數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)與教學(xué)設(shè)計(jì)

摘 要:數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、判斷的依據(jù)，是建立數(shù)學(xué)定理、法則、公式的基礎(chǔ)，也是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點(diǎn)。因此數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要的組成部分。本文論述了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的內(nèi)容、數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)的形式以及數(shù)學(xué)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)，闡述了數(shù)學(xué)概念的引入、數(shù)學(xué)概念的理解，以及數(shù)學(xué)概念的運(yùn)用的方法，期望對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有所幫助。

關(guān)鍵詞: 數(shù)學(xué)概念 數(shù)學(xué)教學(xué) 教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)概念是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性的反映，是人們通過(guò)實(shí)踐，從數(shù)學(xué)所研究的對(duì)象的許多屬性中，抽出其本質(zhì)屬性概括而成的。

數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、判斷的依據(jù)，是建立數(shù)學(xué)定理、法則、公式的基礎(chǔ)，也是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點(diǎn)。因此數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要的組成部分。

一、數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的內(nèi)容

1.數(shù)學(xué)概念名稱(chēng)。

例如，“平行四邊形”、“正方體”和“圓”等。

2.數(shù)學(xué)概念定義。

例如，“平行四邊形”的定義是“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形”。

3.數(shù)學(xué)概念的例子。

符合數(shù)學(xué)概念定義的事物是數(shù)學(xué)概念的正例，不符合數(shù)學(xué)概念定義的事物是數(shù)學(xué)概念的反例。例如，矩形是“平行四邊形”的正例，而梯形則是“平行四邊形”的反例。

4.數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵和外延。

明確概念，必須弄清概念的內(nèi)涵和外延。

概念的內(nèi)涵是指概念所反映的一切事物的本質(zhì)屬性。它說(shuō)明概念所反映的事物是什么樣的，即反映了概念的質(zhì)的方面。如“平行四邊形”的內(nèi)涵就是平行四邊形所代表的所有對(duì)象的本質(zhì)屬性:有四條邊，兩組對(duì)邊分別平行，對(duì)角線互相平分等。

概念的外延是指概念所反映的事物的范圍。它說(shuō)明概念所反映的對(duì)象是哪些，即反映了概念的量的方面。如“平行四邊形”的外延是指鄰邊不等的斜平行四邊形、矩形、菱形、正方形的集合。

“三角形”的外延指銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形所組成的集合。

任何一個(gè)概念都具有確定的內(nèi)涵和外延這兩個(gè)方面，它們是概念最基本的邏輯特性。學(xué)習(xí)一個(gè)概念就是要明確概念所指的對(duì)象是什么，其所反映的對(duì)象具有哪些本質(zhì)屬性，只有對(duì)概念的內(nèi)涵和外延兩方面都有了準(zhǔn)確的了解，才能說(shuō)明概念是明確的。

5.數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系。

一般的，概念之間的關(guān)系是指概念外延之間的關(guān)系。

根據(jù)兩個(gè)概念的外延有無(wú)共同之處，概念間的關(guān)系分為相容關(guān)系和不相容關(guān)系兩類(lèi)。

弄清概念之間的關(guān)系有利于理解概念，建立知識(shí)之間的聯(lián)系，形成知識(shí)體系是非常有用的。

二、數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的形式

數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的形式一般有兩種:數(shù)學(xué)概念的形成和同化。

1.數(shù)學(xué)概念形成的過(guò)程。

在數(shù)學(xué)發(fā)展史上一個(gè)數(shù)學(xué)概念的形成要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)的時(shí)間，有的甚至是幾十年，幾百年。例如圓的形成。

教師不直接把概念的定義給學(xué)生，再現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，使學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程。

數(shù)學(xué)概念形成是從大量的實(shí)際例子出發(fā)，經(jīng)過(guò)比較、分類(lèi)從中找出一類(lèi)事物的本質(zhì)屬性，然后再通過(guò)具體的例子對(duì)所發(fā)現(xiàn)的屬性進(jìn)行檢驗(yàn)與修正，最后通過(guò)概括得到定義并用符號(hào)表達(dá)出來(lái)。數(shù)學(xué)概念形成的過(guò)程有以下幾個(gè)階段。

