過這兩點作對邊的垂線，分為四個小圖形，其中兩個是正方形，兩個是長方形。對于這個圖形算面積有兩種方法，一種是以邊長a+b來算，另一種是先算出這兩個正方形和長方形的面積，再把它們加起來，而這兩種算法的結果是相等的。而所謂三種語言的轉換就是，字母公式能用文字語言表述，也能用圖表來說明;文字語言也能用字母公式簡單表示，也能畫圖來說明;對于前面這個圖，也能通過算面積來得出公式，也能用文字語言來說明。以前經常說分析題目要“數形結合”，這當然很對，許多題目，隨便想想很難，但一用上“數形結合”的思考方法就迎刃而解了。然而，我現在想想光用“數形結合”還不夠，還得有“數與文字語言結合”和“文字語言與圖表語言結合”，這里所說的“數”，實際就是“符號語言”，“數形結合”實際就是“符號語言與圖表語言結合”。但歸納起來，這三種“結合”，就是這三種語言之間的相互熟練轉換，即已知文字語言，能自然想到符號語言和圖表語言;已知符號語言，能自然想到文字語言和圖表語言;已知圖表語言，自然能想到文字語言和符號語言。實際上，對于學生來說后兩種轉換更不易接受。

一、 三種語言的轉換與解題關系的舉例說明

舉例一， 對于絕對值的性質，文字語言:正數的絕對值是它本身，零的絕對值是零，負數的絕對值是它的相反數;符號語言:若A>0，則 |A|=A。 若A=0 ，則 |A|=0。若 A<0， 則|A|=-A;圖表語言:數表示在數軸上的點到原點的距離，顯然，這距離是個非負數。首先要求學生，對這三種語言能相互熟練轉換，然后，有關絕對值的題目，都從不同語言進行表示，那正確率必定將大大提高。如，求絕對值大于2而小于5的整數。首先用符號語言表示:2<|?|<5，再考慮圖表語言:離開原點的距離大于2而小于5的點有哪些，各表示什么數?這樣才能得到正確的結果，否則，會把負的整數漏掉。如果這三種語言不會轉換，那這個題就很難做對的。再如，計算:|3-?仔| 。首先想到文字語言，負數的絕對值是它的相反數，然后考慮“3-?仔”所表示的點到原點的距離，它是正數，若都能想到，那這題就會做對了。再如，有個數a在數軸上表示的點在原點的左邊，求a的絕對值。這個題目，首先，要通過觀察圖發現a是個負數，然后，再聯系文字語言和符號語言，才能求出正確結果。

舉例二，平方根的概念，文字語言:如果一個數的平方等于a，那么這個數就叫做a的平方根;符號語言:若x2=a，則x=±;圖表語言:若一個正方形的面積為a，則它的邊長為±，因為邊長不會是負的，舍去負的，故邊長為。如果這三種語言之間相互能熟練轉換，這樣有關平方根的題目就能做對，否則，就會一錯再錯，摸不著頭腦。如，求的平方根。很多同學答案是±2。如果從符號語言考慮是雙重根號，那就不會錯了;如果從圖表語言考慮，那是面積為根號4求邊長的，也不會錯;如果直接按主觀思想，就錯了。又如，計算:±。很多同學答案會是3或81。但如果能轉換文字語言:求9的平方根，即求什么數的平方等于9，那就不會錯了，或已知面積9，求邊長，也不會錯的。再如，已知正方形的面積為3，求它的邊長。這個題目，若不轉換為文字語言和符號語言，是不能做的。

舉例三，那些函數如正比例函數，文字語言是:一般地形如y=kx(k是常數，k≠0)的函數，叫做正比例函數;符號語言:y=kx (k≠0);圖表語言:過原點的一條直線。如，題目出現正比例函數或二個量成正比這樣的語句，就應馬上想到它的符號表示是什么，它的圖像是什么，這樣才能解決正比例函數的問題。又如，對于較難的應用題，首先應對文字語言進行圖表語言的轉換(畫圖或列表，有助于搞清已知量、未知量、等量關系)，然后再轉換為符號語言(列出方程)，這是非常典型的由文字語言轉換為圖表語言，再轉換為符號語言。目前，新課程里涌現了許多新穎的題目，如，已知代數式或一個方程，編一個結果為這個代數式或方程的實際問題，這是符號語言轉換為文字語言;又如，已知圖表，叫你通過觀察這個圖表，寫出盡可能多的信息，這是圖表語言轉換為文字語言或符號語言;再如，像平方差公式、完全平方公式、勾股定理等公式，用圖形的面積來說明，在數軸上的準確表示，這些是符號語言轉換為圖表語言，等等。