(1)觀察實(shí)例。觀察概念的各種不同的正面實(shí)例，可以是日常生活中的經(jīng)驗(yàn)或事物，也可以是教師提供的典型事物。例如，要形成平行線的概念，可以觀察黑板相對(duì)的兩條邊，立在路邊的兩根電線桿，橫格練習(xí)本中的兩條橫線等。

(2)分析共同屬性。分析所觀察實(shí)例的屬性，通過(guò)比較得出各實(shí)例的共同屬性。例如上面的各個(gè)實(shí)例分別有各自的屬性，通過(guò)比較可以得出它們的共同屬性是:兩條直線、在同一個(gè)平面內(nèi)、兩條直線間的距離處處相等、兩條直線不相交、兩條直線可以向兩邊無(wú)限延伸等。

(3)抽象本質(zhì)屬性。從上面得出的共同屬性中提出本質(zhì)屬性的假設(shè)。例如，提出平行線的本質(zhì)屬性的假設(shè)是:在同一個(gè)平面內(nèi)、兩條直線間的距離處處相等、兩條直線不相交。

(4)確認(rèn)本質(zhì)屬性。通過(guò)比較正例和反例檢驗(yàn)假設(shè)，確認(rèn)本質(zhì)屬性。例如舉出平行直線、相交直線和異面直線的例子確認(rèn)平行線的本質(zhì)屬性。

(5)概括定義。在驗(yàn)證假設(shè)的基礎(chǔ)上，從具體實(shí)例中抽象出本質(zhì)屬性，推廣到一切同類(lèi)事物，概括出概念的定義。例如可以概括出“在同一個(gè)平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線”。

(6)符號(hào)表示。用習(xí)慣的形式符號(hào)表示概念。例如平行線用符號(hào)“∥”表示。

(7)具體運(yùn)用。通過(guò)舉出概念的實(shí)例，在一類(lèi)事物中辨認(rèn)出概念，或運(yùn)用概念解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，使新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念建立起牢固的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，把所學(xué)的概念納入到相應(yīng)的概念體系中。

2.數(shù)學(xué)概念的同化學(xué)習(xí)形式。

(1)揭示本質(zhì)屬性。給出概念的定義、名稱(chēng)和符號(hào)，揭示概念的本質(zhì)屬性。例如，學(xué)習(xí)二次函數(shù)的概念，先學(xué)習(xí)它的定義:“如果y=ax+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)，那么，y叫做x的二次函數(shù)。”

(2)討論特例。對(duì)概念進(jìn)行特殊的分類(lèi)，討論各種特例，突出概念的本質(zhì)屬性。例如二次函數(shù)的特例是y=ax，y=ax+c，y=ax+bx等。

(3)新舊概念聯(lián)系。使新概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)觀念建立聯(lián)系，把新概念納入到相應(yīng)的概念體系中，同化新概念。例如把二次函數(shù)和一次函數(shù)、函數(shù)等聯(lián)系起來(lái)，把它納入到函數(shù)概念的體系中。

(4)實(shí)例辨認(rèn)。辨認(rèn)正例和反例，確認(rèn)新概念的本質(zhì)屬性，使新概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)概念精確分化。例如舉出y=2x+3，y=3x-x+5，y=-2x-4等讓學(xué)生辨認(rèn)。

(5)具體運(yùn)用。通過(guò)各種形式運(yùn)用概念，加深對(duì)新概念的理解，使有關(guān)概念融會(huì)貫通成整體結(jié)構(gòu)。下面我們看一段運(yùn)用一元二次函數(shù)的教學(xué)實(shí)例。

教師通過(guò)計(jì)算機(jī)的演示，讓學(xué)生根據(jù)二次函數(shù)圖像的不同位置判斷二次函數(shù)y=ax+bx+c的系數(shù)a，b，c，以及二次方程ax+bx+c=0的判別式的符號(hào)，加深對(duì)二次函數(shù)的理解，使概念、圖像融會(huì)貫通成整體結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)概念形成與數(shù)學(xué)概念同化是有區(qū)別的。

數(shù)學(xué)概念形成需要的是對(duì)物體或事件的直接經(jīng)驗(yàn)，從這些物體或事件中抽象出它們的共同屬性。

而在數(shù)學(xué)概念同化的過(guò)程中，新的數(shù)學(xué)概念的共同屬性一般都是教師指出的，不需要學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，重要的是使學(xué)生把新知識(shí)與頭腦中已有的有關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)。

在概念形成過(guò)程中，要求學(xué)生對(duì)所發(fā)現(xiàn)的共同屬性進(jìn)行檢驗(yàn)，并通過(guò)對(duì)所發(fā)現(xiàn)的共同屬性的修正，最終確定它們的本質(zhì)屬性。

而在數(shù)學(xué)概念同化過(guò)程中，則要求學(xué)生辨別所學(xué)習(xí)的新概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念的異同。并將新概念納入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。

但是數(shù)學(xué)概念形成與數(shù)學(xué)概念同化也不是互相排斥的，在教學(xué)中把這兩種數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)形式有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，常常可以收到較好的效果。

具體做法可以是，教師在向?qū)W生講述定義之前，有意識(shí)地舉出一些數(shù)學(xué)概念的實(shí)際例子，一方面讓學(xué)生觀察、思考，并從中歸納事物的本質(zhì)屬性，另一方面又直接揭示這些例子中所蘊(yùn)含的某一類(lèi)事物的本質(zhì)屬性，并給出有關(guān)數(shù)學(xué)概念的定義。

這樣學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念既有感性認(rèn)識(shí)又有理性認(rèn)識(shí)，從具體到抽象，符合人的認(rèn)識(shí)規(guī)律，同時(shí)又可提高教學(xué)效率，使學(xué)生能在較短的時(shí)間內(nèi)正確理解數(shù)學(xué)概念所反映的事物的本質(zhì)屬性。

三、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

1.數(shù)學(xué)概念的引入。

引入數(shù)學(xué)概念是理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)概念的前提。

用數(shù)學(xué)概念形成的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行教學(xué)時(shí)，主要是通過(guò)提供一定數(shù)量的實(shí)例來(lái)引入數(shù)學(xué)概念，從這些實(shí)例中概括出它們的共同屬性。因此恰當(dāng)?shù)剡x擇實(shí)例是非常重要的，在選擇時(shí)要注意以下幾個(gè)方面:針對(duì)性、可比性、適量性、趣味性、參與性。

(1)針對(duì)性。應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性選擇實(shí)例，要淡化這些實(shí)例中的非本質(zhì)屬性，以免干擾教學(xué)概念的形成。

(2)可比性。既要設(shè)計(jì)所要形成的數(shù)學(xué)概念的正例，又要設(shè)計(jì)不符合這一概念的反例，在概念引入階段，正例與反例應(yīng)當(dāng)容易識(shí)別，能明顯區(qū)分它們的某些不同屬性。

(3)適量性。實(shí)例要有一定的數(shù)量，數(shù)量太少不足以形成概念，數(shù)量太多會(huì)浪費(fèi)學(xué)習(xí)時(shí)間并使學(xué)生感到乏味，實(shí)例的數(shù)量應(yīng)因人而異，為此應(yīng)充分了解學(xué)生的學(xué)習(xí)水平與接受能力。

(4)趣味性。實(shí)例應(yīng)盡可能生動(dòng)、有趣，語(yǔ)言要簡(jiǎn)練，以利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可借助實(shí)物模型、圖片、錄像、多媒體課件等多種形式引人概念。

(5)參與性。組織學(xué)生對(duì)所列舉的實(shí)例進(jìn)行比較、分類(lèi)，并進(jìn)一步展開(kāi)討論，找出它們的本質(zhì)屬性。下面我們看一個(gè)概念教學(xué)的引入案例。

引課時(shí)，教師通過(guò)多媒體給出了一個(gè)畫(huà)面，然后，組織學(xué)生進(jìn)行觀察，觀察畫(huà)面上有幾種你熟悉的幾何圖形。并進(jìn)一步展開(kāi)討論，確認(rèn)畫(huà)面上有幾種圖形，生動(dòng)、有趣地引入了這節(jié)課的內(nèi)容——“梯形”。

用數(shù)學(xué)概念同化的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行教學(xué)時(shí)，直接揭示概念的本質(zhì)屬性，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的定義、名稱(chēng)和符號(hào)。為了使新概念的學(xué)習(xí)能順利進(jìn)行，先采用生動(dòng)而又多樣化的方式對(duì)已經(jīng)學(xué)過(guò)有關(guān)的概念進(jìn)行復(fù)習(xí)。既能使學(xué)生不感到枯燥乏味，又能彌補(bǔ)學(xué)生在舊知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中所產(chǎn)生的不足，從而為新概念的學(xué)習(xí)掃除障礙。同時(shí)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際，充分估計(jì)學(xué)生在接受數(shù)學(xué)概念時(shí)可能產(chǎn)生的困難或錯(cuò)誤，明確教學(xué)的難點(diǎn)與重點(diǎn)，設(shè)計(jì)突破難點(diǎn)與落實(shí)重點(diǎn)的方法。