二、 三種語言轉換與解題關系的理論說明

數學語言是特殊化的語言，有別于自然語言，這種語言，從紛雜的個體現象中本質地抽象出來，它使數學現象的結構和規律非常嚴密、精確地得到描述，亦即通常所說的文字語言、符號語言、圖表語言三種。文字語言語法嚴謹，邏輯性強，常表述定義、概念、化理、法則等;符號語言簡潔、抽象、精確，用它表示公式、性質、法則、推理論證、求解運算、函數關系等;圖表語言則是形象化的數學語言，具體、醒目、形象，以幾何圖形附加必要的文字說明體現。上述三種形式中，文字語言較長，推理關系多;圖表語言直觀形象，這三種語言之間若能相互熟練轉換，并且在平時解題時能有意識地利用這些轉換來分析解決問題，那對解題的思路的拓展，對解題的正確率的提高是大有幫助的。心理學認為:語言是思維的“外殼”，思維是語言的“內核”，兩者相互依存。學生數學思維的形成與發展是借助語言來實現的，而思維的發展又能促進語言能力的提高。所以，在課堂上要讓每個學生都有說話的機會，讓學生說說公式的來由，圖表的信息，解題的思路，三種語言的轉換等。數學教育家斯托利亞爾在《數學教育學》一書中指出:數學教學也就是數學語言的教學，學習數學的過程就是數學語言不斷內化、不斷形成、不斷運用的過程。他指出:“學生知識表面化的根源往往是數學語言學習中語義處理和句法處理之間配合不當，準確性不夠。形式和內容的脫節實質上是數學語言符號和公式與它們所表示的東西的脫節。”我認為這話講得很對，學生掌握了數學語言(即文字語言、符號語言和圖表語言)就等于掌握了數學思維、數學表達和交流的工具，學生數學語言不過關，將難以閱讀和交流，難以準確地表達自己的思想，難以聽懂、看懂別人用數學語言表達的觀點。這也不符合現代“終身教育，終身學習”的教育思想。未來社會高度發展，瞬息萬變，這決定未來人不僅要有扎實寬厚的基礎知識功底，更需要有較強的自學功底從事終身學習，以隨時調整自己來適應社會發展的變化。所以，要學會自學，讀懂三種語言及它們的轉換是基礎。

三、 三種語言轉換和解題關系的實踐

前些天，到外校去聽省教壇新秀和縣教壇新秀的課。在上平行四邊形的性質時，他們都把這三種語言的轉換講得非常清楚，如，在講對角線的性質時，首先在圖上叫學生量出各條所分的對角線的長度大小，說明對角線相互平分;然后，通過旋轉來說明相互平分，最后，利用三角形全等來進行證明對角線互相平分。再在黑板上寫出，性質:平行四邊形的對角線互相平分;它的幾何語言為:因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以，OA=OC，OB=OD(平行四邊形的對角線互相平分)，或者，在平行四邊形ABCD中，OA=OC，OB=OD(平行四邊形的對角線互相平分)。在分析平行四邊形有關的問題時，常問學生由圖可得到哪些信息結論，得出的結論越多越能解決問題。這實際是圖表語言與文字語言的轉換和圖表語言與符號語言的轉換。

在自己平時教學時，特別是分析實際問題時，如應用題，常要求學生一邊讀題一邊列表或畫圖，說出等量關系，再把等量關系變為方程。這個過程，實際就是三種語言的轉換的過程。在教學公式、定義、定理法則和數學方法時，我也能有意識地進行三種語言的轉換，使學生更牢固地掌握它們。因此，我認為，要讓學生掌握數學語言，首先，要求學生將同一個概念、定理或公式，能用三種不同的語言表達出來;然后，在分析例題時，要有意識地進行“三種結合”;最后，要求學生做作業或考試時，要有意識地利用這“三種結合”進行思考和分析。若能這樣，我認為，學生對知識掌握的鞏固率，對問題解決的正確率，將會大大地提高。

參考文獻:

[1]斯托利亞爾.數學教育學[M].北京:人民教育出版社，1984.

[2]編寫組.數學課程標準解讀[M].北京:北京師范大學出版社，

2002.

(磐安縣玉山鎮中學)