教師讓學(xué)生以小組討論的形式，回顧和復(fù)習(xí)了小學(xué)學(xué)過(guò)的有關(guān)“梯形”的內(nèi)容，直接揭示概念的本質(zhì)屬性，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的定義、名稱(chēng)和符號(hào)，使學(xué)生既不感到枯燥乏味，又為“梯形”的學(xué)習(xí)掃除了障礙。

2.數(shù)學(xué)概念的理解。

通過(guò)辨識(shí)進(jìn)一步明確概念的含義，它的內(nèi)涵與外延，并用以區(qū)別相關(guān)概念。在這一過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)概念逐步加深理解，新的數(shù)學(xué)概念逐步同化到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，促使原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)變得更為合理、更為完整，并逐步形成新的概念體系。

在設(shè)計(jì)時(shí)，教師應(yīng)注重揭示新舊概念間的聯(lián)系與區(qū)別，并選擇恰當(dāng)?shù)睦訉⒏拍钆c概念之間的這種聯(lián)系與區(qū)別直觀而又具體地反映出來(lái)。

如教師組織學(xué)生對(duì)平行四邊形與梯形的聯(lián)系和區(qū)別進(jìn)行討論，使學(xué)生明確了梯形概念的內(nèi)涵和外延，同時(shí)，又通過(guò)組織學(xué)生畫(huà)梯形或剪梯形的活動(dòng)，加深了對(duì)梯形概念的理解。使新的數(shù)學(xué)概念逐步同化到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，促使原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)變得更為合理、更為完整，并逐步形成新的概念體系。

數(shù)學(xué)概念理解的設(shè)計(jì)包括設(shè)計(jì)學(xué)生的活動(dòng)。例如教師可讓學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行分組討論，讓學(xué)生交流對(duì)教學(xué)概念的理解和各自的觀點(diǎn)，還可借助各種教學(xué)媒體，設(shè)計(jì)框圖、結(jié)構(gòu)圖幫助學(xué)生建立概念體系。

3.數(shù)學(xué)概念的運(yùn)用。

數(shù)學(xué)概念的運(yùn)用是指學(xué)生在理解數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，運(yùn)用它去解決同類(lèi)事物的過(guò)程。數(shù)學(xué)概念的運(yùn)用有兩個(gè)層次:一種是知覺(jué)水平上的運(yùn)用，是指學(xué)生在獲得同類(lèi)事物的概念以后，當(dāng)遇到這類(lèi)事物的特例時(shí)，就能立即把它看作這類(lèi)事物中的具體例子，將它歸入一定的知覺(jué)類(lèi)型;另一種是思維水平上的運(yùn)用，是指學(xué)生學(xué)習(xí)的新概念被類(lèi)屬于水平較高的原有概念中，新概念的運(yùn)用必須對(duì)原有概念重新組織和加工，以滿(mǎn)足解當(dāng)前問(wèn)題的需要。因此，數(shù)學(xué)概念運(yùn)用的設(shè)計(jì)應(yīng)注意精心設(shè)計(jì)例題和習(xí)題，可以有以下兩種。

(1)數(shù)學(xué)概念的識(shí)別。針對(duì)數(shù)學(xué)概念中容易出錯(cuò)的地方有目的地設(shè)計(jì)一些問(wèn)題，供學(xué)生鑒別，以加深印象。與概念引人和理解階段相比，這里的問(wèn)題可以多一些隱蔽性，也可以設(shè)置一些干擾因素。

(2)數(shù)學(xué)概念的簡(jiǎn)單運(yùn)用。編制一組問(wèn)題對(duì)所概括的數(shù)學(xué)概念加以運(yùn)用，這組問(wèn)題應(yīng)當(dāng)是遞進(jìn)的，有一定的變化，難度不宜過(guò)高。有時(shí)直接利用概念的定義來(lái)解決問(wèn)題，常常可以將問(wèn)題化難為易，教師可以選擇有關(guān)的問(wèn)題作為例題和習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念解決問(wèn)題的能力。

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